О вещественной полноте пространства слабо аддитивных \sigma-гладких функционалов
Автор: Жиемуратов Рзамурат Есбергенович, Заитов Адилбек Атаханович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.11, 2009 года.
Бесплатный доступ
В работе устанавливается, что пространство \sigma-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов является вещественно полным.
Функтор, слабо аддитивный, сохраняющий порядок функционал, вещественная полнота
Короткий адрес: https://sciup.org/14318262
IDR: 14318262
Текст научной статьи О вещественной полноте пространства слабо аддитивных \sigma-гладких функционалов
Систематическое исследование пространств вероятностных τ -гладких и радоновых мер на тихоновских пространствах было начато в работе [1]. Пространство слабо аддитивных функционалов является более широким объектом, чем пространство вероятностных мер. Пространства слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных τ -гладких и радоновых функционалов впервые рассматривались в [2]. Наши интересы в настоящей работе затрагивает, в основном, вещественная полнота пространств слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Это связано с тем, что вещественно полные пространства обладают многими свойствами, которыми обладают компакты ( = бикомпактные хаусдорфовы пространства).
Начало исследований ковариантных нормальных функторов, действующих на категории Comp компактов, и их непрерывных отображений и на других различных категориях, восходит к фундаментальной работе [3] Е. В. Щепина, где он выделил ряд элементарных свойств ковариантных функторов в категории компактов и ввел понятие нормального функтора. Т. Н. Радул показал, что введенный им в [4] функтор O : Comp ^ Comp не удовлетворяет некоторым условиям нормальности. Функтор O можно продолжить на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений по конструкции А. Ч. Чигогидзе [5] до функтора O e : Tych ^ Tych или до функтора O о в : Tych ^ Comp аналогично конструкции В. В. Федорчука [6], рассмотренной для функтора P вероятностных мер, где было отмечено, что функтор P о в : Tych ^ Comp, ставящий в соответствии тихоновскому пространству X компакт P^X ), тоже продолжает функтор P : Comp ^ Comp, где через вХ обозначено компактное расширение Стоуна — Чеха тихоновского пространства X .
Пространство O e (X ) слабо аддитивных функционалов с компактными носителями, рассмотренное в [7], слишком узко, а пространство O(вX ) = O о в(X ) всех слабо аддитивных функционалов, категорные свойства которого были изучены в [8], слишком широко, и в результате функтор O о в : Tych ^ Comp не сохраняет многих специфических свойств пространства X , переводя тихоновское пространство X в компакт O(вX ).
Поэтому естественно рассматривать пространства функционалов, заключенных между пространствами O e (X ) и O^X ). В связи с этим в [9] были изучены пространства O r ( X ) слабо аддитивных радоновых функционалов и O T (X ) слабо аддитивных
τ -гладких функционалов. Но эти пространства не всегда являются вещественно полными. Естественно возникает вопрос о том, какая часть компакта О(вХ) является вещественно полной для всякого тихоновского пространства X . В настоящей работе покажем, что пространство O n (X) ст-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов является вещественно полным.
Пусть X — компакт, C(X ) — алгебра непрерывных функций у : X ^ R с обычными алгебраическими операциями и sup-нормой. Для каждого c ∈ R через c X обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле c x (x) = c для всех x G X. Пусть у,^ G C(X ). Мы говорим, что у 6 ^ тогда и только тогда, когда у(x) 6 ^(x) для всех x ∈ X.
Функционал ^ : C(X ) ^ R называется [4]:
-
1) слабо аддитивным, если ^(у + c x ) = ^(у) + c для любых у G C(X ) и c G R;
-
2) сохраняющим порядок, если для любой пары функций у,^ G C(X ) неравенство у 6 ^ влечет ^(у) 6 ^Wi
-
3) нормированным, если ^(1 x ) = 1.
Для компакта X через O(X) обозначается пространство всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов ^ : C (X) ^ R. Множество функционалов, удовлетворяющих первым двум условиям этого определения, обозначим через W (X). В протяжении этой работы слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормированный функционал для краткости просто будем называть функционалом. Множество W (X) снабжается топологией поточечной сходимости. Рассмотрим O(X) как подпространство W (X).
Пусть X — тихоновское пространство, C b (X ) — алгебра ограниченных непрерывных функций у : X ^ R с поточечными алгебраическими операциями. Для функции у G C b (X ) положим ||у || = sup {| у(x) | : x G X } . C b (X ) с введенной нормой является банаховой алгеброй. Для каждой у G C b (X), сопоставив ее непрерывное продолжение у G C (eX), получим изоморфизм между алгебрами C b (X ) и C (eX), причем имеет место к у? к = ||ук , поэтому указанный изоморфизм является изометрией соответствующих нормированных алгебр. Тем самым их топологические свойства совпадают. Поэтому всякую функцию из C b (X ) можно считать элементом C(eX ).
