О вещественной полноте пространства слабо аддитивных \sigma-гладких функционалов

Систематическое исследование пространств вероятностных τ -гладких и радоновых мер на тихоновских пространствах было начато в работе [1]. Пространство слабо аддитивных функционалов является более широким объектом, чем пространство вероятностных мер. Пространства слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных τ -гладких и радоновых функционалов впервые рассматривались в [2]. Наши интересы в настоящей работе затрагивает, в основном, вещественная полнота пространств слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Это связано с тем, что вещественно полные пространства обладают многими свойствами, которыми обладают компакты ( = бикомпактные хаусдорфовы пространства).

Начало исследований ковариантных нормальных функторов, действующих на категории Comp компактов, и их непрерывных отображений и на других различных категориях, восходит к фундаментальной работе [3] Е. В. Щепина, где он выделил ряд элементарных свойств ковариантных функторов в категории компактов и ввел понятие нормального функтора. Т. Н. Радул показал, что введенный им в [4] функтор O : Comp ^ Comp не удовлетворяет некоторым условиям нормальности. Функтор O можно продолжить на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений по конструкции А. Ч. Чигогидзе [5] до функтора O e : Tych ^ Tych или до функтора O о в : Tych ^ Comp аналогично конструкции В. В. Федорчука [6], рассмотренной для функтора P вероятностных мер, где было отмечено, что функтор P о в : Tych ^ Comp, ставящий в соответствии тихоновскому пространству X компакт P^X ), тоже продолжает функтор P : Comp ^ Comp, где через вХ обозначено компактное расширение Стоуна — Чеха тихоновского пространства X .

Пространство O e (X ) слабо аддитивных функционалов с компактными носителями, рассмотренное в [7], слишком узко, а пространство O(вX ) = O о в(X ) всех слабо аддитивных функционалов, категорные свойства которого были изучены в [8], слишком широко, и в результате функтор O о в : Tych ^ Comp не сохраняет многих специфических свойств пространства X , переводя тихоновское пространство X в компакт O(вX ).

Поэтому естественно рассматривать пространства функционалов, заключенных между пространствами O e (X ) и O^X ). В связи с этим в [9] были изучены пространства O r ( X ) слабо аддитивных радоновых функционалов и O _T (X ) слабо аддитивных

τ -гладких функционалов. Но эти пространства не всегда являются вещественно полными. Естественно возникает вопрос о том, какая часть компакта О(вХ) является вещественно полной для всякого тихоновского пространства X . В настоящей работе покажем, что пространство O _n (X) ст-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов является вещественно полным.

Пусть X — компакт, C(X ) — алгебра непрерывных функций у : X ^ R с обычными алгебраическими операциями и sup-нормой. Для каждого c ∈ R через c X обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле c x (x) = c для всех x G X. Пусть у,^ G C(X ). Мы говорим, что у 6 ^ тогда и только тогда, когда у(x) 6 ^(x) для всех x ∈ X.

Функционал ^ : C(X ) ^ R называется [4]:

• 1)    слабо аддитивным, если ^(у + c x ) = ^(у) + c для любых у G C(X ) и c G R;

• 2)    сохраняющим порядок, если для любой пары функций у,^ G C(X ) неравенство у 6 ^ влечет ^(у) 6 ^Wi

• 3)    нормированным, если ^(1 x ) = 1.

Для компакта X через O(X) обозначается пространство всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов ^ : C (X) ^ R. Множество функционалов, удовлетворяющих первым двум условиям этого определения, обозначим через W (X). В протяжении этой работы слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормированный функционал для краткости просто будем называть функционалом. Множество W (X) снабжается топологией поточечной сходимости. Рассмотрим O(X) как подпространство W (X).

