О вероятностном моделировании одного процесса взаимодействия частиц

Автор: Ассаул Виктор Николаевич, Головин Александр Викторович, Погодин Игорь Евгеньевич

Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths

Рубрика: Математическое моделирование и обработка данных

Статья в выпуске: 3, 2019 года.

Бесплатный доступ

Анализируется и количественно моделируется динамический процесс случайного последовательного подлета частиц к системе ячеек, в которых при попадании двух частиц в ячейку происходит аннигиляция частиц с выделением некоторого количества энергии. Выбор ячейки для подлетающей частицы происходит случайным образом. В случае занятия пустой ячейки частица находится в этой ячейке до подлета следующей частицы. Рассматриваются различные соотношения числа частиц и ячеек, проанализированы предельные случаи. Модель предложена для процессов хемилюминесценции, в ходе которых происходит выделение световой энергии вследствие химической реакции. Используются методы классической теории вероятностей с построением деревьев исследуемых событий. Представленная модель носит упрощенный ха -рактер, но допускает дальнейшее обобщение на случай более точного учета протекающих процессов. Кроме того, задача имеет выход на модель простейших потоков с приложениями в теории систем массового обслуживания.

Еще

Занятые и свободные ячейки, подлетающая частица, порядковый номер, вероятность высвечивания, дерево структуры состояний

Короткий адрес: https://sciup.org/148308944

IDR: 148308944 | DOI: 10.18101/2304-5728-2019-3-60-68

Текст научной статьи О вероятностном моделировании одного процесса взаимодействия частиц

В данной работе на основе вероятностных представлений проведена попытка смоделировать динамический процесс последовательного подлета возбужденных частиц к поверхности с определенным набором ячеек, в которых происходит как накапливание энергии (на первой стадии), так и высвечивание всей энергии на второй стадии. Рассматривается задача, в которой предполагается, что n частиц случайным образом последовательно прилетают в к ячеек. В случае попадания двух частиц в одну ячейку идет моментальное высвечивание некоторого количества энергии, частицы аннигилируют, а ячейка готова снова принимать новые частицы на прежних условиях высвечивания. Требуется исследовать временную динамику вероятности (интенсивности) высвечивания в зависимости от размера системы к и от номера n очередной прилетевшей частицы.

Такая ситуация проистекает из физических исследований по хемилюминесценции [1]. Хемилюминесценция — это эмиссия света (люминесценция) в результате химической реакции. При этом энергия химической реакции переходит в энергию света и несет информацию о произошедшей химической реакции. В случае поверхностной хемилюминесценции при атмосферных условиях активная частица подлетает к поверхности и передает ей свою энергию, которая после определенного преобразования на активных центрах поверхности высвечивается в виде фотона. В одной из известных реакций взаимодействия возбужденного синглетного кислорода ¹ с поверхностью кристаллического 9,10-дифенилантрацена энергия кванта люминесценции дифенилантрацена более чем в два раза превосходит энергию возбуждения молекулы синглетного кислорода [3]. Учитывая закон сохранения энергии и статистическое распределение тепловой энергии на поверхности кристалла, разумно предположить, что энергия от синглетного кислорода первоначально сохраняется и накапливается в активных зонах (ячейках), а процесс высвечивания происходит только после попадания последующей молекулы синглетного кислорода в активную зону (ячейку).

Кроме того, моделируемая задача близка к модификации распространенной модели «простейшего процесса» ² [4], в котором свойство «ординарности», т. е. запрет на одновременное попадание двух «частиц-заявок», заменено на аннигиляционное высвечивание с уничтожением частиц; в приложении теории очередей, например, к движению автотранспорта, это может быть столкновение пары случайно сблизившихся транспортных единиц (ДТП) с их дальнейшим уходом из процесса.

Наконец, задача может служить полезным методическим упражнением для изучающих теорию вероятностей (раздел «Случайные события») в объеме, соответствующем программе технического вуза [5].

Построение и исследование модели

Для начала рассмотрим и смоделируем поведение системы при увеличении количества частиц n с незначительным количеством ячеек k в переходной фазе из начального состояния покоя ( n ₀ = 0 ) и оценим вероятности высвечивания P ( к ) (здесь P (...) означает условную (или безусловную) вероятность высвечивания после подлета частицы с указанным в скобках номером при соответствующих условиях относительно предшествующих частиц). К примеру, P (4|2,3) означает вероятность высвечивания при подлете 4-й частицы при условии, что предыдущее высвечивание было при подлете 3-й частицы и отсутствовало при подлете 2-й частицы.

