О топологической классификации типичных особых точек векторного поля на плоскости с нулевой (m - 1)-струей

Введение. По теореме Гробмана-Хартмана [1-3] C ² -векторное поле v ( z ) = Az + o (| z |), z g R n в типичной ситуации, когда собственные значения матрицы A имеют ненулевые действительные части, топологически эквивалентно в некоторой окрестности особой точки z = 0 его «главной» части - линейному векторному полю v ( z ) = Az . В таком случае имеется топологическая классификация векторных полей v (z ) в окрестности особой точки: число собственных значений A с отрицательной действительной частью – полный топологический инвариант [3].

Дадим обобщение этих результатов на случай, когда «главная» часть векторного поля v ( z ), z g R ² является однородным полиномиальным векторным полем степени m >  2.

Пусть C^{m + 1} -векторное поле v ( x , y) = P ( x , y) d / d x + Q ( x , y) d / d y , ( x , y ) g R ² имеет нулевую

( m - 1) -струю ( m >  2) в особой точке O = (0,0), то есть функции P и Q имеют нулевые многочлены Тейлора ( m - 1) -й степени в O . Тогда

^{P (} x , y ) = P m ⁽ x , y ) + p ^{( x} , y ), ^{Q (} x , y ) = ^Q m ⁽ x , y ) ⁺ q ( ^x , y ), где mm

P ( x , y ) = X a , m - i x У^т ~ ‘ , Q n ( x , y ) = X b. m - i x у - i i =0                                           i =0

– однородные многочлены степени m , mm

p ⁽ x . y ) = X p m - i ^{( x} . y ) ^x i y^{m -} ‘ , q ⁽ x . y ) = X q i , m - i ^{( x} . y ) xy m ^- ‘ , i =0                                                   i =0

^а Pi ,m-i , q i,m-i ^{- C 1} -функции, P i , m - i ^(0,0) = q- m - i ^(0,0) = ^{0 .}

Однородное полиномиальное векторное поле    v_m ( x , y ) = P_m ( x , y) d / d x + Q_m ( x , y) d / d y ,

( x , y ) g R ² назовем главной частью векторного поля v в особой точке O . Множество всех таких векторных полей обозначается HP_m [4].

Динамические системы на проективной плоскости RP ², задаваемые типичными однородными полиномиальными векторными полями, изучались в [4–6].

Математика

В предлагаемой заметке показано, что в «типичном» случае векторное поле V в некоторой окрестности особой точки O топологически эквивалентно его главной части V_m , и дана локальная топологическая классификация таких векторных полей.

1.    Условия топологической эквивалентность v и v . Обозначим

R ( р ) = р (cos р , sin р ) cos р + Q_m (cos р , sin р ) sin р , Ф ( р ) = Q_m (cos р, sin р ) cos ср- р (cos р, sin р ) sin (р . Ясно, что

R( ф + п ) = ( - 1) m ^{+ 1} R ( р ), Ф ( ф + п ) = ( - 1) m ^{+ 1} Ф ( р ).                       (1)

Теорема 1 . Пусть выполняется одно из двух следующих условий:

(А) Функция Ф ( р ) имеет нули, и все они простые. Если Ф ( р ) = 0 , то R ( р ) ^ 0 .

(Б) Функция Ф ( р ) не имеет нулей, при этом х : =

X? R ( р ) ² П { ^{Ф р )}

d р ^ 0 .

Тогда существуют окрестности U и V точки O и гомеоморфизм h : U ^ V, переводящий ориентированные траектории поля v в ориентированные траектории поля v .

Доказательство . В полярных координатах р , р ( x = p cos ф , y = р sin р ) v ⁽ x , У ) = P m ^{( R} р ) + ^R 1 ⁽ р , р )) ^д / ^дР + р^{т - 1 ( Ф (} р ) ^+Ф 1 р , р » , где R₁ ( р , р ) и Ф, ( р , р ) - C ¹ -функции, 2 п -периодические по р , R ,(0, р ) = Ф] (0, р ) = 0.

На цилиндре C := [0, да) х R/ 2nZ рассмотрим векторные поля v * (р,р) = р( R (р) + R1(р,р))д / др + (Ф(р) +Ф1(р,р))д / др и  vm (р,р) = рR (р)д / др + Ф(р)д / др.