Пусть X — тихоновское пространство, C b (X ) — алгебра ограниченных непрерывных функций у : X ^ R с поточечными алгебраическими операциями. Для функции у G C b (X ) положим ||у || = sup {| у(x) | : x G X } . C b (X ) с введенной нормой является банаховой алгеброй. Для каждой у G C _b (X), сопоставив ее непрерывное продолжение у G C (eX), получим изоморфизм между алгебрами C b (X ) и C (eX), причем имеет место к у? к = ||ук , поэтому указанный изоморфизм является изометрией соответствующих нормированных алгебр. Тем самым их топологические свойства совпадают. Поэтому всякую функцию из C b (X ) можно считать элементом C(eX ).

Будем говорить, что последовательность { у _п } С C b (X ) есть монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящейся к нулю на X , если для каждой точки x ∈ X имеем у _п (x) > у _т (x) при n 6 m и lim у _п (x) = 0.

Определение 1. Функционал у G W(eX ) назовем ст-гладким, если у(у _п ) ^ 0 для любой монотонно убывающей последовательности { у _п } С C b (X ), поточечно сходящейся к нулю на X .

Для тихоновского пространства X через W _CT (X) обозначим множество всех ст-гладких функционалов у G W(eX ). Положим

O _CT (X) = { у G W _CT (X) : д(1 х ) = 1 } .

Очевидно, что имеют место следующие включения

O e (X) С O r ( X ) С О т (X) С O . (X) С O(eX)

для любого тихоновского пространства X , и равенства

O e (X) = O r ( X ) = О т (X) = о . (X) = O(eX)

для произвольного компакта X .

Наделим множество O . (X) топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционала ^ G O . (X) в этой топологии образуют множества вида

(^5 ^1,... ,^k; Е) = {v G О(вХ) : |v (yi) - ^(^i )| < е} П O. (X), где ^i G Cb(X), i = 1,..., k и Е > 0.

Покажем, что конструкция взятия пространства O . (X ) порождает ковариантный функтор O _σ , действующий на категории Tych. Для этой цели рассмотрим компакты X, Y G Comp и непрерывное отображение f : X ^ Y. Определим отображение O(f ) : O(X ) ^ O(Y ) по формуле

^(O(fК^Ж^) = Xv ° ^f)> Д ^{G O(X}), V ^G C b ^(Y )•

Пусть теперь X, Y G Tych и f : X ^ Y — непрерывное отображение. Рассмотрим его продолжение ef : eX ^ 0Y, существующее согласно теореме 3.6.1 [10, с. 266]. Возникает отображение O(0f ) : O(eX ) ^ O(eY )• Пусть ^ G O . (X) и { ^ n } С C b (Y ) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Y. Тогда { ^ n ° f } С C b (X ) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на X. Имеем

^O(efКЖСЖ) = ^ (el ° f) = ЖЖ ° ^f) —^> 0, т. е. O(ef)(O . (X)) С O . (Y). Положим O . (f) = O(ef ) | O . (X)•

Покажем, что конструкция O _σ сохраняет композицию отображений. Пусть X, Y, Z — тихоновские пространства и f : X ^ Y, g : Y ^ Z — непрерывные отображения. Пусть ^ G O . (X), v G C _b (Z ). Тогда

(O.(g °fK^Mv) = (O(eg °Pf K^M = Ж^ ° (Ж °Pf)) = ЖЖ ° M °Pf) = O(ef)(ЖЖ ° eg) = o(eg)(O(ef)(Ж)(Ж = O.(g)(O.(f)(Ж)(Ж, т. е. O.(g ° f) = О.(g) ° O.(f )•

Наконец, установим, что конструкция O _σ сохраняет тождественные отображения. Пусть id x : X ^ X — тождественное отображение, т. е. id x (x) = x для любой точки x G X . Тогда

O.(idx)(^)(V) = O(eidxХЖС?) = O(idexХЖС?) = Ж4? ° idex) = ЖЖ = ЖЖ> т. е. О. (idx) = idoCT(x)•

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Конструкция O _σ является ковариантным функтором, действующим на категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений, продолжаю щим функтор О : Comp ^ Comp.

Для компакта X через P (X) обозначим пространство вероятностных мер на X, которое является подпространством O(X)• Далее, для тихоновского пространства X обозначим через P _e (X) пространство вероятностных мер с компактными носителями на X, когда е = в, пространство вероятностных радоновых мер на X, когда е = R, пространство вероятностных т -гладких мер на X, когда е = т , и пространство вероятностных ст-гладких мер на X, когда е = ст.

