О вариационном равенстве для функционала общего вида

1.    Вариационное равенство

Пусть fi — ограниченная область в R n и G(x, z, С) — функция, определенная для любой точки x G Q , любой точки z = (z 1 ,...,z m ) G R m и любого набора векторов С = (С ¹ ,...,C m ) из R n . Будем предполагать, что G(x,z,C) G C (fi х R m х R m ) , а по совокупности переменных z ¹ , ..., z ^m , ξ ¹ , ..., ξ ^m является выпуклой вниз. В случае, когда функция G не зависит от z , будем использовать обозначение G(x,C) .

Если ~ = (u 1 ,...,u m ) G Lip _Zoc (Q) , то вектор-функция ~ дифференцируема почти всюду в fi и мы полагаем D~ = ( V u ¹ ,..., V u m ) .

Определим функционал

I (~) = I G(x,u(x), Du(x))dx

Ω для любой вектор-функции u = (u1, ...,um) G Liploc(fi), при условии, что интеграл в (1) сходится.

В случае, когда функция G(x, z, С) достаточно гладкая, мы можем записать систему уравнений Эйлера — Лагранжа (см., например, [1, гл. 6, ч. I]) для данного функционала nd

Q i [~] = У -— f G ^ i (x, ~, D~)) — G z i (x, ~, D~) = 0, i = 1,..., m. h=1 ^{dx h     h}

Здесь c ¹ = (c i , ... ,c n ) ,..., c m = (c m ,...,c m ) .

Одним из способов приближенного решения краевых задач эллиптических уравнений и систем уравнений дивергентного вида является вариационный метод (см., например, [5; 8]). При этом мало изученным, особенно для нелинейных уравнений, является вопрос о сходимости построенных этим методом приближенных решений к точному решению. Классическим примером является уравнение минимальных поверхностей, для которого определенные результаты получены в работах [2; 3]. В настоящей работе мы обобщаем результаты работы [2] на случай функционалов общего вида.

Ниже нами определяется величина 5 g ( z,^, w,n) через функцию G , служащая мерой отличия элемента (z,^) от элемента (w,n) . В терминах этой величины мы получаем равенство, связывающее, с одной стороны, разность значений функционала (1) для произвольных функций ~u, ~v , среди которых ~u является экстремалью данного функционала, а с другой стороны, величину § g ( ~, D~,~, D~) . Из полученного равенства непосредственно будет следовать сходимость минимизирующей последовательности к решению системы (2) в терминах величины 5 g ( z,^, w,n) . Некоторые частные случаи для уравнения минимальной поверхности и уравнения p -Лапласа были рассмотрены в работе [2].

Пример 1. В случае, если m = n и

G(x,z1,...,zm,^\.„Лn) = X aj(x^Ej+ i,j,h,k

m

+ X F ' (x)zi, i=1

где коэффициенты удовлетворяют условию симметрии a _i ^h _j ^k = a _j ^k _i ^h = a ⁱ _h ^k _j и неравенству

К1 X nhnh < X ah(x)nhnj < K2 X nhnh, nh = nh, i,h              i,j,h,ki,h система (2) будет стационарной системой линейной теории упругости. Данная система будет выглядеть следующим образом:

^j

X ar ahk(x)ar = F'(x), i = 1--n- j,h,k ∂xh

Отметим, что для системы (3) доказательство разрешимости различных краевых задач в обобщенном смысле приводится, например, в монографиях [6] и [9], а в работе [9] устанавливается регулярность полученных решений.

Пример 2. Если

G(x,z 1,...,z m,Q,..,C’m ) = X(^h)2, i,h то система (2) имеет вид

Au ¹ = 0,..., Au m = 0

и описывает гармонические отображения из R ⁿ в R ^m .