Начнем с более подробных вычислений при к = 3 . Тогда:

у первой (n = 1) прилетевшей частицы P(1) = 0, у второй (n = 2): P (2) = 1/3, у третьей (n = 3): P (3|2) = 0, P (3|) = (1 - P (2)) ■ 2/3 = 4/9;

у четвертой ( n = 4 ):

P (4|2,3) = (1 - P (1))(1 - P (2))(1 - P (3|2)) = 2/9;

P (4|2,3) = (1 - P (1)) P (2)(1 - P (3|2)) ■ 1/3 = 1/9;

P (4^,3) = (1 - P (1))(1 - P (2)) P (3|2) = 4/27;

и в итоге P (4) = 13 / 27 .

У пятой ( n = 5 ):

P (5) = P (5| 2,3,4) + P (5| 2,3,4) + P (512,3,4) =

= (2/9 + 8/27 + 2/9) ■ 2/3 = 40/81.

Аналогично при к = 2 : P (1) = 0 , P ( n > 2) = 1/ 2 .

При к = 4 :

P (1) = 0 , P (2) = 1/4 , P (3) = 3/8 ; P (4) = 7/16 ; P (5) = 15/32 ; P (6) = 31/64.

При к = 5 : P (1) = 0 ; P (2) = 1/5 ; P (3) = 8/25 ; P (4) = 49/125 ; P (5) = 272/625 .

Для построения дерева найдем сначала рекуррентное соотношение для вычисления вероятности высвечивания P ( n + 1) при прилете очередной частицы (шаг увеличения n на единицу):

P ( n + 1)

Е j=1

к - s j k

к — s ■ — 1 s: к — s ■ +1 ----j ---+ —L--j--- k kk

P j ( ⁿ ) ,

где s j — количество пустых ячеек в каждом j -м компоненте, имевшем веро ятность p j (n), среди компонент, относившихся к предыдущему шагу n .

На основании проделанных эмпирических пробных расчетов можно построить обобщенное выражение

P ( k , n ) = 0.5

к > 2 ,

lim P ( n )| к « 0.5. n ^го

Рассмотрим состояние (s, к — s) с s занятыми и (к — s) свободными ячейками, вероятность высвечивания из которого составляет: s / к. После прилета (n +1) -й частицы система может с вероятностью s / к перейти в состояние (s — 1, к — s +1) , откуда при прилете следующей (n + 2) -й частицы возможно высвечивание с вероятностью (s — 1) / к, либо с вероятностью (1 — s / к) переход в состояние (s +1, к — s — 1) , откуда при прилете (n + 2) -й частицы возможно высвечивание с вероятностью (s +1) / к. В итоге после прилета (n + 2) -й частицы система может дать высвечивание с вероятностью:

( s / к )( s — 1)/ к + (1 — s / к )( s + 1)/ к = ( s / к ) [ 1 — 2/ к + 1 /( sk ) ] . (2)

При возможности пренебрежения в (2) членом 1/( sk ) , например, если s >> 1 , можно получить P ( к , n + 1) — P ( к , n ) [ 1 — 2/ к ] , т. е. вероятность высвечивания менялась бы строго по закону геометрической прогрессии. Однако если считать величину s случайной, равномерно распределенной в диапазоне [ 0 ^ к ] , то усреднение вероятности (2) по этому диапазону s дает выражение: (0.5 — к ¹ + к ² ) , также сходящееся к 0,5 при увеличении к .

Далее с помощью построения «деревьев» рассмотрим по шагам начало релаксации системы при различных видах начальных условий, а именно:

А) после момента полного заполнения к частицами всех к имеющихся ячеек;

Б) после момента гипотетического заполнения к частицами половины всех ячеек, т.е. ровно q из имеющихся к = 2 q ячеек;

В) после момента полной пустоты всех к имеющихся ячеек.

Во всех случаях процесс расчета вероятностей представим в виде таблицы, изображающей соответствующее дерево динамики событий с указанием номеров последовательных шагов n (подлет очередной частицы с номером n ) после момента полного заполнения ячеек (случай (А), табл. 1) и вероятностей высвечивания в соответствующих состояниях (случаи (А), (Б) и (В), табл. 2).