Предложение 1. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда P _e (X ) замкнуто лежит в O _e (X ), где е = в, R, т, ст.

C Возьмем произвольный функционал у G Oe(X) \ PE(X). Тогда существуют такие yi G Cb(X), i = 1,2, что у(y1 + ^2) = у(y1) + ^(^2). Положим a = |у(y1 + ^2) — у(y1) — у(у2)| > 0. Покажем, что hу; yi, y2, yi + y2; ai П Pe(X) = 0. В самом деле, пусть существует v G hу; yi, y2, yi + y2; ai ПPe(X). Тогда из принадлежности v G Pe(X) имеем v (yi + ^2) = v (yi) + v (y2),

(A)

а из принадлежности v G h у; yi, y ₂ , yi + y ₂ ; a i вытекает, что | v(y i ) — у(y _i ) | <  a , i = 1, 2. Откуда вытекают следующие неравенства:

	— a < v(yi)	— v(yi) < 1,	(B)
Сложив (B) и (C), получим	— 3 < v(y2)	— v(y2) < 3 •	(C)
2a —<	v (yi) + v(y2)	— У(У1) — у(У 2 ) < у.	(D)

С другой стороны, имеем

- a^⁺^2) - ^v (yi⁺^2) < |.                  (E)

Возможны два случая:

• 1)    у(y1 + y ₂ ) > у(y1) + у ( У 2 ) . Тогда у(y1 + y ₂ ) = a + у(y1) + у ( у ₂ ) . Последнее равенство вместе (A) и (E) дает

  - у <  У⁽У 1 ) ⁺ у⁽У 2 ⁾ - ^v(У1) - ^{v (}У 2 ) <  - у,

что противоречит (D).

• 2)    у(y1 + У2) < у(y1) + у ( У 2 ) - Тогда у(y1 + У2) = у(y1) + у ( у 2 ) - а. Подставляя последнее равенство в (E) и имея в виду (A), получим

у < Kyi)+^(У2) -v (yi) -v (У2) < у, что опять-таки противоречит (D). B

Следующий результат дает критерий σ-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок, функционалов. Сначала отметим, что для каждого компакта X и для всякого слабо аддитивного, сохраняющего порядок, функционала у : C(X) ^ R существует [11] слабо аддитивный, сохраняющий порядок, функционал у⁰ : B(X) ^ R такой, что у⁰ | С(X) = у, где B(X) — пространство ограниченных функций компакта X, обеспеченное топологией равномерной сходимости. Это утверждение естественным образом распространяется для тихоновских пространств.

Теорема 2. Функционал у G W(eX) является a-гладким тогда и только тогда, когда у(х к ) = 0 для всякого замкнутого G ^ -множество K С eX \ X.

C Пусть у G W(eX) — функционал такой, что у(х к ) = 0 для всякого замкнутого G δ -множество K ⊂ βX \ X. Рассмотрим произвольную монотонно убывающую последовательность { y n } С C(eX), поточечно сходящуюся к нулю на X. Можно считать, что y n 6 1 вх для всех n G N. Для произвольного е > 0 выделим следующее множество

A n = { x G eX : У п ( х ) > е } .

Ясно, что все множества A n открыты в вХ и их пересечение К _е : = Пп =1 A n = { х Е вХ : V n (x) > е } является замкнутым G ^ -множеством в вХ \ X- Откуда следует, что ц(Х А _п) ^ ц(Х К ). Следовательно, имеем

ц(У п ) = ц(^п\А п + ^п\вХ \ A n ) 6 ц(Х А п + е вх )

= ^⁽X A n ) ⁺ £Ц⁽¹ вх ) ^ ц⁽Х к _Е ) ^{+ е}ц⁽¹ вх ) = ^ец⁽¹ вх )•

Отметим, что всякий слабо аддитивный функционал линеен на одномерном подпространстве пространства С ь (Х ), состоящего из всех постоянных функций. Следовательно, ц(1 вх ) <  ^ - Откуда ц(у _п ) ^ 0. Таким образом, ц Е W _a (Х ).