Будем говорить, что последовательность { у п } С C b (X ) есть монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящейся к нулю на X , если для каждой точки x ∈ X имеем у п (x) > у т (x) при n 6 m и lim у п (x) = 0.
Определение 1. Функционал у G W(eX ) назовем ст-гладким, если у(у п ) ^ 0 для любой монотонно убывающей последовательности { у п } С C b (X ), поточечно сходящейся к нулю на X .
Для тихоновского пространства X через W CT (X) обозначим множество всех ст-гладких функционалов у G W(eX ). Положим
O CT (X) = { у G W CT (X) : д(1 х ) = 1 } .
Очевидно, что имеют место следующие включения
O e (X) С O r ( X ) С О т (X) С O . (X) С O(eX)
для любого тихоновского пространства X , и равенства
O e (X) = O r ( X ) = О т (X) = о . (X) = O(eX)
для произвольного компакта X .
Наделим множество O . (X) топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционала ^ G O . (X) в этой топологии образуют множества вида
(^5 ^1,... ,^k; Е) = {v G О(вХ) : |v (yi) - ^(^i )| < е} П O. (X), где ^i G Cb(X), i = 1,..., k и Е > 0.
Покажем, что конструкция взятия пространства O . (X ) порождает ковариантный функтор O σ , действующий на категории Tych. Для этой цели рассмотрим компакты X, Y G Comp и непрерывное отображение f : X ^ Y. Определим отображение O(f ) : O(X ) ^ O(Y ) по формуле
(O(fК^Ж^) = Xv ° f)> Д G O(X), V G C b (Y )•
Пусть теперь X, Y G Tych и f : X ^ Y — непрерывное отображение. Рассмотрим его продолжение ef : eX ^ 0Y, существующее согласно теореме 3.6.1 [10, с. 266]. Возникает отображение O(0f ) : O(eX ) ^ O(eY )• Пусть ^ G O . (X) и { ^ n } С C b (Y ) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Y. Тогда { ^ n ° f } С C b (X ) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на X. Имеем
O(efКЖСЖ) = ^ (el ° f) = ЖЖ ° f) —> 0, т. е. O(ef)(O . (X)) С O . (Y). Положим O . (f) = O(ef ) | O . (X)•
Покажем, что конструкция O σ сохраняет композицию отображений. Пусть X, Y, Z — тихоновские пространства и f : X ^ Y, g : Y ^ Z — непрерывные отображения. Пусть ^ G O . (X), v G C b (Z ). Тогда
(O.(g °fK^Mv) = (O(eg °Pf K^M = Ж^ ° (Ж °Pf)) = ЖЖ ° M °Pf) = O(ef)(ЖЖ ° eg) = o(eg)(O(ef)(Ж)(Ж = O.(g)(O.(f)(Ж)(Ж, т. е. O.(g ° f) = О.(g) ° O.(f )•
Наконец, установим, что конструкция O σ сохраняет тождественные отображения. Пусть id x : X ^ X — тождественное отображение, т. е. id x (x) = x для любой точки x G X . Тогда
O.(idx)(^)(V) = O(eidxХЖС?) = O(idexХЖС?) = Ж4? ° idex) = ЖЖ = ЖЖ> т. е. О. (idx) = idoCT(x)•
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Конструкция O σ является ковариантным функтором, действующим на категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений, продолжаю щим функтор О : Comp ^ Comp.
Для компакта X через P (X) обозначим пространство вероятностных мер на X, которое является подпространством O(X)• Далее, для тихоновского пространства X обозначим через P e (X) пространство вероятностных мер с компактными носителями на X, когда е = в, пространство вероятностных радоновых мер на X, когда е = R, пространство вероятностных т -гладких мер на X, когда е = т , и пространство вероятностных ст-гладких мер на X, когда е = ст.
Предложение 1. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда P e (X ) замкнуто лежит в O e (X ), где е = в, R, т, ст.