Они имеют инвариантную окружность Г_о : = {0} х R/ 2 п Z . Отображение pr: C э ( р , р ) н ( x , у ) = ( р cos р , р sin р ) g R ² переводит траектории поля v * ( v * ) в траектории поля v ( v_m ).

При условии (А) все особые точки векторного поля v* лежат на Го и имеют вид (0,р), где р - нули функции Ф, а их характеристические показатели R(р) ^ 0 и Ф‘(р) ^ 0. Эти точки являются особыми и для векторного поля v* с теми же характеристическими показателям. Так как Уре R/2nZ Ф2(р) + R2(р) > 0, то (R(р) + R(р,р))2 + (Ф(р) +ФХ (р,р))2 > 0 в точках некоторой окрестности Го, и потому в этой окрестности у поля v * нет других особых точек. Согласно [7] векторные поля vт и v * топологически эквивалентны в окрестности Го: существует го меоморфизм hт: U* ^ Vт, где Uт и Vт некоторые окрестности Го в C , тождественный на Го и переводящий траектории поля v ^m в траектории поля vт|гт . Множества U := pr(U*) и V := pr(V*) - окрестности особой точки O . Равенства h(z):= pr(hm (pr-1(z))) для z g U \{O} и h(O):= O задают гомеоморфизм h : U^V, переводящий траектории поля у\ц в траектории поля vm V .

При условии (Б) Г_о является замкнутой траекторией обоих векторных полей v т и v* с характеристическим показателем x sgn Ф (0) ^ 0 [8, с. 126]. Следовательно, векторные поля v т и v* топологически эквивалентны в некоторых окрестностях Г_о. Но тогда v_m и v топологически эквивалентны в некоторых окрестностях точки O .

Замечание 1 . m -струи в точке O векторных полей, удовлетворяющие хотя бы одному из условий (А) или (Б), образуют открытое и всюду плотное множество в множестве всех m -струй векторных полей с нулевой ( m - 1) -струей в точке O [4]. Поэтому можно сказать, что рассматриваемая особая точка типична для особых точек векторных полей с нулевой ( m - 1) -струей.

Замечание 2 . Условие (Б) может выполняться только, если m нечетно [4].

Ройтенберг В.Ш.                  О топологической классификации типичных особых точек векторного поля на плоскости с нулевой (m-1)-струей

• 2.    Топологическая классификация однородных полиномиальных векторных полей, удовлетворяющих условиям (А) и (Б). В [6] дана топологическая классификация фазовых портретов однородных полиномиальных векторных полей, удовлетворяющих условиям (А) и (Б), на проективной плоскости. Конечно, топологическая эквивалентность фазовых портретов на проективной плоскости влечет их топологическую эквивалентность в R ² и в окрестностях особой точки, но обратное утверждение, конечно, неверно.

Полным топологическим инвариантом особой точки полиномиального векторного поля является ее локальная схема [7, с. 351–356]. Опишем возможные локальные схемы особой точки O полей v_m g HP_m при условиях (А) и (Б).

Так как Ф ( р ) - однородный тригонометрический многочлен степени m + 1 с простыми нулями, то число 2 n особых точек поля V* четно, n <  m + 1, n = m + 1 (mod2). Пусть р , р ₂ ,•••, р>п, р_п+ 1 = р g R/ 2 n Z все нули функции Ф , пронумерованные в циклическом порядке. Тогда условия р = р , р >  0 задают траекторию L * (соотв. L ) поля V * (соотв. v_m ) со предельную к особой точке CO = ( р ,0) (соотв. O ) при R( р ) <  0 и    а -предельную, если

R ( P i ) >  ⁰ .

Если две последовательные точки O_k ( k = i и k = i + 1) седла, то есть Ф' ( р ) R ( р ) <  0, то L_t и L орбитно неустойчивые траектории поля v – сепаратрисы особой точки O , ограничивающие гиперболический сектор точки O . Все траектории, принадлежащие этому сектору, выходят из любой окрестности особой точки при возрастании и убывании времени. Вследствие (1) число сепаратрис (если они имеются) четно, и если их пронумеровать в циклическом порядке: L , L ,..., L , L   = L ,  то р ,_s = р + п для k = 1,..., s .