Пример 3. В случае, когда m = 1 и

G(x, z, С)    G(x, z, ^1 , ..., £„) , имеем одно уравнение nd

52 3— (G ^ h (x,u ^u)) = G z (x,u, ^u).

h=1 ^{dx h}

В частности, если G(x,z,C) = | C | 2 , получим уравнение Лапласа. Если G(x,z,C) = = V 1 + I C I ² , то име ем уравнение минимальных поверхностей. В случае, когда G(x,z,C) = лУ 1 — | £ | ² , приходим к уравнению максимальных поверхностей, которое описывает пространственно подобные поверхности нулевой средней кривизны в пространстве-времени Минковского.

Дадим определение обобщенного решения смешанной краевой задачи для системы (2).

Определение 1. Пусть Г — кусочно-гладкий кусок границы д О и заданы вектор-функ-ции ф = (ф 1 ,...,ф ^т ) G L ₂ (r) и (р = (^ 1 ,...,^ m ) G C(дО \ Г). Вектор-функция и = = (u 1 ,...,u m ) G Lip(О) называется обобщенным решением смешанной задачи системы (2), если

• 1)    u G C (О и (дО \ Г)) и ~ | dQ \ r = ~ Ь\ г ;

• 2)    для любой вектор-функции v = (v ¹ , ...,v ^m ) G Lip _loc (О U (дО \ Г)) П L ₂ (r), такой, что v = 0 на дО \ Г, выполнено

  / 52 G ^ i (x, u(x), Du(x))v X_h dx - / v i ^ i ds + / G z i (x, u(x), Du(x))v i (x)dx = 0

Ω h=1                              Γ           Ω для всех i = 1,..., m.

Замечание. Если граница дО является кусочно-гладкой, функция G(x,z, £) дважды непрерывно-дифференцируемой и функция u G C2 (О) П C1 (О) удовлетворяет приведенному определению, то не сложно показать, что u будет классическим решением системы уравнений (2), удовлетворяющим краевым условиям u|dQ\r = ~|dQ\r , n

52 G ^ h (x,u,D~)v h \ r = ф ^г | р , i = 1, ...,m, h=1

где v = (v 1 ,..., v _n ) — вектор внешней нормали к д О .

Отметим, что при Г = 0 краевая задача является задачей Дирихле, а при Г = дО имеем задачу Неймана.

Для произвольных (z,^), (w,n) G Rm x Rmn введем следующую величину nm

§G(z, C, w, n) = G(x, w, n) — G(x, z,C) — XX Geh(x, z, < )(nh— Ch)— h=1 i=1

m

- X G z i (x,z,£)(w i - z i ).

i =1

Отметим, что в силу выпуклости функции G(x,z, £) по переменным (z, £) , введенная величина неотрицательна при всех (w,n) и всех (z,£ ) , в которых функция G(x,z,£ ) дифференцируема по ξ и z . Более того, если функция G строго выпукла по совокупности переменных z и ξ , то

6 _g (z,£,w,n) >  0, если £ = п или z = w.

Пример 4. Пусть m = 1 . Положим

n

^G(x,z,£) = 52 a ij ^(x)£ i ^£ j , где || a ij (x) || — положительно определенная матрица. Тогда

n

6g(z,£,w,n = 52 aj (x^(£i i,j=1

-

n i ^)(£ j - П )•

В частности, если G(x, z, £) = | £ | 2 , то 6 _G (z, £, w, п) = | £ - П 1 2 • Пусть Г С Q — кусочно-гладкий кусок границы области Q .

Теорема 1. Пусть вектор-функция u G Lip loc (Q U (дQ \ Г)) является обобщенным решением смешанной краевой задачи системы уравнений (2) с вектор-функцией ψ^~ ∈ G L 2 (r) и пусть задана произвольная вектор-функция v G Lip loc (Q U (дQ \ Г)) П L 2 (r) такая, что

~ | dQ \ r = ~ | dQ \ r .

Тогда

/ 6g (u, Du, v, Dv)dx = I(v) - I(u) - [X f i (vⁱ - u i ) ds.