C Возьмем произвольный функционал у G Oe(X) \ PE(X). Тогда существуют такие yi G Cb(X), i = 1,2, что у(y1 + ^2) = у(y1) + ^(^2). Положим a = |у(y1 + ^2) — у(y1) — у(у2)| > 0. Покажем, что hу; yi, y2, yi + y2; ai П Pe(X) = 0. В самом деле, пусть существует v G hу; yi, y2, yi + y2; ai ПPe(X). Тогда из принадлежности v G Pe(X) имеем v (yi + ^2) = v (yi) + v (y2),
(A)
а из принадлежности v G h у; yi, y 2 , yi + y 2 ; a i вытекает, что | v(y i ) — у(y i ) | < a , i = 1, 2. Откуда вытекают следующие неравенства:
— a < v(yi) |
— v(yi) < 1, |
(B) |
|
Сложив (B) и (C), получим |
— 3 < v(y2) |
— v(y2) < 3 • |
(C) |
2a —< |
v (yi) + v(y2) |
— У(У1) — у(У 2 ) < у. |
(D) |
С другой стороны, имеем
- a^+^2) - v (yi+^2) < |. (E)
Возможны два случая:
-
1) у(y1 + y 2 ) > у(y1) + у ( У 2 ) . Тогда у(y1 + y 2 ) = a + у(y1) + у ( у 2 ) . Последнее равенство вместе (A) и (E) дает
- у < У(У 1 ) + у(У 2 ) - v(У1) - v (У 2 ) < - у,
что противоречит (D).
-
2) у(y1 + У2) < у(y1) + у ( У 2 ) - Тогда у(y1 + У2) = у(y1) + у ( у 2 ) - а. Подставляя последнее равенство в (E) и имея в виду (A), получим
у < Kyi)+^(У2) -v (yi) -v (У2) < у, что опять-таки противоречит (D). B
Следующий результат дает критерий σ-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок, функционалов. Сначала отметим, что для каждого компакта X и для всякого слабо аддитивного, сохраняющего порядок, функционала у : C(X) ^ R существует [11] слабо аддитивный, сохраняющий порядок, функционал у0 : B(X) ^ R такой, что у0 | С(X) = у, где B(X) — пространство ограниченных функций компакта X, обеспеченное топологией равномерной сходимости. Это утверждение естественным образом распространяется для тихоновских пространств.
Теорема 2. Функционал у G W(eX) является a-гладким тогда и только тогда, когда у(х к ) = 0 для всякого замкнутого G ^ -множество K С eX \ X.
C Пусть у G W(eX) — функционал такой, что у(х к ) = 0 для всякого замкнутого G δ -множество K ⊂ βX \ X. Рассмотрим произвольную монотонно убывающую последовательность { y n } С C(eX), поточечно сходящуюся к нулю на X. Можно считать, что y n 6 1 вх для всех n G N. Для произвольного е > 0 выделим следующее множество
A n = { x G eX : У п ( х ) > е } .
Ясно, что все множества A n открыты в вХ и их пересечение К е : = Пп =1 A n = { х Е вХ : V n (x) > е } является замкнутым G ^ -множеством в вХ \ X- Откуда следует, что ц(Х А п) ^ ц(Х К ). Следовательно, имеем
ц(У п ) = ц(^п\А п + ^п\вХ \ A n ) 6 ц(Х А п + е вх )
= ^(X A n ) + £Ц(1 вх ) ^ ц(Х к Е ) + ец(1 вх ) = ец(1 вх )•
Отметим, что всякий слабо аддитивный функционал линеен на одномерном подпространстве пространства С ь (Х ), состоящего из всех постоянных функций. Следовательно, ц(1 вх ) < ^ - Откуда ц(у п ) ^ 0. Таким образом, ц Е W a (Х ).
Пусть ц Е W (вХ) — произвольный ст-гладкий функционал и K С вХ \ X — некоторое замкнутое G § -множество, т. е. K = П^=1 G n , где G n открыто в вХ для любого n Е N . Построим последовательность { ^ n } С C (вХ ) такую, что X K 6 Е н 6 X G n • Тогда { y n} — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Х. Следовательно, в силу ст-гладкости ц, имеем ц(у п ) ^ 0. Откуда, так как ц сохраняет порядок, имеем ц(х к ) = 0. B
Таким образом, согласно этой теореме, множество всех σ-гладких функционалов можем написать в виде
O . (Х) = ©ц Е О(вХ ) : ц(х к ) = 0
для всякого замкнутого G ^ -множества K С вХ \ Х} •
Напомним, что пространство X называется [10, с. 320, 321] вещественно полным (или полным по Хьюитту ), если оно гомеоморфно к замкнутому подпространству произведения R k прямых для некоторого кардинала k. Вещественное полное пространство можно рассматривать [10, с. 323] как тихоновское пространство X, имеющее компактификацию YX такую, что каждая точка х Е YX \ Х лежит в замкнутом G § -множестве F С YX \ Х•
Следующее понятие является общеизвестным. Подпространство X пространства Y называется C-вложенным (в Y), если каждая функция у : Х ^ R допускает непрерывное продолжение у : Y ^ R. Согласно теореме 3.1.16 [10, с. 327] всякое тихоновское пространство X имеет ровно одно (с точностью до гомеоморфизма) вещественно полное пространство vX, содержащее X в качестве всюду плотного C -вложенного подпространства, которое можно отождествлять с подпространством vX = ©х Е вХ : F П Х = 0
для всякого замкнутого G § -множества F С вХ, содержащего х© С вХ.
