О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств

Cвойства множеств с самопринадлеж-ностью описаны ранее в работах [1, 2]. Очевидно вытекающее из диалектики единого и многого свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств требует более подробного описания.

Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью.

1.    Алгебра скобок единого и многого

Диалектика единого и многого, являющаяся основанием рассуждения о множествах, указана в табл. 1, 2 [1, 2].

Единое, многое и едино-многое в их комбинациях образуют формально выразимую алгебру скобок [.] и {.}, описанную в левом столбце табл. 1.

Пусть множество А самопринадлежаще, А е А, и пусть А принадлежит В, А е В, тогда в записи посредством скобок:

В = {… [А]} = (раскрытие квадратных скобок, табл. 1) = {… А} = (замена самопри-надлежащего А его содержимым А={… А}) = = {… {a i … А}} ¹ = (раскрытие скобок {.},

"многое  во многом есть многое") =

= {…, a i , … А}}.

Пример. А={a, b, A}, B={c, d, A}. Тогда

B = {c, d, A} = (замена А={… А}) =

= {c, d, {a, b, A}} = (раскрытие скобок) =

= {c, d, a, b, A} = (те же замены, что и ранее) =

= {c, d, a, b, a, b, A} = (вычёркивание повторений) = {c, d, a, b, A}.

Таблица 1. Диалектика единого и многого

Обозначение	Пояснение
[…]	Брать нечто как единое, взятое (результат) – единое
{…}	Брать нечто как многое, взятое – многое
a = {… а}	Брать нечто (а) как единомногое, взятое – единомногое
[[…]] = […]	Брать единое как единое, взятое – единое
[{…}] = […]	Брать многое как единое, взятое – единое
a = {… а}, [а] = a	Брать едино-многое как единое, взятое – единомногое
{[…]} = […]	Брать единое, как многое, взятое – единое
{{…}} = {…}	Брать многое как многое, взятое – многое
a =  {…  а},	Брать едино-многое как

{а} = a

многое, взятое – единомногое

Таблица 2. Отношение части и целого

Обозначение	Пояснение
[х] ∈ {… х}	Единое во многом. (Отношение принадлежности)
х ⊆ {…}, каждый у из х – в {…}	Многое во многом. (Отношение включения, подмножество)
	Едино-многое во многом; едино-многое в едином. (Отношение и принадлежности и включения)

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 1 (О транзитивности принадлежности). Объекты, принадлежащие са-мопринадлежащему объекту А, который принадлежит В, принадлежат объекту В. А ∈ А, А ∈ В ⇒ ∀ а i ∈ A а i ∈ B. □

2.    Приложение к доказательству непротиворечивости

Теорема 2 (О недополнимости объекта в М). М – множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения.

Доказательство. Пусть А – объект, А ∈ М, возможны случаи:

• 1.    А = ∅ , тогда А – не объект ( ∅ означает несуществование, но не существующий объект).

• 2.    А ∉∅ и М ∉ А. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е. попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие, "внешние" по отношению к А, в одно множество В. В = {[х] ∈ М | х ∈∅ или х ∉ А}.

• 3.    А = М, очевидно,

М ∉ А значит М ∈ В, т. е. по теореме 1 (о транзитивности принадлежности) В = М и А ∈ В. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.

В = {[х] ∈ М | х ∈∅ или х ∉ А} = ∅ , что означает не существование дополнения к М в М. □

Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся объектов. М неделимо на части. □

Теорема 3 (О непротиворечивости). Пусть М – множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, – непротиворечива.

Доказательство.

Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме 2 (о недополнимости) это невозможно, следовательно высказывания об объектах из М непротиворечивы. □

Заключение

Таким образом, транзитивность принадлежности для самопринадлежащих множеств основывается на содержательной диалектике единого и многого (алгебре скобок единого и многого). Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств2.