_{Ω                                            Γ} i =1

Доказательство. Полагая z = ~ , w = ~ , £ = D~ , п = D~ в определении величины 6 G (z,w,£,n) , интегрируя по области Q и применяя определение обобщенного решения, получаем

16_G(u, Du,v, Dv)dx = У G(x,v,Dv)dx - j G(x,u,Du)dx-

Ω

Ω

Ω

nm                m

XX G h (x^Du^v X _h ^{- u} X h ^)dx ^- / X G _z i ( x, u, Du )( v ⁱ - u ⁱ ) =

_Ω h =1 i =1                                    _Ω i =1

= / G(x,v,Dv)dx - / G(x,u,Du)dx - / XX^i(vi i=1

- u ⁱ ) ds = I ( v ) -

Ω

Ω

m

-I (u) - IX U(v

Γ i=1

Γ

— u ) ds.

Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что если ввести функционал

m

^X ψ ⁱ v ⁱ ds,

Γ i=1

то теорема 1, в частности, утверждает, что на решении ~u функционал I ₁ достигает своего минимума. Более того, если найдена последовательность { ~v _m } , минимизирующая данный функционал, то есть I 1 (~ m ) ^ I 1 (~) , то

У 5 G (~, v m , D~, Dv m^ dx ^ 0.

Ω

Данный факт можно интерпретировать как сходимость (vm, D~m) к (u, D~) «в среднем». Например, если m = 1 и G(x,z,£) = |£|2, то указанная сходимость будет иметь вид j |Vu -Vvm|2dx ^ 0, Ω то есть vm ^ и по норме пространства W1,2 (Q). Отметим также, что из полученной сходимости для уравнения минимальной поверхности в работе [3] доказывается и равномерная сходимость при дополнительных условиях на последовательность vm .

В качестве следствия из доказанной теоремы получаем теорему единственности решения смешанной краевой задачи.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1, при этом вектор-функция ~v также является обобщенным решением смешанной краевой задачи системы (2). Тогда почти всюду

5 g (u, v, D~, D~) + 5 g (~, ~, D~, D~ = 0.

В частности, если функция G(x,z,£) является строго выпуклой по переменной z или по переменной £ , то и = ~ + const . Причем, если Г = dQ , то const = 0 .

Доказательство. Для каждого из решений можем записать равенства

У 5 G (u, v, Du, Dv)dx = I 1 (v)

Ω

-

W), /

Ω

5 G (v, u, Dv, Du)dx = I 1 (u)

- I 1 ( ~v ) .

Складывая эти равенства, получаем

У (5 g (~, ~, Du, D~) + 5 g (~, u, D~, D~))dx = 0. Ω

Тогда подынтегральное выражение почти всюду равно нулю. Если функция G строго выпукла по переменной z , то почти всюду u = ~ . Если же функция G строго выпукла по переменной £ , то почти всюду Du = Dv . Так как функции u и v локально липшицевы, то получаем, что u — v = const .

Замечание. Пусть m = n и G(x, z, w, S, n) = G(x,S,n) . Если предположить, что выполнено неравенство

n

5 G (^^,n⁾ >  ^A o X (S j ^- n j ) 2

i,j=1

для некоторого A _o > 0 и всех S,n таких, что S j = S j , n j = n j , то функция G(S,n) может быть не строго выпуклой по переменной ξ . В этом случае для формулировки и доказательства теоремы единственности нужно воспользоваться известными неравенствами Корна (см., например, [6]).

Замечание. В монографии [4] даются оценки величины 5 G (S, n)+5 G (n, S) для уравнения

n

Далее рассмотрим ряд примеров и выясним геометрический смысл теоремы 1 для уравнения минимальной поверхности в финслеровой метрике.

2.    Финслерова метрика

Дадим необходимые определения и вспомогательные утверждения, которые нам понадобятся для формулировки и доказательства основных результатов.

Пусть Q — ограниченная область в R n . Предположим, что для всех точек x G Q и S G R n определена непрерывная функция Ф(х, S) , удовлетворяющая условиям:

• 1)    Ф(х,<) >  0 ;

• 2)    Ф(х, AS) = AФ(x,S) для всех A > 0 ;

• 3)    множество

E(x) = {< G Rn :Ф(х^) < 1} является выпуклым и ограниченным для каждой точки x G Q.