Пространство vX называется [10, с. 327] хьюиттовым пополнением пространства X.
В работах [12, 13] было показано, что пространства P R (X) радоновых вероятностных мер и Р т (Х) т-гладких вероятностных мер на Х в общем случае не обязаны быть вещественно полными даже тогда, когда рассматриваемое пространство X вещественно полно. Из этого замечания, предложения 1 и теоремы 3.11.4 [10, с. 322] (которая гласит, что каждое замкнутое подпространство вещественно полного пространства вещественно полно) вытекает, что пространства O R (X) радоновых слабо аддитивных функционалов и О т (Х) т-гладких слабо аддитивных функционалов в общем случае не обязаны быть вещественно полными. Но для пространства σ-гладких слабо аддитивных функционалов это уже не так.
Теорема 3. Для всякого тихоновского пространства Х пространство O a (Х) является вещественно полным.
-
<1 Пусть ^о е О(вХ) \ O CT (X ) — произвольный фиксированный функционал. Тогда ^0 (х к ) > Е для некоторого е > 0 и некоторого замкнутого G g -множества K С вХ \ X• Имеем K = ПП=1 G n , где G n — убывающая последовательность открытых в вХ множеств. Для каждого n > 1 множество
Zn = ^ е O(eX) : ^(XGn) > Е - n } является открытым в О(вХ) множеством, а
F = {^ е О(вХ) : ^(хк) > е} есть замкнутое в О(вХ) множество. Поскольку F = 0^=1 Zn, мы получим, что F является замкнутым Gg-множеством в О(вХ), содержащим функционал ^о и непересекаю-щимся с OCT (X). B
Теорема 4. Замыкание X = вХ П O CT (X ) тихоновского пространства X в O a (X ) является хьюиттовым пополнением пространства X .
-
< Достаточно заметить, что eX П O CT (X ) = vX . Это следует из равенства eX П O(eX ) = eX П P(eX ), которое, в свою очередь, вытекает из [14, замечание (а)] и из равенства eX П P CT (X ) = vX [15, теорема 1.2]. B
Список литературы О вещественной полноте пространства слабо аддитивных \sigma-гладких функционалов
- Банах Т. О. Топология пространств вероятностных мер, I: функторы P_\tau и \hat P//Математичнi студii.-1995.-Т. 5.-С. 65-87.
- Заитов А. А. \tau-гладкие слабо аддитивные функционалы и вероятностные меры//Тезисы докл. конф. молодых ученых, посвященной 60 летию АН РУз.-2003.-С. 41-42.
- Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов//Успехи мат. наук.-1981.-Т. 36, вып. 3(219).-С. 3-62.
- Radul T. N. On the functor of order-preserving functionals//Comment. Math. Univ. Carol.-1998.-Vol. 39, № 3.-P. 609-615.
- Чигогидзе А. Ч. О продолжении нормальных функторов//Вестник МГУ. Сер. мат-ка, мех-ка.-1984.-№ 6.-С. 23-26.
- Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии//Успехи мат. наук.-1991.-Т. 46, вып.1.-С. 41-80.
- Beshimov R. B. On weakly additive functionals//Matematychni Studii.-Vol. 18, № 2.-P. 179-186.
- Zaitov A. A. On categorical properties of the functor of order-preserving functionals//Methods of Functional Analysis and Topology.-2003.-Vol. 9, № 4.-P. 357-364.
- Zaitov A. A. Some categorical properties of functors O_\tau and O_R of weakly addidtive functionals//Math. notes.-2006.-Vol. 79, № 5.-P. 632-642.
- Энгелькинг Р. Общая топология.-М.: Мир, 1986.-752 с.
- Заитов А. А. О продолжении слабо аддитивных функционалов//Докл. АН РУз.-2005.-Т. 5.-C. 3-7.
- Федорчук В. В. О свойствах типа полноты пространств \tau-аддитивных вероятностных мер//Вестник МГУ. Сер. 1. Мат-ка, мех-ка.-1998.-№ 5.-С. 19-22.
- Федорчук В. В. Топологическая полнота пространств мер//Изв. РАН. Сер. Мат.-1999.-Т. 63, № 4.-С. 207-223.
- Zaitov A. A. The functor of order-preserving functionals of finite degree//J. of Math. Sciences.-2006.-Vol. 133, № 5.-P. 1602-1603.-(Translated from Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI.-2004.-Vol. 313.-P. 135-138.)
- Banakh T., Chigogidze A., Fedorchuk V. On spaces of \sigma-additive probability measures//Topology and its Applications.-2003.-Vol. 133.-P. 139-155.