О вложении бэровского пространства В(к) в абсолютные Л-множества

Все пространства, рассматриваемые в статье, предполагаются метрическими.

В теории J-множеств важную роль играет пространство иррациональных чисел I, поэтому интересен вопрос о том, когда некоторое пространство содержит копию /. В 1928 г. Гуревич выяснил условия, при которых сепарабельное абсолютное Л-множество содержит замкнутую копию пространства /, и, соответственно, сепарабельное абсолютное СЛ-множество содержит замкнутую копию пространства рациональных чисел Q. В 1976 г. А.В. Островский доказал теорему о том, что несепарабельное не о-компактное абсолютное Л-множество содержит замкнутую копию пространства I. Несепарабельным аналогом пространства / является бэровское пространство В(к) веса к, ведь пространство В(ю) гомеоморфно I. В статье [1] описано пространство Q(k) веса к, которое можно рассматривать как обобщение пространства рациональных чисел Q на несепарабельный случай; в частности, пространство й(^ю) * Q. Топологическая характеристика пространства Q(k) даётся следующей теоремой.

Теорема 1 [1]. Пусть X- метрическое о-дискретное однородное по весу пространство веса к. Тогда X гомеоморфно Q(k).

В настоящей статье обобщается теорема Гуревича на случай несепарабельных пространств; а именно, доказывается следующая теорема 2 (определения и обозначения даны ниже):

Теорема 2. Пусть дано Л-множество У в полном метрическом пространстве X и Z = Х-У. Тогда следующие условия эквивалентны:

• 1)    множество У не представимо в виде У = YiXjYi, где У - множество типа F_o в пространстве X, а

• Y1 является о/JP( «^-пространством;

• 2)    множество Z не представимо в виде Z = Z]-Z₂, где Z\ - множество типа G_s в пространстве X, а Z₂ является о/1У(<А)-пространством;

• 3)    существует такое замкнутое множество Me X, что МглУ « В(к\ Mr\Z * Q(k), М« В\к\ а множества МоУ и Mc\Z всюду плотны в М.

Основные определения и обозначения - стандартные [3]. Запись Х« У означает, что X и Y- гомеоморфные пространства. w(X) - вес пространства X. Чертой сверху F обозначается замыкание c\_xF множества F в пространстве X. Для индексированной системы множеств 2l={Z7_a: аеЛ} из пространства X через |21| обозначается мощность этого семейства, U21 = U{[/_a: аеЛ} - тело семейства 21, mesh( 21) - мелкость семейства (верхняя грань диаметров множеств из 21).

Под ординалом а понимается множество {Р - ординал: 0 < а}, а под кардиналом - наименьший ординал данной мощности; в частности, со = {0, 1, 2, ...} - наименьший бесконечный кардинал. Через к* обозначается кардинал, непосредственно следующий за кардиналом к. Для множества X через X обозначается множество упорядоченных последовательностей (кортежей) 5 = (хо, Xi,..., x„_i) длины п элементов из X; в частности, (x_i) = Л - единственный кортеж нулевой длины. Если длина Ihs кортежа s равна п и / <  п, то sYi - это начальный фрагмент (х₀, ..., x_Hj) длины z кортежа 5. Если seX и х_пеХ, то кортеж s\_n = (х₀, х_ь..., х„). Пусть X^е® = U{A” : песо}. Через В (к) обозначаем бэровское пространство В(к)=Х веса к при к <со или канторово множество С при к = = со. Если кортеж 5 = (z'o, ц,..., z„_i)gco”, то положим |^| = z'o + /1+...+ /„-ь по определению |Л| = -1.

Пусть F - некоторое топологическое свойство, тогда мы говорим, что пространство X нигде не Р, если никакое непустое открытое множество из X не обладает свойством Р. Пространство X называется LW( [6], если у каждой точки из X найдется окрестность веса < к.