Определим двойственную функцию

H ^(x,n) = sup h^S , ⁿⁱ .                                   ⁽⁴⁾

5=0 ^ф(х,<)

Справедливо следующее равенство (см. [7, §15])

^ф(x,s) = ^sup h^i .                             ⁽⁵⁾

n=0 H^(x,n)

Отметим также, что функция H (x,n) будет удовлетворять тем же свойствам 1)-3), что и функция Ф(х, S) .

Далее будем предполагать, что функции Ф ² (х, S) и H ² (x, n) дважды непрерывно дифференцируемы в Q х R n . Положим

A = A(x,S ) = V _€ Ф(x,S), S = 0,

B = B (x, п) = V _n H (x, п), п = 0.

Отметим, что по теореме Эйлера об однородных функциях выполнены следующие ра- hA(x,( ),() = ф(х,С), hB(x,n),ni = H (x, п)                    (6)

для всех ξ, η ∈ R ⁿ .

Замечание. Далее будем считать, что множество E(x) строго выпукло. Тогда равенства (4) и (5) достигаются на единственных векторах С' = С'(п) и п' = п'(С) таких, что ф(х,С'(п)) = 1 H (х,П0О = 1.

Для векторов A(x, С) и В(х,п) докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Справедливы равенства

^A(x, ⁽⁾ = п'^),    ^B(x, П) = ^С ' ⁽п).

Доказательство. Для любого вектора θ ∈ R ⁿ из равенства (2) имеем

^ф(х,⁽ + t9) - ^ф(х,⁽) > h ⁽ + t9, п'^{(С) )} - «, п' О =

= ЦМ (С) ) .

Следовательно, hA(x,( ),0) > (О,п'(С)У

В силу произвольности вектора θ получаем первое равенство. Второе равенство доказывается аналогично.

Лемма 2. Для любых векторов ξ, η ∈ Rn выполнено неравенство hA(x,cУ^ < ф(х,п).

Причем равенство достигается в том и только в том случае, когда ( = Ап для некоторого А > 0 .

Доказательство. Применяя лемму 1, получаем hA(x,cУ^ < H(x,A(x,c))ф(х,п) =

= ^{H (}x, п ' ^{(С)) ф(}х, п) = ^ф(х, п^).

Если в доказываемом неравенстве выполнено равенство, то

^{H (}х,п'^(С)у = ¹ =

Уп' (^п ) ф(х, п)

С другой стороны, из определения п ' (С) имеем

ф(х,С) =

У п ' (С ),С )

^{H (}х,п' ^(С))

H (x,n'tt )) = /'. ^(х, s)

В силу замечания 2 получаем <    = n

Ф(х,о   Ф(х, n).

Лемма доказана.

Для произвольной пары векторов ξ, η ∈ R ⁿ определим следующую величину

S^n) = ^(хЛ) + ^Ф 2 ⁽х, n) - ²^⁽x^{,s) h A(}x^,s),ni.

Отметим, что S(S,n) >  0 и S(S,n) = 0 тогда и только тогда, когда S = n - Действительно, из леммы 2 имеем

S(s, n) >  Ф 2 (х, S) + Ф ² (х, n) - 2Ф(х,<)Ф(х, п) =

= (Ф(х,0 - Ф(х,п)) ² >  0.

При этом, если выполнено равенство, то, во-первых,

Ф(х,<) = ф(x,n), а во-вторых, (А(х, £),д) = Ф(х,п). Тогда из леммы 2 получаем, что s = n

Ф(х,0   Ф(х, n) , поэтому S = n-

Пример 5. Рассмотрим функцию _n                  1/2

Ф(х,£)= jgij(х)€,«^   , S = (Si,...,Sn), где (gij (х)) — симметричная положительно определенная матрица. Тогда n                  1/2

H(х,п)=1 J^gijЧИпЛ   , n = (ni,...,nn), i,j=1

где g ij (х) — коэффициенты обратной матрицы к (g ij (х)) . В этом случае имеем

S(S,n)= X/ j (х)й - n , )(S , - n , ).

