О вложении и приближении пересечения множеств и функциональных классов

Владимиру Михайловичу Тихомирову с любовью

Дается кратки обзор идей и результатов, связанных с задачей В. М. Тихомирова о приближении классов функций с несколькими ограниченными производными.

В 1975 году Владимир Михайлович Тихомиров на своем спецсеминаре по теории приближений2 в МГУ предложил для решения следующую задачу о приближении классов функций с несколькими ограниченными производными. Пусть про функцию известно, не только, как обычно, что ее какая-то r-я производная в метрике Lp ограничена (kx(r)(^)kLp 6 в), а известна ограниченность ее нескольких производных в различных метриках, т. е. kx(ri'(Oik.i 6 »• i = 1,..., m. Иными словами, найти приближение пере-mi сечения классов функций Wp = Q Wri в метрике пространства Lq. В качестве функци-i=1

ональных классов можно рассматривать, например, классы периодических функций.

Задача о нахождении оценки сверху приближения пересечения может быть решена путем вложения класса W _p ^r в класс W q^γ и дальнейшего приближения этого класса уже в согласованной метрике L _q . Задача о вложении может быть представлена в виде экстремальной задачи:

H x^O k L q ^ sup;   H x^O k L pi ⁶ P i , i = ¹,...,m.

Поставленная задача была решена автором в 1975 г. и доложена на семинаре В. М. Тихомирова вначале для классов периодических функций одной переменной, а затем для классов периодических функций нескольких переменных с дробными производными и смешанными нормами [1]. Для формулировки полученного результата дадим определения функциональных классов и дробных производных.

Пусть T d = ( — n, n] d — d-мерный тор, реализованный в виде произведения d полуинтервалов ( — п, п]. Через L _p = L _p ( T ^d ), p = (p i ,... ,p d ), 1 < P j <  ro , j = 1,..., d, обозначим

(° 2004 Галеев Э. М.

пространство функций x(t) = x(t i ,...,t d ) измеримых на T d , периодических по каждой переменной с периодом 2п таких, что конечна величина

k^'iLpU LV'^ L^^

^ Р 2 /Р 1     ^ P d /P d - 1

Свойства пространств со смешанной нормой на T ^d были описаны в вышедшей в 1975 г. монографии О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [2].

Функцию x( - ) E L _p ( T ^d ) можно разложить в ряд Фурье

x(t) = 52 xkeihk’ti, kezd где суммирование ведется по всем k = (ki,..., kd) E Zd — d-мерной целочисленной ре-d шетки, hk,ti = 52 kiti.

i=1

Для упрощения формулировок будем рассматривать функции с нулевыми средними по всем аргументам, т. е. функции, коэффициенты Фурье которых x k , имеющие хотя бы один нулевой индекс k, равны нулю:

x(t) = X Xke^i keZd где Zd := {k = (ki,..., kd) E Zd : kj = 0, j = 1,..., d}.

Для такой функции и вектора r = (r i ,..., r d ) E R d введем операцию дробного дифференцирования по формуле

x(r)(t) = X xk(ik)rei

Для векторов p,r E Rd, 1 < pj< ro, j = 1,...,d, и описанных выше функций с нулевыми средними по всем аргументам введем следующий класс функций:

w;(Td) = {*(•) : kx(.)kwp := kx^(r>(-)«L_r6 1}.

При формулировке вложений функциональных классов важным является множество G = {conv {(1 ),ri), i = 1,... ,m} + (v, 0) - (A, A) : v, A E R++}.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия вложения для пересечения классов функций.

Теорема 1. Пусть Wp = T Wr, Y,q E Rd, 1 < q < ro. Тогда Wp CC WqY тогда и i=1

только тогда, когда (1/q, y) E G.

Оценка сверху в этой теореме следует из мультипликативных неравенств. Первые неравенства подобного типа были получены О. В. Бесовым. Расширение этих неравенств дает достаточность условий вложения. Для доказательства необходимости условий вложения строится специальная функция x(t) = a(DN ₊[n_y'](t) — Dn(t)), являющаяся неко-

N торой разностью ядер Дирихле, принадлежащая классу Wp. Здесь Dn(t) = P eikt — |k|=i ядро Дирихле. Такая разность ядер Дирихле в дальнейшем использовалась для доказательства необходимости условий вложения и оценок снизу приближения как на Td, так и на Rd в работах автора, Г. Г. Магарил-Ильяева, Динь Зунга и др.

Множество G для скалярных норм видимо впервые появилось в работе Н. С. Бахвалова (1963 г.) [3], где для классов функций близких к H_p^rдоказывается, что условие (1/p, r) G int G, является достаточным для подобного вложения пересечения.