Пространство X называется cLW^ky-npocmpaHcmeoM [6], если оно представимо в виде Х= U{X„: иесо}, где каждое Х_п является L ^(^-пространством. В частности, (о)-пространства - это просто а-дискретные пространства. Стоун [6] доказал, что бэровское пространство В(к) нигде не является oZ ^(^-пространством, а-дискретное семейство 93 называется ts-дискретной базой [4] для семейства 21 в пространстве X, если каждое множество из 21 является объединением некоторых множеств из 93. Хансел доказал, что о-дискретное семейство 93 можно представить в виде 93 = u{93_n: песо}, где каждое семейство 93_п £_п-метрически дискретно для некоторого е_п > 0. Отображение ДХ-^У называется ко-о-дискретным [4], если образ любого дискретного семейства множеств из X имеет ст-дискретную базу в У.

Множество У называется A-множеством в пространстве X, если оно допускает представление вида У = и{п{У(с¥и): иесо}: t есо®}, где каждое множество F^tYn) замкнуто в X Если пространство X фиксировано, то через F_a, 9s и Си обозначаются соответственно семейства всех Fa-множеств, Ga-множеств и ^Ж(<А:)-множеств из пространства X.

Теорема 2 была анонсирована автором в [2].

Доказательство теоремы 2. Проверим, что 3) => 1). Допустим, что условие 1) не выполняется, т.е. У = УиУ₂, где У - множество типа F_CT в пространстве X, а У₂ - crZ ^(^-пространство. Если предположить, что У =0, то получим М» В (k)e£k, а это противоречит теореме Стоуна [6]. Итак, У * 0. Тогда множество М-У\ является абсолютным Ga-множеством, которое содержит всюду плотное подмножество McaZ « Q(k), следовательно, М-У\ является однородным по весу пространством веса к. Для к > со по теореме Стоуна [5] это означает, что (M-YV) « В(к); в то же время по построению ^М-У\Д£_к- Получили противоречие, ведь В(к)^£к- Для к = со множество М-У\ оказывается о-дискретным абсолютным Gs-множеством без изолированных точек, что также невозможно. Итак, импликация 3) => 1) доказана.

Равносильность условий 1) о 2) проверяется очевидным образом.

Докажем 1) => 3). Рассмотрим множество FL = u{U- открытое подмножество У: множество U представимо в виде объединения aZ ^(^-множества и множества типа F_a из X}. Учитывая, что: а) если множество локально имеет тип F_a, то оно и в целом имеет тип F_a, б) если множество является локально oZjy(<£)-npocTpaHCTBOM, то оно и в целом будет aZ ^(^-пространством [6], приходим к выводу, что множество D = Y-FL не пусто, замкнуто в У и нигде не типа Д^Ск, т.е. никакое непустое открытое в У множество не представимо в виде FoL, где FeF_a(X), L&C_k.

Изучим свойства множества Е- D-Y = D-D, где D - замыкание множества D в X.

Очевидно, что УглЕ = 0. Покажем, что Е всюду плотно в D . Допустим, что нашлось непустое открытое в D множество U, которое не пересекается с Е. Тогда множество Ur\D = Uc\D имеет тип F_a в X, что противоречит свойствам множества D. Далее, множество Е нигде не типа Qg-Ck, т.е. никакое непустое открытое в Е множество не представимо в виде G-L, где GeQ^X), aL^Ek- Действительно, пусть открытое в Е множество U = G-L, где GeD, LaD,G- множество типа G_s в D (значит, и в А), а ZgA. Возьмём такое открытое в D множество V, что U= УпЕ, тогда множество УпУДУ-ОуДУгЕ) имеет тип Х_а*Ек, что противоречит свойствам множества D.

Искомое множество М будет принадлежать множеству D , поэтому в дальнейшем, для упрощения обозначений, мы будем считать, что X = D, У = D, У нигде не типа ДДЕь Z = Ей Z =Х.

Лемма А. В условиях теоремы 2 существует нульмерное полное метрическое пространство Т и такое непрерывное отображение qr.T-^Y, что ^(Г) = Хи для любого открытого множества УаТ, У* 0, верно следующее: ф(Р) нигде не aZ^(^-пространство и (ДУ) r\Z * 0 (замыкание в X).