• i \       i 2 ^{7     7} i 2 s ⁷ i 2 s +1          i 1 ⁷              ilk ^{+ s                                           77}

Если две последовательные точки O_k ( k = i и k = i + 1) узлы, то есть Ф‘ ( р ) R ( р ) >  0, то L_t и L ограничивают эллиптический сектор , состоящий из траектории поля v , двоякоасимптотических к O . Ввиду (1) число эллиптических секторов (если они имеются) четно, и для каждого эллиптического сектора есть эллиптический сектор, симметричный ему относительно O .

Если область R ², заданная условием р <  р < р _i ( i_k+ j ^ i_k + 1), не содержит эллиптических секторов, то все траектории, ей принадлежащие, и ограничивающие ее сепаратрисы L и L либо о -предельны, либо а -предельны к O . Эта область является, соответственно, либо устойчивым, либо неустойчивым параболическим сектором особой точки O .

Поставим в соответствие особой точке O циклическую последовательность

0 -1 , 0 -2 ,..., O r , о +1 = СТ 1 ,                                                (2)

где о g { а , о , е , sn , un} , по следующему правилу:

• 1.    Положим r = 1, а о = sn ( о = un ) в случае (А), если точка O не имеет ни сепаратрис, ни эллиптических секторов, то есть является устойчивым (неустойчивым) топологическим узлом, и в случае (Б), если / sgn Ф (0) <  0 ( / sgn Ф (0) >  0) , то есть O является устойчивым (неустойчивым) фокусом, а потому и устойчивым (неустойчивым) топологическим узлом.

• 2.    Если у точки O существуют сепаратрисы или эллиптические секторы, то произвольным образом пронумеруем их в циклическом порядке номерами от 1 до r и поставим в соответствие номеру k символ а (со), если такой номер имеет а ( о )-сепаратриса, и символ е , если такой номер имеет эллиптический сектор.

В случае 2) число членов r в последовательности (2) четно: r = 2 p . Максимальное значение r достигается в случае, когда точка O не имеет параболических секторов, а гиперболических секторов, не имеющих друг с другом общих граничных лучей, максимальное число. Это значение r_M = 3 n , если n четно и r_M = 3 n - 1, если n нечетно.

Все последовательности, получающиеся из последовательности (2) циклической перестановкой, будем считать ей эквивалентными. Класс всех последовательностей, эквивалентных последовательности (2), называется локальной схемой особой точки O .

Математика

Из [7] следует

Теорема 2. Для векторных полей, V 1 и V 2 , принадлежащих HP_m и удовлетворяющих одному из условий (А) или (Б), существуют окрестности U и U₂ точки O и сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : U_x ^ U₂, переводящий ориентированные траектории поля V 1 в ориентированные траектории поля V 2 тогда и только тогда, когда эти векторные поля имеют одинаковые локальные схемы точки O .

Из (1) получаем для последовательности (2), задающей локальную схему,

• (У 1) Если а. = e (соотв. а = а и а = со), i = 1,..., p, то а_{+ р}= e (соотв. а _р = а и ^ _р = о в случае нечетного m, а_+р = о и а_+Р = а в случае четного m).

Из определения сепаратрисы следует

• (У 2) Если а = а ( а = о ), i = 1,..., r, то или следующий элемент последовательности а ₊і или предыдущий а^ равен о ( а ) . (Здесь а ₀ = а ).

Из [6] следует, что для любой последовательности ( т , Т ,—Т_2п) , n - m + 1, n = m + 1 (mod2), где т g { - 1,1}, удовлетворяющей условию V i g {1,..., n} т_і+n = T при нечетных m и т₊п = -Т при четных m , за исключением последовательности с т = ( — 1) i при n = m + 1, существует векторное поле V_m g HP_m , для которого нули функции Ф ( ^ ) образуют циклическую последовательность ^ , ^ ₂,..., ^_п , (р_{2п+ 1} = ^ g R/ 2 п Z такую, что sgn Ф‘ ( ^ ) = ( - 1) i , sgn R ( ^ ) = т . В [6] приведена явная конструкция такого поля. На языке локальных схем получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Любая циклическая последовательность (2), где r = 1, а а = sn ( а = un ) или r = 2 p — r_M и выполняются условия (У1) и (У2) , задает локальную схему точки O некоторого векторного поля V_m g I IP , удовлетворяющего условию (А).