О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств
Автор: Чечулин Виктор Львович
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 1 (9), 2012 года.
Бесплатный доступ
Описано свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств: ес- ли самопринадлежащее множество принадлежит некоторому второму множеству, то и все объекты, принадлежащие этому самопринадлежащему множеству, тоже принадлежат вто- рому множеству. Это свойство используется для доказательства непротиворечивости тео- рии множеств.
Множества с самопринадлежностью, отношение принадлежности, диалектика единого и многого, транзитивность принадлежности
Короткий адрес: https://sciup.org/14729766
IDR: 14729766
Текст научной статьи О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств
Cвойства множеств с самопринадлеж-ностью описаны ранее в работах [1, 2]. Очевидно вытекающее из диалектики единого и многого свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств требует более подробного описания.
Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью.
1. Алгебра скобок единого и многого
Диалектика единого и многого, являющаяся основанием рассуждения о множествах, указана в табл. 1, 2 [1, 2].
Единое, многое и едино-многое в их комбинациях образуют формально выразимую алгебру скобок [.] и {.}, описанную в левом столбце табл. 1.
Пусть множество А самопринадлежаще, А е А, и пусть А принадлежит В, А е В, тогда в записи посредством скобок:
В = {… [А]} = (раскрытие квадратных скобок, табл. 1) = {… А} = (замена самопри-надлежащего А его содержимым А={… А}) = = {… {a i … А}} 1 = (раскрытие скобок {.},
"многое во многом есть многое") =
= {…, a i , … А}}.
Пример. А={a, b, A}, B={c, d, A}. Тогда
B = {c, d, A} = (замена А={… А}) =
= {c, d, {a, b, A}} = (раскрытие скобок) =
= {c, d, a, b, A} = (те же замены, что и ранее) =
= {c, d, a, b, a, b, A} = (вычёркивание повторений) = {c, d, a, b, A}.
Таблица 1. Диалектика единого и многого
Обозначение |
Пояснение |
[…] |
Брать нечто как единое, взятое (результат) – единое |
{…} |
Брать нечто как многое, взятое – многое |
a = {… а} |
Брать нечто (а) как единомногое, взятое – единомногое |
[[…]] = […] |
Брать единое как единое, взятое – единое |
[{…}] = […] |
Брать многое как единое, взятое – единое |
a = {… а}, [а] = a |
Брать едино-многое как единое, взятое – единомногое |
{[…]} = […] |
Брать единое, как многое, взятое – единое |
{{…}} = {…} |
Брать многое как многое, взятое – многое |
a = {… а}, |
Брать едино-многое как |
{а} = a |
многое, взятое – единомногое |
Таблица 2. Отношение части и целого
Обозначение |
Пояснение |
[х] ∈ {… х} |
Единое во многом. (Отношение принадлежности) |
х ⊆ {…}, каждый у из х – в {…} |
Многое во многом. (Отношение включения, подмножество) |
Едино-многое во многом; едино-многое в едином. (Отношение и принадлежности и включения) |
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 1 (О транзитивности принадлежности). Объекты, принадлежащие са-мопринадлежащему объекту А, который принадлежит В, принадлежат объекту В. А ∈ А, А ∈ В ⇒ ∀ а i ∈ A а i ∈ B. □
2. Приложение к доказательству непротиворечивости
Теорема 2 (О недополнимости объекта в М). М – множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения.
Доказательство. Пусть А – объект, А ∈ М, возможны случаи:
-
1. А = ∅ , тогда А – не объект ( ∅ означает несуществование, но не существующий объект).
-
2. А ∉∅ и М ∉ А. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е. попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие, "внешние" по отношению к А, в одно множество В. В = {[х] ∈ М | х ∈∅ или х ∉ А}.
-
3. А = М, очевидно,
М ∉ А значит М ∈ В, т. е. по теореме 1 (о транзитивности принадлежности) В = М и А ∈ В. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.
В = {[х] ∈ М | х ∈∅ или х ∉ А} = ∅ , что означает не существование дополнения к М в М. □
Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся объектов. М неделимо на части. □
Теорема 3 (О непротиворечивости). Пусть М – множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, – непротиворечива.
Доказательство.
Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме 2 (о недополнимости) это невозможно, следовательно высказывания об объектах из М непротиворечивы. □
Заключение
Таким образом, транзитивность принадлежности для самопринадлежащих множеств основывается на содержательной диалектике единого и многого (алгебре скобок единого и многого). Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств2.
Список литературы О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств
- Чечулин В.Л. О множествах с самопринадлежностью//Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. C. 133-138.
- Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Пермь, 2010. 100 с.