Лемма 3. Для любого вектора n = 0 справедливо равенство ^{а ( х,в ( х,}П^^ = _И[ ⁿ v H ^(х,п⁾

Доказательство. Из леммы 1 следует, что B(x,n) = С'(п\ При этом ^ф(x^,( ^{0 (}n⁾⁾ = ¹      H ⁽x^,n⁾ = h ( 0 (n),n ) .

В силу леммы 1 и замечания 1 нам достаточно проверить, что ^ф(^х,в(х,п⁾⁾ = h H (x _n) ^,B(^x,n^{) i} , которое следует из предыдущих равенств. Лемма доказана.

3.    Вариационное равенство для уравнения минимальной поверхности в финслеровой метрике

Далее введем функционал типа площади и для экстремалей данного функционала получим одно вариационное равенство.

Пусть a(x) — непрерывно дифференцируемая положительная функция, заданная в области Q . Положим               ___________

a(f) = j q i + Ф ² (x, V f) a(x) dx.

Уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее этому функционалу, имеет вид (см., например, [1, гл. 6 ])

Ф(x, Vf )A(x, Vf )a(x) !

diV                                 = 0.                               7

P 1 + Ф ² (x, Vf )

В случае, когда Ф(x,^) = | £ | , a(x) = 1, функционал off ) определяет площадь поверхности графика функции f в R ^{n +1} , а уравнение (7) является уравнением минимальных поверхностей.

Для произвольной функции f G C 1 (Q) положим

_V -      ^{V v} - ¹)

^f   p i + Ф ² (x, V f) ■

Тогда для любых векторов х 0 = (C',t^f), х " = (£ 00 ,t") G R n⁺¹ определим следующую величину

Л(х 0 ,х") = 5«',f⁰) + (t - 1 ⁰⁰ ) ² .

Из леммы 2 следует, что Л(х 0 , Х 00 ) А 0 и Л(х 0 , Х 00 ) = 0 в том и только в том случае, когда х ⁰ = х ⁰⁰ .

Теорема 2. Пусть ограниченная область Q содержит гладкий кусок Г , f G C ² (Q) П П C ¹ (Q U Г) П C (Q) — решение уравнения (7) и функция g G C ² (Q) П C 1 (Q U Г) П C (Q) такова, что f = g на д^ \ Г и

Ф(х, Vf )hA(x, Vf )~i   Ф(х, Vg)hA(x, Vg)~ =₀

Р 1 + Ф 2 (х, Vf )          P 1 + Ф ² (x, V g)

на Г . Тогда справедливо равенство

I A(v f , V g ) ^ 1 + Ф ² (x, V g) a(x) dx = 2(a(g) - a(f )).                 (8)

Ω

Доказательство. Данное равенство непосредственно следует из теоремы 1. Для этого достаточно заметить, что

A(v f ,V g )^1 + Ф ² (x, V g) = 2^1+ Ф²^, V g) -

2Ф(х, V f ) ( A(x, V f), V g i + 1 Р 1 + Ф 2 (х, Vf )

= 2М1 + Ф 2 (х, Vg) - У 1 + Ф ² (x, Vf ) -

_ Ф(х, Vf ) h A(x, Vf ), Vg -Vf i Р 1 + Ф ² (х, Vf )

= 2§ G (Vf, Vg).

Здесь величина δ _G вычисляется для функции

G(x,^) = У 1 + Ф ² (х,£).

Для завершения доказательства нужно это равенство домножить на a(x) , проинтегрировать по области Q и воспользоваться теоремой 1. Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим случай, когда Ф(х,£) = | £ | , a(x) = 1 . Тогда уравнение (7) есть уравнение минимальной поверхности. Не сложно увидеть, что величина A(v f , v g ) представляет собой квадрат разности ν f - ν g . В этом случае полученное в теореме 2 равенство можно переписать следующим образом

I sin ² 2 q r+pgl² dx = ^(g) ^- m^{f )),}

Ω где a — угол между нормалями Vf и vg в точках (x, f (x)) и (x, g(x)) соответственно.

