О выборе формы решения квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Показано, что метод Крылова А.Н. для решения квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является более предпочтительным, чем метод Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. В методе Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. определение произвольных постоянных, содержащихся в приближенном решении, аналитически определить невозможно, что значительно снижает ценность метода и его использование практически сводится к нулю.

Рассмотрим два подхода к построению решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Метод Крылова А.Н.

Описание метода Крылова А.Н. [1] рассмотрим на конкретном примере [2, стр. 513] нелинейной системы 23

x + k x = — px ,(1)

где x - вторая производная по времени t .

Решение уравнения (1) ищут в виде разложения в ряд по малому параметру р <<  1

x (t) = ф (t) + рф 1 (t) + p 2 ф 2( t) + ...,(2)

где ф(t), ф 1(t), ф2(t),.. - периодические функции аргумента (pt). Точное значение квадрата искомой частоты p также представляют в виде аналогичного ряда p2 = k2 + h 1 p + h 2 p2 + ...,                        (3)

где h ₁ , h ₂ ,... – постоянные, определяемые при решении уравнения (1). Подставив разложения (2) и (3) в уравнение (1) и приравнивая нулю выражения при различных степенях малого параметра µ , получим следующую систему уравнений 2

Ф + p ф = 0

• _< Ф Г⁺ P 2 ф i = ^h 1 Ф - ф ³                              (4)

• ф 2' ⁺ P ² Ф 2 = ^h 1 Ф 1 ^{+ h} 2 Ф 2 - ³ Ф ² Ф 1

Решение уравнения (1) ищем при начальных условиях t = 0, x(0) = a , x'(0) = 0 .                  (5)

Эти условия будут выполнены, если функции φ(t), φ1(t), φ2 (t),... будут удовлетворять равенствам ф (0) = A, ф '(0) = 0

Ф 1 (0) = 0, ф ‘ (0) = 0

.                                        (6)

ф 2 (0) = 0, ф 2 (0) = 0

Из первого уравнения системы (4) находим порождающее решение

ф ( t ) = A cos pt .

Подставив это решение во второе уравнение системы (4), получим

A 3 ³ )

A ³

--cos3 pt .

ф ‘ + p ф 1 = h 1 A — 3--- cos pt

Для устранения векового (секулярного) члена в (8) выражение при cos pt приравниваем нулю, откуда находим поправку h ₁ к k ² из (3)

• h = -A¹ .                                   (9)

Тогда уравнение (8) будет иметь решение

A ³

tp_x ( t ) = M_x cos pt + N_x sin pt +-- -cos3 pt ,       (10)

32 p ²

где постоянные M 1 и N1 определяем из нулевых начальных условий (6)

M 1 =

A ³ 32 p ^{2 ,}

N 1 = 0 .

При этих значениях M ₁ и N ₁ решение (10) примет вид

A ³

Ф 1 ⁽ t ) = .    2 ^{(COS 3} Pt - ^COS Pt ) •

32 p

Аналогичным образом находим решение для φ ₂ ( t ) и все последующие при необходимости. В результате решение уравнения 2

• (1 ) с точностью до членов порядка µ запишется в виде

  x ( t ) = A cos pt + p

  
  

  A ³

  32 p ²

  
  

  (cos 3 pt — cos pt ) +

  
  

  2 A ⁵

  + p 1024 —4 (cos 5 pt — cos pt)

  
  
  
  

  2      2      ³2

  где p = k + p 4 A

  
  

  _—

  
  

  2 3 A ⁴

  p---у

  128 p ²

  
  

  .

  
  
  
  

• 2.    Подход Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. Подход этих авторов к решению уравнения (1) изложен в их книге [4, стр. 86].

Аналогичный результат имеется и у Тимошенко С.П. [3, стр. 148].

В этом подходе построения решения для уравнения (1) мы видим, что его приближенное решение (13) содержит постоянную величину A , определяемую начальным условием x(0) = A , от которой также зависит и частота p в (14).

Решение уравнения

x" + to 2 x = sf (x)                               (15)

ищется в виде

x (t) = Z (tot + ф) ,                                  (16)

где z = z(^), ф = to t + ф •

Подставив (16) в уравнение (15), получим d 2z

• - d^2 + - z = f (z) .(1

Функцию z(ψ) и квадрат частоты ω представляют в виде z (ф) = Z = X (ф), -2 =Z=n an.(18)

n=0

Решение уравнения (15) рассматривается на примере

• x" + x = — ex3 .(19)

Используя равенства (16), (18) и приравнивая нулю выражения при разных степенях ε из уравнения (19), получим

• a о dz + z о = 0,

dф d2 zt            3

a0     ' + zi = — z 0 — «1"

< 0 dф2            ^0     1 dф2                    .(20)

d2z2               2         d2z0

• «0 ---T + z2 = -3zozi - «2 ---?«1

• ⁰ d-ф ^{2                0        2} d^ ^{2      1} d-ф ²

Из первого уравнения этой системы находим z ₀( ф ) = a cos ф , a ₀ = 1 .

Подставив решение (21) во второе уравнение системы (20), получим d-z1 + z, = — dψ 2

r

a

— cos3 ф + a 1 a

к

--a

cos ψ . (22)

Приравнивая нулю выражение перед cos ψ члена), находим решение уравнения (22)

(устранение векового

a ³                  3

z ^{1 ( ф} ) = 32 ^{cos3 ф} ’ ^{a 1} = 4 a

.

Решение (23) является частным решением уравнения (22), в результате чего авторы [4] упускают два дополнительных слагаемых в (23), а именно

C 1 cos ф + C ₂ sin ф ,

которые должны присутствовать в решении (23) согласно теории решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Постоянные C ₁ и C 2 в (24) должны определяться из начальных условий, которые в рассматриваемом примере из [4] не вводятся. В принципе это допустимо, так как конечное решение будет зависеть от двух произвольных постоянных, которые можно определить из некоторых начальных условий. Но это, как будет видно из дальнейшего изложения, приведет к большим алгебраическим трудностям при определении этих постоянных.

Далее, подставляя решение (23) в третье уравнение системы (20), аналогичным образом находим решение для z ₂ ( ψ ) и т.д.

Ограничившись членами до ε ² включительно, решение уравнения (19) запишется в следующем виде

a x (t) = a cos( to t + ф) + г 32cos3( to t + ф) +

5 ^, 2 ^a

+ г -----(cos5(tot + ф) — 21cos3(tot + ф))

где a и φ – произвольные постоянные.

Если мы теперь зададим начальные условия t = 0, x(0) = A, x (0) = 0 , то определить постоянные а и ф из решения (25) будет весьма затруднительно.

При указанных начальных условиях из решения (25) следующие уравнения для определения постоянных a и φ a3

A = a cos ф + г — cos3 ф + г^г---- (cos5 ф — 21cos3 ф )

0 = sin ф + г ---sin3 ф + г^г ----(5sin5 ф — 63sin3 ф )

получим

Как видно из двух уравнений (26) и (27) определение постоянных a и φ из них представляет сложную алгебраическую задачу, решить которую можно только численно, что значительно снижает ценность полученного решения (25).

Поэтому использование предложенного авторами [4] способа решения уравнения (15) практически равно нулю.

Решение же (13), полученное методом Крылова А.Н., к таким затруднениям не приводит. В это решение входит постоянная A , которая определяется из начального условия x (0) = A .