Таблица 1

г W

Н О о о

в У

В н о

н о

в В

W S

cd 02 S

о 02 О

о о

о Он о m

Дерево динамики состояний системы из к ячеек, изначально полностью занятых частицами (случай (А))

к = 0

( к - 1) + 1

( к - 1)/ к

1/ к

( к - 2) + 2

к + 0

( к - 2)/ к

2/ к

( к - 3) + 3

( к - 1) + 1

( к - 3)/ к

3/ к

к - 1 k

1 k

( к - 4) + 4

( к - 2) + 2

к + 0

( к - 2) + 2

к + 0

к - 4 k

к - 2 k

( к - 5) + 5

( к - 3) + 3

( к - 1) + 1

Таблица2

№ n	Вероятность высвечивания после прилета n -й частицы при условии, что в исходном состоянии:
№ n	все ячейки заняты (А)	занята половина всех ячеек (Б) 1/2	все ячейки свободны (В)
1	1		0
2	1 - 1/ к		1/ к
3	1 - 2/ к + 2/ к^г		2/ к - 2/ к^г
4	1 - 3/ к + 6/ к ² - 4/ к³		3/ к - 6/ к ² + 4/ к³
5	, 4 12 16 8 1 ++ к к ² к³ к⁴		4 - 12 16 - 8 к к^{7 +} к⁷ к ⁴
6	, 5 20 40 1 -- + - + к к² к³ 40 16 ⁺ к⁴ к⁵		5 20 40 ---т +----- к к² к³ 40 16 к^{4 +} к⁵
n	1 - Е ^l ( - 2) ^, - ¹ СП - 1/ к¹		^VJ 2) Cin - 1/ к

Можно заметить, что для случая (А) (со временем после момента гипотетического полного занятия всех ячеек) вероятность высвечивания падает сверху, стремясь к некоторому пределу, для случая (В) вероятность высвечивания растет снизу, стремясь к пределу. Примечательно, что случаи (А) и (В) обнаруживают симметрию относительно значения вероятности 0.5.

В случае (Б) вероятность высвечивания устанавливается на уровне 0.5 независимо от количества прилетевших частиц.

Тот же случай (А) при к = 3 можно рассмотреть также, используя комбинаторику в модели различимых частиц (табл. 3), что несущественно:

Таблица 3

IS о H 2 св Н о В У О ⁸ Д во а о S о £ К г	02 Он cd £ а	в У )В В S св и В со ^нв £ О о Ы в		в ⁸ Он г 8 ° cd о 5 о СО в о л и 5 у в <5 се £	в в « со В О у 02 cd н О ° g в к а н а К Щ н Ооо а СО I-H ООО m в в	В о в к со а в в СО в н & § о a ^s Н ⁸ О § § ⁸ & § ^D§ Щ 02 02	в S о В о о 5 В В ⁸w В ³⁸о S ° во а о о 5 2 со « ⁸«So 5 ⁸ н Soo а со в Bos ° а С со В
3	2:0:0	3		C ² ₂ = 1	1/3	0
3	1:1:0	3		C ¹2 ⁼ ²	2/3	2/3
6					9		4/9 = 0.44
4	3:0:0	3		С ³3 ⁼ ¹	1/9	1/3
	2:1:0	6		С ²3 ⁼ ³	2/3	1/3
	1:1:1	1		P 3 ⁼ ⁶	2/9	1
10					27		13/27=0.48
5	4:0:0	3		C ⁴4 ⁼ ¹	1/27	0
	3:1:0	6		_C 3₄ ₌ ₄	8/27	2/3
	2:1:1	3		С ² ₄ P ₂ = 12	4/9	2/3
	2:2:0	3		С ²4 ⁼ ⁶	2/9	0
15					81		40/81 = 0.49
6	5:0:0	3	C ⁵5 = ¹		1/81	1/3
	4:1:0	6	_C 4₅ ₌ ₅		10/81	1/3
	3:1:1	3	C ³ ₅ P ₂ = 20		20/81	1
	3:2:0	6	C ³ ₅ = 10		20/81	1/3
	2:1:2	3	C ²3 C 5² ⁼ ³⁰		10/27	1/3
21					213		121/243 = = 0.498

Заключение

В работе построено дерево переходов при подлете новых частиц при различных начальных условиях и рассчитана динамика вероятностей высвечивания. Получены вероятности высвечивания при малых k комбинаторным образом для классического определения вероятности. Получено аналитическое выражение для вероятности высвечивания, найдены аналитические выражения для коэффициентов для найденных вероятностей, кроме того, дана интерпретация полученных оценок вероятностей.

Список литературы О вероятностном моделировании одного процесса взаимодействия частиц

Колтовой Н. А. Хемилюминесценция. М.: Nethouse.ru, 2017. 145 с.
Schwetzer C., Schmidt R. Physical mechamisms of generation and deactivation of singlet oxygen // Chemical Revue, 2003. V. 103 (5). P. 1685-1758.
Челибанов В. П., Челибанова М. Г. Способ и устройство для регистрации синглетного кислорода // Патент RU 2415401 C1, 2010.
Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология М.: Наука, 1988. 203 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2014. 480 c.

Статья научная