4.    Вариационное равенство для уравнения p-Лапласа

Для произвольной функции u Е C 1 (Q) П C ^{0 , 1} (Q) и p >  1 положим

Ip(u) = J Фр(х, Vu) dx + j F(x)u(x)dx,

Ω

Ω где F(x) — некоторая ограниченная измеримая функция, определенная в области Q. Далее будем рассматривать уравнение div (Фp-1(x, Vu)A(x, Vu)) = F(x),                         (9)

являющееся уравнением экстремалей для функционала I _p (u) .

Введем величину, характеризующую отклонение вектора η ∈ R ⁿ от вектора ξ ∈ R ⁿ , следующим образом

5 р ⁽(^,П⁾ = ⁽Р ^{- 1)ф p (}x^,(⁾ + ^{ф p (}x^,n^{) -} P^{ф P - 1 (}x^,(⁾ h ^A(x^,(^),n i .

Отметим, что 5 2 (^, п) = §(С,П) .

Лемма 4. Для любых векторов С,п G R n величина 5 _р (С,п) >  0. Причем равенство выполняется в том и только в том случае, когда С = п•

Доказательство. Применяя лемму 2 и неравенство Юнга, получаем

^ р« ,п) >  (Р - 1)Ф ^Р (х,0 + Ф(х,п) — рФ ^{р -} 1 (х,()Ф(х,п) >

> (р — 1)Ф ^р (х, С) + Ф^р(х,п) — (р — 1)Ф ^р (х,С) — Ф ^р (х,п) = 0.

В случае, когда выполнено равенство, из леммы 2 получаем, что п = АС для некоторого А > 0 . Тогда

0 = 5р«,п) = (Р — 1 + А ^р — рА)Ф ^р (х, С).

Так как функция Ар для р > 1 строго выпукла вниз по переменной А, то равенство р — 1 + Ар — рА = 0

возможно только при А = 1 . Таким образом, С = П "

Теорема 3. Пусть u G C ² (fi) П C ^{0 , 1} (fi) — решение уравнения (9) и функция v G G C ² (fi) П C ^{0 , 1} (fi) такова, что u = v на dfi . Тогда справедливо равенство

J б р^ и, V v) = 1 р (v) — 1 р (и).                          (10)

Ω

Доказательство. Пользуясь теоремой 1 и равенством

МА^,п = ⁽р ^{— 1)ф р (}х^,С) + ^{ф р (}х,п) ^— р^{ф р - 1 (}х^{,С ) h} A⁽x^,c ),ni =

= фр(х,п) — фр (х,П) — рфр-1(х,С )hA(x,c ),П —

Отметим, что на основе доказанного равенства можно получить принцип максимума и принцип сравнения для решений уравнения (9).

Теорема 4. Пусть u,v G C ² (fi) П C (fi) — решения уравнения (9). Тогда

u(x) <  v(x) + sup(u — v).

∂Ω

Доказательство. Пусть найдется точка x ₀ G fi такая, что u(x ₀ ) > v(x ₀ ) + sup(u — v) .

∂Ω

Положим k = sup(u — v). Рассмотрим 6 > 0 такое, что u(x0) > v(x0) + k + 6 и обозначим ∂Ω через De компоненту связности множества {x G fi : u(x) > v(x) + k + e}, содержащую точку x0. Тогда De C fi, функции u,v + k + 6 удовлетворяют уравнению (9) в De и u = v + k + 6 на dDe. Поэтому из теоремы 3 следуют равенства

J 5 р (^и, V v

D ε

)dx = j Ф ^р (х, V u)dx — j Ф ^р (х, V v)dx,

D ε

D ε

J 5 p (Vv, Vu)dx = J Ф ^р (х, V v)dx — J Ф ^р (х, V u)dx.

D ε                    D ε

Складывая эти равенства, получим

D ε

15 p (Vu, Vv)dx + J

5 p (Vv, Vu)dx = 0.

D ε

D ε

Пользуясь леммой 4, приходим к равенству V u = V v в D _e . Следовательно, u = v + k + e , что противоречит определению множества D ε . Теорема доказана.