Доказательство леммы А. Пусть т= w(Y). По теореме 4.1 [4] возьмём непрерывное ко-о-дискретное отображение ф;ВД^У, причём фСДт)) = У. Назовём открытое множество UclB(t)

Медведев С.В.

особым, если ф(Ц)с; FVjL g У, где FeF^X), LGCk. Покажем, что открытое множество Т\ = vj^U: U - особое множество в S(r)} само является особым. Возьмём о-дискретное покрытие у множества 71 из особых множеств. Тогда семейство ХфХЦУ- Пеу} имеет а-дискретную базу 93 = и{93_п: и ею}, где каждое семейство 93 _п е_п-метрически дискретно для некоторого s_n > 0. Для каждого Bg% зафиксируем некоторое U_B еу так, что BcqXU_B) с F_bvjL_b g У, где Fe^F^X), а Ь_веС_к. Множество F* = и{ В rF_B: Bg^ имеет тип F_a в X, так как оно является счётным объединением множеств локального типа F_a. Множество L* = и{ В (">L_B. Bg 93} является ст£Ж(<А:)-пространством как счётное объединение локальных аТ/7(<^)-пространств. По построению F*vjL* с У. Покажем, что фХТ\) с F*vjL*. Возьмём произвольную точку xgI\ и найдём особое множество Ug^, содержащее точку х. Так как ф(Ц) = и{£: 5е93о} для некоторого подсемейства 93ос93, то найдётся элемент 5хе93о, содержащий точку фХх\ Тогда qX^G Вх g Вх c4F_BxvjL_B)^ g F*uL*.

Итак, qXT\) с F\jL* с У, следовательно, 7} - особое множество. Так как У нигде не типа ЛЛА, то множество Y-XF^oL*^ не пусто и всюду плотно в У. Без ограничения общности [6] можно считать, что множество L* имеет тип F_a в У; тогда прообраз Т = ф^ХУ-ХР^Ь*)) имеет тип Gg в В(т) и по теореме Александрова-Хаусдорфа множество Т метризуемо полной метрикой.

Возьмём произвольное непустое открытое в Т множество У; пусть V = WrYT, где W - открыто в В^тУ Тогда qXW) = qXyyjqXW-T} с фХ7) u(F*uL*). Множество фХУ^ замкнуто в X, множество W не особое, поэтому множество ^(К)-У= фХУ)пУ не пусто. Далее, пусть существует открытое в фХК) множество UeF^- Возьмём открытое в В^ такое множество Н, что ф^ЛХЦ) = НоТ, тогда фХН)с Uu(F*uL ) g У, следовательно, Н - особое множество. Поэтому НсТ\, значит, пересечение Hr/Г пусто, тогда и U= 0. Итак, ф(Р) нигде не о£Ж(<А:)-пространство. Лемма А доказана.

Продолжаем доказательство теоремы. Пусть р - полная метрика на X, d - полная метрика на Т, причём diam(X) < 1 и diam(7) < 1, где пространство Т взято из леммы А.

Сначала рассмотрим случай cf(^) > ю. Индукцией по n, hgo), построим точки z(s; a)GZ, открытые в X базы VU(s i; а): /ею} в точках 2(5; ос), открытые в X множества F(s; а), относительно дискретные системы ll(s; a)=V7(s i; а осп): ie®, otnGk}, открыто-замкнутые множества T(s; о^аТ и дизъюнктные системы множеств 3(s; а) = {^Дл/; а%)): /ею, a„Gk\, связанные следующими соотношениями при любых фиксированных лею”, aGk", и ею:

• 1)    z(s; а)е( 7п^(Г(л;а)) )-и{К: Ре М(л; а));

• 2)    с1Ди{И: Vg ll(s; а)}) = {z(s; а)}и (и{Й: Vg Ж»; а)});