Пусть ц Е W (вХ) — произвольный ст-гладкий функционал и K С вХ \ X — некоторое замкнутое G § -множество, т. е. K = П^=1 G n , где G n открыто в вХ для любого n Е N . Построим последовательность { ^ n } С C (вХ ) такую, что X K 6 Е н 6 X G n • Тогда { y _n} — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Х. Следовательно, в силу ст-гладкости ц, имеем ц(у _п ) ^ 0. Откуда, так как ц сохраняет порядок, имеем ц(х к ) = 0. B

Таким образом, согласно этой теореме, множество всех σ-гладких функционалов можем написать в виде

O . (Х) = ©ц Е О(вХ ) : ц(х к ) = 0

для всякого замкнутого G ^ -множества K С вХ \ Х} •

Напомним, что пространство X называется [10, с. 320, 321] вещественно полным (или полным по Хьюитту ), если оно гомеоморфно к замкнутому подпространству произведения R ^k прямых для некоторого кардинала k. Вещественное полное пространство можно рассматривать [10, с. 323] как тихоновское пространство X, имеющее компактификацию YX такую, что каждая точка х Е YX \ Х лежит в замкнутом G § -множестве F С YX \ Х•

Следующее понятие является общеизвестным. Подпространство X пространства Y называется C-вложенным (в Y), если каждая функция у : Х ^ R допускает непрерывное продолжение у : Y ^ R. Согласно теореме 3.1.16 [10, с. 327] всякое тихоновское пространство X имеет ровно одно (с точностью до гомеоморфизма) вещественно полное пространство vX, содержащее X в качестве всюду плотного C -вложенного подпространства, которое можно отождествлять с подпространством vX = ©х Е вХ : F П Х = 0

для всякого замкнутого G § -множества F С вХ, содержащего х© С вХ.

Пространство vX называется [10, с. 327] хьюиттовым пополнением пространства X.

В работах [12, 13] было показано, что пространства P R (X) радоновых вероятностных мер и Р _т (Х) т-гладких вероятностных мер на Х в общем случае не обязаны быть вещественно полными даже тогда, когда рассматриваемое пространство X вещественно полно. Из этого замечания, предложения 1 и теоремы 3.11.4 [10, с. 322] (которая гласит, что каждое замкнутое подпространство вещественно полного пространства вещественно полно) вытекает, что пространства O R (X) радоновых слабо аддитивных функционалов и О _т (Х) т-гладких слабо аддитивных функционалов в общем случае не обязаны быть вещественно полными. Но для пространства σ-гладких слабо аддитивных функционалов это уже не так.

Теорема 3. Для всякого тихоновского пространства Х пространство O _a (Х) является вещественно полным.

• <1 Пусть ^о е О(вХ) \ O _CT (X ) — произвольный фиксированный функционал. Тогда ^0 (х к ) >  Е для некоторого е >  0 и некоторого замкнутого G g -множества K С вХ \ X• Имеем K = ПП=1 G n , где G n — убывающая последовательность открытых в вХ множеств. Для каждого n >  1 множество

Zn = ^ е O(eX) : ^(XGn) > Е - n } является открытым в О(вХ) множеством, а

F = {^ е О(вХ) : ^(хк) > е} есть замкнутое в О(вХ) множество. Поскольку F = 0^=1 Zn, мы получим, что F является замкнутым Gg-множеством в О(вХ), содержащим функционал ^о и непересекаю-щимся с OCT (X). B

Теорема 4. Замыкание X = вХ П O _CT (X ) тихоновского пространства X в O _a (X ) является хьюиттовым пополнением пространства X .

• < Достаточно заметить, что eX П O _CT (X ) = vX . Это следует из равенства eX П O(eX ) = eX П P(eX ), которое, в свою очередь, вытекает из [14, замечание (а)] и из равенства eX П P _CT (X ) = vX [15, теорема 1.2]. B