О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным

Если f E W r и ||a ^N (f) - a k _l 2₂N+1 6 d, то из этого равенства, положив g = f - f , получаем

A i k a N (g) k l² 2N+1 + A ₂ k g ^(r) k L 2 (_T) 6 A i k a N (f)

-

a k 2 2N₊i + A 2 k f ^(r) k L ₂ (_T) 6 A i d ² + A 2 .

Оценим погрешность метода (2). Имеем

^

ku - A(a)kL2(D) = ^ + 2 X k=i

_<   / u o    ¹ X X

^{6 sup}K ⁺ 2X k =i

^a k ⁽g) + b k ⁽g) k +1

N

u k

∞

— : Ai   Uk + A2   Ukk2r 6 Aid2 + A2, k+1 k=o        k=i

U k >  0 У

Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи (5), то полученная оценка сверху для погрешности оптимального восстановления совпадает с оценкой снизу и метод (2) является оптимальным. Подставляя в него выражения для A 1 и A 2 , получаем утверждение теоремы. B

Рассмотрим теперь случай p = го .

Теорема 2. Положим

m = max{ n Е ^+ : 5² ^^ k ^2r < 1, 0 6 n 6 N }. |k| 6 n

Тогда

E N,^ (W 2 r ,5)

^{5 2} + 5 ² XT ^ + -----,

4      k =1 k + 1   2(m + 1)(m + 1) ^2r

где

a k = 1 - ^k—¹ f k , k = 1,---,m m+2 m+1

а метод

N

b(a)(p cos t, psin t) =2" + У^ « k p^k ( a k cos kt + b k sin kt) k =1

является оптимальным.

C Аналогично неравенству (3) имеем

EN,^ (W2,5) >      suP     kukL2(D)- f∈W2r kaN (f )k ,2N+1 6 l∞

Экстремальная задача, стоящая в правой части этого неравенства может быть переписана в виде (здесь для удобства мы также переходим к квадрату ее значения)

^U " + ¹ X u k ^ max, 0 6 u k 6 5 ² , k = —N, ...,N, X U k k ² 6 1,    (10)

4    2        | k | +1

|k| > 1                                                                                            |k| > 1

где U k = a k (f) (k = 0,1,...) и u - k = b k ( f ) (k = 1, 2,...). Рассмотрим функцию Лагранжа этой задачи

L (^{u k } "' ,^A) - (^-4 ^{+ A}«) ^u " ⁺ X ₁ ("2( | k1+ !)

2 ^N

^{+ A} N +1 k ²r j ^u k ⁺     λ k ^u k ^,

| k | =1

A = ( A - n ,..., A n , A n +1 ). Для решения задачи (10) достаточно найти допустимую в (10) последовательность {U k } “ и такой вектор A с неотрицательными компонентами, что

min L ( { u k } o°°,A)= L ( { U k } ₀°° ,A) U k > 0

и

N

X k=-N

b k ^(u k ^{— 5} 2 ) ^{+ U} N +1 f     b k k ²r ^— 1^ = ⁰-

^V |k| > 1              ⁷

При этом {u k } ^° — решение задачи (10).

Положим

A 1 a               1

^X ° = 4^{, A n +1} = 2(m + 2)(m + 1) ^{2r ,}

-— X k = <

1 2( | k | + 1)    A n + 1 k - 1 6 |k ' 6 m- 0,                        m + 1 6 | k | 6 N.

Последовательность { u k } §° определим равенством

'5 ² ,

| k | 6 m,

| k | = m + 1, | k | > m + 1.

,— uk

'    ^p m k 2

2(m + 1) ^2r

Л

Из определения m следует, что {u k }q° — допустима. Кроме того, при всех u k >  0

L ( { u k }°°° , X)

X ( 2( | k | + 1) |k| > m +2

+ b N +i k ^2r) U k >  0 = L ( { A k }§° ,b).

Тем самым условие (11) выполнено. Легко убедиться, что условие (12) тоже выполнено.