• 3)    с!Ди{Ж: We 3(л; а)}) = {z(s; а)}и (и{ W: Wg 2(s; а)});

• 4)    diam(K(s; а)) < 2^4s|-”, diam(T(s; а)) < 2Л

• 5)    ф(Т(к;аУ) g V(s; а), причём F(s; а) = и(/0; а);

• 6)    Ut/Xi + 1);а) с U(s v, а) для любого /ею, причём H^s v, a)c\qXT\s‘, «У) * 0, где H(s i; а) = U(s i; ay-UXsXi + 1);а);

• 7)    V(s''i;a*a_n) с HX/i; а) и 7(s /; a cQ с 7(s; а) для любых /ею и oc„Gk;

• 8)    семейство {F(s /; а а^^-. с^еА} дискретно в X для любого /ею;

• 9)    F(s;tz) пИ(/; Д) = 0, если (s; а) Ф (t\ 0у где /ею”, PGkⁿ.

База индукции п = 0. Положим 7(Л; Л) = Т, И(Л; Л) = X, а в качестве г(Л; Л) возьмём любую точку из непустого пересечения ф(Т) nZ. В точке z(A; Л) выберем такую базу { U(i; Л): /ею}, что К(Л; Л) = /7(0; Л) и (7(/ + 1;А)с /7(/; Л), причём множество H^v, Л) = /7(/; Л)-/7(/ + 1;А) Ф 0 для каждого /ею. По лемме А для любого /ею множество H(i; Л)п^>(7(Л; А))^^, поэтому существует такое метрически дискретное в X семейство { V^i; а): а&к} из открытых в X множеств диаметра

< 2~^|г, что каждое У (Дсп^-) а НЦ; А). Множество <э(ЦЛ; Л)) = ^>(7) всюду плотно в У, ф- непрерывное отображение, поэтому для любых /ею и «Ек в прообразе ф^^г, а)) найдутся такие непустые открыто-замкнутые множества КД а)сДА; Л) диаметра < 2^-1, что ^(Ц/;®)) сД/; а\ Нетрудно проверить, что для и = 0 все условия 1-9 выполняются.

Индуктивный переход. Для фиксированных песо, seco", а^к" возьмём любую точку z(s; срЕ 7пф(Т($;а)') и построим для неё базу {U^i; a); zero} из открытых множеств так, чтобы выполнялось равенство У($; а) = U(s^A0; а) и условие 6. Множество Н' = Н(/г, а)офУ{з-, а)) * 0 по построению, тогда по лемме А имеем H'iC_k, значит, для любого фиксированного s„g существует такое метрически дискретное в Xсемейство У(/г, а а„У с^ек^ из открытых в Xмножеств диаметра <2-^w"'""⁴, что УДг, а аРглфДД; а)) * 0 и У($^Аг,а^Аа_п)с Н^г, ос) для \/а_пек. Далее строим систему VlX/h a аД. s_nE®, а_пЕк) из открыто-замкнутых множеств, для которой выполняются условия 5, 7 и 4. Из условий 9, 8, 6 и 5 вытекают условия 2 и 3. Индуктивный переход завершён.

Для любого пе® положим Z„ = {z(s; a); $е®^п, аек^п}; пусть Z* = u{Z„: него}. Ясно, что Z*cZ. Из условия 9 следует, что каждое множество Z„ относительно дискретно, поэтому Z будет а-дискретным множеством мощности к. Возьмем произвольно точку zeZ*, тогда z = z(s; а) для некоторых seo)”, осЕк", не®. Из условий 1, 2, б, 7 и 8 следует, что любая окрестность точки z содержит дискретное множество мощности к, следовательно, вес окрестности >  к. Тогда по теореме 1 пространство Z* гомеоморфно 5№.

Для любого не® положим Р_п = и{ ф(Т(з;ос)): se®", аек^п} иМ„ = u{Z,: i P_n*x. Определим множество М =г^М_п: пе®}. Из условий 1 и 7 следует, что Z*aM_n и М_п+хсМ_п, поэтому Z*cM.