В работе Г. Г. Магарил-Ильяева 1979 г. [4] доказывается теорема о вложениях для функций на R^d, аналогичная теореме 1. Поскольку для вложения классов на R^dнет вложения по направлению (1, 0), то множество G в этом случае определяется без конуса по этому направлению: G = {conv{(p1i), ri), i = 1,..., m} —(A, A) : A G R^}. В совместной работе Г. Г. Магарил-Ильяева и В. М. Тихомирова (1984 г.) [5] теорема 1 обобщается на R^d× T^m.

Используя полученную теорему 1 о вложении можно перейти к следующему шагу и найти порядки приближения пересечения классов периодических функций с несколькими ограниченными производными оператором Фурье SN . Для приближения пересечения классов периодических функций нескольких переменных строится оператор Фурье, зависящий от рассматриваемого класса и метрики, в которой считается приближение.

Приближение класса функций W оператором S в линейном нормированном пространстве X оценивается величиной

d(W, S, X) = sup kx — Sxkx. xex

Сформулируем и докажем теорему о приближении класса W_p^rв пространстве Lq суммами Фурье для векторных норм.

О d

Каждому вектору s = (si,..., Sd) G Nd сопоставим множество Ds C Zd по следующему правилу:

Ds = (k G Z^d : 2^sj^-16 Ikj | < 2^sj, j = 1,...,d}.

Тогда

x(t) = ^2 xke^t = 52 ^sx(t)’ seNd

kezd где 6sx(t) = P Xkeihk^i. Для множества A = {ri, i = 1,..., v} C Rd введем оператор keds

Фурье SA, действующий на функцию x(-) = P 5_sx(-) по формуле: SAx(-) = P S_sx(-), seNd                             seSA

µ где SA = T S^, S^ = {s G Nd : hk,ti 6 ^}. Оператор Фурье S^ сопоставляет функции reA

x(^) гармоники из ступенчатого гиперболического креста. Оператор Фурье SA сопоставляет функции x(-) гармоники из пересечения ступенчатых гиперболических крестов.

При приближении пересечения классов периодических функций многих переменных важным этапом является нахождение числа точек в логарифмически полиэдральном множестве, например, числа гармоник в операторе Фурье S ^A. Эта задача была решена Динь Зунгом в 1983 г. [6].

Теорема D1.

1,r G A}. Тогда

О

Пусть A = {r , i = 1,..., v}, conv A T R+ = 0, S = {s G R++ : hs, ri 6

E

2<^s’¹>

^2^ M

se^SnNd

где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: {s, 1} ^ sup; s E S.

Для приближения класса W_p^rоператором Фурье имеет место следующая теорема.

m_i

Теорема 2. Пусть Wpr = T Wp, y, q E Rd, 1 < q < ж, G = {conv {(1 ),ri), i = 1,...,m} + (v, 0) - (A, A) : v,A E R++}, Gq = {y E Rd : (1/q, y) E G}. Тогда множество крайних точек Г = {y 1,... Yv} множества Gq конечно, и d(WPr, Sr, Lq) x 2-^ при max Yi > 0, p µ                          i,j

О d а если convr T R+ = 0, то число гармоник в операторе Фурье Sn = S^ при ^l 2^M = N имеет порядок N и d(Wp,Sn,Lq) x (N-1 log N)1/M, где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: {s, 1} ^ sup; s E S = {s E R+ : {s,Y} 6 1 (V Y E Г)}.

Оценка сверху в этой теореме следует из вложения Wpr СС Wq по теореме 1, приближения класса Wq в пространстве Lq оператором Фурье S^ и подсчета числа гармоник в логарифмически полиэдральном множестве по теореме D1 Динь Зунга. Для доказательства оценки снизу используется специальная функция, являющаяся некоторой разностью ядер Дирихле, принадлежащая классу Wp и не приближающаяся оператором Фурье S^.

Отметим также работу Б. С. Митягина [7], в которой были найдены приближение и порядки колмогоровских поперечников изотропных и анизотропных классов периодиче-di ских функций многих переменных Wp = Q Wp в согласованной метрике пространства i=1

L_p, где ri = (0, 0,..., 0, ri, 0,..., 0). Правильное приближение в этом случае дает оператор Фурье с гармониками из прямоугольных параллелипипедов и доказательство в отличие от теоремы 2 легко сводится к одномерному случаю. Аналогично и приближения этих классов в несогласованных метриках считаются путем сведения к одномерному случаю.