Следовательно, {u k }q° — решение задачи (10). Отсюда

En, ^ ( W 2 ,5) >  t

u° + 1 ^^   u k 4   2|&|k|+1"\

5 2 + 5 2 X O^ +      --- 4      k =1 k + 1   2(m + 1)(m + 1) 2 r

Отметим, что из тех же соображений, которые были использованы выше, вытекает, что {Uk }§° — решение задачи u° 1        uk

Т + 2         - max,

|k| > 1

NN

£ X k U k + A n +1 £ U k k ^2r 6 5 ² £ A k + A n +i , U k >  0.

k = - N               |k| > 1             k = - N

Займемся теперь построением оптимального метода восстановления. При фиксированном a = (a ° , a i ,..., a N , b i ,..., b N ) G R^{2 N+1} рассмотрим следующую экстремальную задачу

N

A ° ^|a ° ^(f) - a ° | ^{2 +} ^X⁽b k | a k ^(f) - a k | ^{2 +} b -k | b k ^(f) ^— b k ^{| 2 )} k =1

+ ^A n +1 k f ^(r) k L _{2 (T)} - min,      f G W 2 ^r .    (13)

Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция m A f (t) = "2° + ^X a---X™—k^-(ak COS kt + bk sin kt).

Из того, что f — решение задачи (13), вытекает справедливость при всех f Е W ^ r равенства (оно может быть проверено и непосредственно)

N

^A o | a o (f) - a o (./)|² + £(b k | a k (f) - a k '    + A -k | b k (f) - b k (f) | ² )

k =1

^{+ a} n +i k ^{f (r) -} f r ) k L 2 (T) ^{+ A} o ^|a o ^(f) - a o ^{| 2}

Л                             „                     (14)

⁺ £^(A k ^|a k ^{(f) -} a k |^{2 + A} - k ^|b k ^{(f) -} b k | ^{2) + A} N + 1 k ^f r k L 2 (T)

k =1

N

= Ao|ao(f) - ao|2 + ^£(Ak|ak (f) - ak |2 + A-k |bk (f) - bk|2) + An+1kf(r)kL2(T)- k=1

Если f Е W r и | a k (f) - a k | 6 5^ k = 0,1,..., N, | b k (f) - b k | 6 5, k = 1,..., N, то из равенства (14), положив g = f - f , получаем

N

^A o ^|a o ^{(g)| 2 +} ^£^(A k ^|a k ^{(g)| 2 + A} -k ^|b k ^{(g)| 2} ) ^{+ a} n +i k ^{g (r)} k L ₂ (t) ^{6 A} o ^|a o ^(f) ^- a o ^{| 2}

k =1

NN

⁺ ^X^(A k ^|a k ^(f) ^- a k ^{| 2 + A} -k ^|b k ^(f) ^- b k ^{| 2} ) ^{+ A} N +1 k ^{f (}r ) k L 2 (T) 6 ⁵2 ^^ ^A k ^{+ A} N +1 - k =1                                                          k = -N

Оценим погрешность метода (9). Имеем aO^ , 1 afc(g) + bfc(g) /     / uo 1 uk ku - ^(alkL^CD, =  4'21    11| + 1   6 sUP^ T + 2 £ iki+y :

|k| > 1                                                       |k| > 1

N           ∞N

£ A k U k + A n +1 £ U k k ²^ 6 5 ² £ A k + A n +1 , u k >  0

k = -N               |k| > 1             k = -N

Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи (10), то полученная оценка сверху для погрешности оптимального восстановления совпадает с оценкой снизу и метод (9) является оптимальным. Подставляя в него выражения для A - n ,..., A n , A n +1 , получаем утверждение теоремы. B

Пусть фиксирована погрешность 5 > 0 вычисления коэффициентов Фурье граничной функции f в задаче Дирихле. Положим

N = max| n Е Ж₊ : 5 ² £ k ^2r < 11.

|k| 6 n

Из теоремы 2 вытекает, что для максимально точного восстановления решения задачи Дирихле по приближенным значениям коэффициентов Фурье функции f требуется знание 2 N § + 1 первых коэффициентов Фурье. Вычисление следующих коэффициентов Фурье (при условии, что они вычисляются с той же погрешностью) не приводит к уменьшению погрешности оптимального восстановления.

Аналогичный эффект насыщения наблюдается в задачах оптимального восстановления производных по неточным коэффициентам Фурье (см. [7]) и при оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточной информации о начальной температуре (см. [10]).