Лемма В. Множество М замкнуто в Хи гомеоморфно бэровскому пространству В(к).

Доказательство леммы В. Проверим, что множество Z всюду плотно в М. Возьмём точку хеМ- Z и её окрестность U в пространстве X радиуса Т^п для некоторого пе®. Так как хеМ_п, то хЕфУУРДсД^х для некоторых 1е®^п"\ РеК*\ Из условий 1, 5 и 4 следует, что расстояние Дх, гД рр < diam(F(Z; Р)) < 2^"^-1, следовательно, z(t; Р)е Z*r\U. Итак, Z* =М. Так как Z*~Qik), а QQp - однородное по весу пространство веса к, то и М- однородное по весу пространство веса к.

Покажем по индукции, что каждое множество М_п замкнуто в X. По условию 3 множество Мо замкнуто в X. Предположим, что множество М_п_х замкнуто в X, и проверим замкнутость множества М- Так как М^сХ-х. то М_п сЛДх. Возьмём точку хе М_п . Если xeZ\ то хеМ_п. Если x^Z*, то хе фУУ,аРаР_п для некоторых se®", осек'¹; из условий 5 и 9 следует, что эти кортежи s и or определяются однозначно. Тогда, учитывая условия 7 и 3, получаем следующую цепочку: хе ф(Т($;а))глР_п+х а с1Ди{ фУУг, а осДу. iE®, оСпЕк}) = {z(s; a)}u (u{ W : We^s; a)}).

Из дизъюнктности семейства 3(s; а) вытекает, что хе ф(ТУг,а^А«_пР для некоторых iE® и о^Ек, следовательно, по определению хе Р_п+х с М_п. Итак, каждое множество М_п замкнуто в X. Но М=гДМ_п: пе®}, следовательно, множество М замкнуто вХ. Так какХ- полное метрическое пространство, то и М- полное метрическое пространство.

Докажем, что dinW= 0. Для каждого пе® множество S_n = {sg<(0: |»| + Ihs = и+1} конечное; например, 8^ = {(2), (1,0), (0,1), (0,0,0)}. Рассмотрим семейство %_n=^U(si; a): Ihs = Iha, iE®, s'iES_n, otEk^). Возьмём два разных множества Ux = U^i; а) и t/₂ = IXyj; p) из семейства 2l„. Если Ihs = lh^, to Uy n U₂ = 0 согласно свойствам 9, 6 и 5. Если Ihs < IhZ, то найдём т = max {Ze о: s^AfYl = t jYl}. Так как lh(s^A/)A/| < |?у|, то случай т = lh(s^Az) невозможен. Значит, т <  < lh(s^Az). Из свойств 5, 6 и 7 вытекает, что U₁c:y(s' /¥(т+1); а¥(щ+1)) и 17₂сЕ(^уУ(щ+1); PY(m+l)). Следовательно, по свойству 9 U_x oU₂ = 0, ведь s^AzY(m+l) * РрДпУгУ). Случай Ihs > lh/ разбирается аналогично. Итак, замыкания в X множеств из семейства 21„ попарно не пересекаются.

Из свойств 5, 6 и 7 вытекает, что семейство 21_и+1 вписано в семейство 21„ для любого пе®.

Проверим, что М„сзи%._п для любого нею. Возьмём точку z(s; a)e Z*cz М_п. Если |s|+lhy = n, то z^s; a^e (p{T(s-,a))c. U^Q; a), значит, /Og^ и z(s; . Если ]s|+lhs = i > n, to z(s; «)gu21, с и 2l„. Если |5|+lhs = i < n, to z(s; a)e U(s'(n-iy, o)g 2l„. Итак, доказано, что Z*czu 2l„ . Покажем, что Pn+icu^. Возьмём множество p(TXs;a)) еР^х для некоторых sg©”⁺¹, аеХ^^х. Если з=(0,0,...,0), то по свойствам 7 и 5 ^(T(s;«))c(/(s; аХм), значит, ср(Т(s;a)) си21„ . Если 5 - ненулевой кортеж, то |s|+lhs = i> n+l и o))g 21,, тогда ^(T(5;«))cu2l, cu2l„ . Итак, доказано, что Ma M_n^Z ViP^x cu 2l„ для любого и go. С учётом свойств 4 и 5 делаем вывод о том, что для любого mg© семейство VUoAP; Ue^_n} образует открытое в М дискретное покрытие множества Л/"мелкости <  Т". Тогда по теореме 7.3.1 [3] получаем, что dimA/= 0.