Сформулируем и теорему о порядках поперечников по Колмогорову класса W_p^r периодических функций одной переменной в пространстве Lq .

m_i

Теорема 3 (см. [8]). Пусть Wpr = T Wpri, G = {conv {(p^ ),ri), i = 1,..., m} + (v, 0) -i=1

(A, A) : v,A > 0}, Y(€) = suP {Y : Кл) E G}. Тогда dN (Wpr ,Lq) X J

N-₇(^1/q), Y(1/q) > 0,      1 6 q 6 2,

N^-7(1/2), y(1/2) > 1/2, 2 6 q 6 ж.

Задача же о вычислении порядков поперечников по Колмогорову классов периодических функций многих переменных W_p^r в пространстве Lq пока решена не для всех случаев p и q.

Некоторые вопросы вложения и приближения пересечения функциональных классов сводятся путем дискретизации к вложению и приближению пересечения дискретных множеств. Дискретизации могут проводиться разными способами. Одним из наиболее естественных является дискретизация с помощью теоремы Марцинкевича — Зигмунда.

Теорема Марцинкевича — Зигмунда о дискретизации. Между пространством тригонометрических полиномов вида x(t) = P Xkelhk,t'^ и пространством R2hs,1i устанав-k∈¤s ливается изоморфизм путем сопоставления функции x(-) вектора

X = {xm(Tj)} G R2hs,1i, Xm(t)=   X Xke^t, m = (±1,..., ±1) G Rd, sign kl =ml l=1,...,d

Tj = (n22-s1 ji,..., n22-sdjd), ji = 1,..., 2si-1, i = 1,..., d, при этом для функций x0,y0 G lin {eihk’ti, k G Ds} и числа p G R выполняются соотношения:

kx(-)kLp - 2^-hs,1/pi kxk ,2hs,y ,   1

p

2h--1/pikxk,,1.1, «kx(-)kLp,   1 6 p 6 го, lp

и

<x(-),y(-)>= 2^-hx,yi.

Сформулированная теорема доказывается аналогично теореме Марцинкевича — Зигмунда для функций одной переменной, см. в монографию А. Зигмунда [9, Т. 2, стр. 46].

С помощью этой теоремы вложения и приближение пересечения функциональных классов сводятся к вложению и приближению пересечения дискретных множеств.

Для чисел r G R и 0 < p 6 го в пространстве Rn введем множество Bpr : = Bp (Rn) : = {x = (xi,..., xn) G Rn : kxkin 6 n-r^. Как обычно, обозначим kxkln =

_n         1/p

P |Xk|p

\ k=1     / max |xk| k=1,...,n

при 0 < p < го, при p = го.

Для множества K из R², K C R+ x R, будем рассматривать множество B(K) =

P|   Bpr, являющееся пересечением конечномерных множеств Bpr и Q(K) = conv K +

(i/p,r)eK cone {(—l,0), (1,-1)}.

Для вложения конечномерных множеств B(K) имеет место следующая теорема вложения.

Теорема 4 (см. [10]). Пусть K C R+ x R — подмножество из R², 0 < q 6 го, y G R, (1/q,Y) G Q(K). Тогда B(K) C BY.

Используя вложение пересечения конечномерных множеств B(K), оценки сверху поперечников dn(B¹m, lm) и оценки снизу поперечников множеств V^m, найденные Е. Д. Глу-скиным, находятся поперечники пересечения конечномерных множеств.

Теорема 5 (см. [8]). Пусть K C [0, 1] x R —компакт из R², B(K) =   T   ВрГ(R²ⁿ),

(i/p,r)eK

(£) = max r. Тогда

(^,r)eQ(K)

-(1/q)

1 6 q 6 2,

2 6 q 6 го.

dn^(B(K),l2n) ^-|n-(i/2)+i/q-1/2

Еще одним направлением развития вопроса В. М. Тихомирова о приближении и вложении пересечения функциональных классов является вопрос о нахождении порядков норм производной ядер Дирихле с гармониками из ступенчатых гиперболических крестов. Порядки производных ядер Дирихле (с гармониками из ступенчатых гиперболических крестов в скалярной и векторной нормах) и Фавара (и с гармониками вне этих крестов) определены в работах автора и В. Н. Темлякова. Для ядер с гармониками из пересечения логарифмически полиэдральных множеств нормы производных в скалярной метрике были подсчитаны Динь Зунгом [10].

Теорема D2. Пусть 1 < p < го, S С R — полиэдральное множество с непустой внутренностью, K — его рецессивный конус, a Е Rd. Тогда D^S принадлежит Lp для любого ц > 0 тогда и только тогда, когда в = a + (1 — p) Е int K0. Если в Е int K⁰, то

IIDSIIp - Цp2-M, где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: hs, вi ^ sup; s Е S.