В целом, мы доказали, что М - нульмерное однородное по весу полное метрическое пространство веса к, причём в нашем случае к > ю, следовательно, по теореме Стоуна [5] М гомео-морфно бэровскому пространству В(к). Лемма В доказана.

Проверим, что M-Z с К Возьмём точку y&M-Z , тогда у&Р_п для любого mg©. Из условий 5 и 9 следует, что для любого «g© существуют и единственные такие кортежи s(y,n)G©”, сру^ек", 4wyG <р(Т(з;а)У С учётом свойства вложенности 7 построим единственные последовательности Хею™ и Ьек® так, что ХХп = з(у,и) и 5Хи = ору,п) для любого пе®. По теореме о вложенных шарах 4.3.8 [Eng] в полном метрическом пространстве Т пересечение п{^ДХУи; 8Yn)): ие©} не пусто и состоит из одной точки х. Тогда ^(х) = уе¥.

Итак, множество Z = MoZ * Q(k). Множество Z имеет тип F_o в полном метрическом пространстве М и всюду плотно в нём, тогда множество Mr\Y = М-Z* по следствию 2.4 [5] гомео-морфно пространству В(к). Теорема доказана полностью для случая cf(£) > ©.

Укажем изменения в доказательстве для случая к > ©, cf(£) = ю. Пусть к = sup{^„: лею}, где cf(&„) > © и к_п< к_п+х для любого лею. При построении точек z(s; а) и множеств Utyi; a), F(s; а) и Дз; а) кортежи «длины и мы будем брать из индексного множества к_охк_хх...хк_п_х, а не из множества К¹, как было выше. Доказательства всех свойств множества М изменяются незначительно; например, множество MoY будет гомеоморфно счётному произведению кох...хк„х... в тихоновской топологии, которое по теореме Стоуна [5] гомеоморфно пространству В(к).

Для к = © доказательство упрощается; укажем на основные изменения. Вместо точек z(s; а) и множеств U^v, a), V(s; а) и Дз; а) строим точки z(s) и множества U(s^Af), 7(з) и Дз), удовлетворяющие условиям 1-9, если везде пропустить второй индекс а. Для любого sg©” последовательность {z(/z): zg©} сходится к точке z(s), поэтому Z* - счётное множество без изолированных точек и по теореме Серпинского Z гомеоморфно пространству рациональных чисел Q. Для любого е > 0 найдём такое и, что 2'"<е. Множество 5„ ={5G©^{: |s|+lhs = п+1} конечное, поэтому семейство 21„} =\икзД. zg©, s^gS^} является конечным покрытием множества М мелкости <8. Тогда М- вполне ограниченное замкнутое множество в полном метрическом пространстве X, следовательно, М- компакт. Так как dimM= 0 и Z всюду плотно в М, то по теореме Брауэра М* С. По теореме Мазуркевича множество Мп¥ гомеоморфно пространству иррациональных чисел. Доказательство теоремы 2 окончено.

Следствие. Пусть дано 4-множество ¥ в полном метрическом пространстве X и Z = X-Y. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) множество У не является множеством типа F_o в пространстве X; 2) множество Z не является множеством типа G_s в пространстве X; 3) существует такое замкнутое множество М с X, что М гомеоморфно канторову множеству С, Мо,¥ гомеоморфно пространству иррациональных чисел, a Mr>Z гомеоморфно пространству рациональных чисел Q.