Рассмотрим дискретный самосопряженный оператор T с ядерной резольвентой и линейный ограниченный оператор P , действующие в гильбертовом пространстве H . Для простоты изложения предположим, что оператор T - положительный с простым спектром а (Т ) = { A n } n _ ₁. Собственные числа A n оператора T занумеруем в порядке возрастания. Обозначим через

& (Т ) = { ^п } „ = i собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Можно показать (см., например [1]), что если существует номер N такой, что для любых

2| PII n > N выполняется неравенство q =----—-— < 1, то первые N собственных чисел {^ } , опе-

" An+i - A ратора Т + P являются решениями системы N уравнений:

NNt N

X л = X Ak +tak s)(N) + eN)(N), tN e N , s = 1, N. k=1       k=1k

возмущений,

Здесь     a k^s ) ( N ) = ^{( 1)} s Sp J A s ^{- 1} [ PR ₀ ( A ) ] ^k d A    - поправки теории

2nikA

¹ N

A + Am es) (N) = X aks) (N), ГN - окружность радиуса pN = —---N+1 с центром в начале коорди-

N        k=tN+1

нат, R ₀ резольвента оператора Т .

Правые части уравнений (1) явно выражаются через собственные числа и собственные функции невозмущенного оператора Т и возмущающий оператор P. В.А. Садовничий и В.В. Дубровский в работе [2] высказали идею нового метода вычисления собственных чисел возмущен- ных операторов с помощью системы (1). Серия работ В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, И.И. Кинзиной [1, 3–9] привела к созданию и обоснованию метода вычисления собственных чисел возмущенного оператора, а также созданию численных алгоритмов, реализующих данный метод. Идея метода состоит в следующем. Используя теорию симметрических многочленов и формулы Ньютона, нахождение корней системы (1) сводится к нахождению корней многочлена степени N , коэффициенты которого могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Поэтому погрешность вычисления N первых собственных чисел an зависит от того, как точно вычислены правые части системы (1). Несмотря на приведенные в работах [1, 4, 6–9] численные примеры, найденные там оценки остатков atN +1

е% ( N ) = sN p - q -   = N^ N N ^{+ 1},

N            1 - q- нельзя назвать хорошими. Добиться малости е^) (N) возможно только за счет увеличения степени t- +1 числа qN < 1, что в свою очередь ведет к увеличению числа поправок теории возмущения а(s), которые приходится вычислять. Сложность вычисления поправок нелинейно растет с увеличением номера поправки, что значительно увеличивает трудности практического применения метода и ведет к накоплению ошибок округления.

В представленной работе делается попытка уменьшить оценки остатков рядов.

• 1.    Вычисление собственных чисел

  Введем обозначения:

  
  

R (Л) = (T - ЛЕ )-1,  R (Л) = (T + P - ЛЕ )-1,  r = inf rn,  Qn = {Л:|Л> kN + rN }n QU - Л|> Гп }, n ^N                                 n > N

p (T ) - резольвентное множество.

Приведем известные, но необходимые для целостного изложения результаты в виде нескольких лемм.

Лемма 1. Если ||P || <  r, то T + P - дискретный и справедливо разложение в сходящийся по норме ряд

м

R ( Л ) = £ ( - 1) ^k R o ( Л )( PR o ( Л )) k , ЛеО. - .                           (2)

к = 0

Обозначим собственные числа оператора T + P , через a n занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Лемма 2. [10] Если P <  r_N , то внутри контура Г _N будет находиться одинаковое количество собственных чисел Л _п и a n (с учетом кратности), n <  N. Если ||P || <  r_n, то внутри контура y _n будет находиться одинаковое количество собственных чисел Л _п и a n (с учетом кратности).

Интегрированием по частям доказывается следующая:

Лемма 3. Если g - однозначная аналитическая функция, у - замкнутый контур, то имеет место равенство:

Sp J g ( Л ) R о ( Л )( PR о ( Л )) k d Л = - 1 Sp J g '( Л )( PR о ( Л )) k d Л ,   k е N .

Y                                   Y

Обозначим через v_n и u_n ортонормированные в H собственные функции операторов T и T + P , соответствующие собственным числам Л _п и a n , и перейдем к доказательству основного результата.

Теорема 1. Если ||P || <  r_N, то первые N собственных чисел a n оператора T + P являются решениями системы уравнений:

N

У— м( z - A l ) где ^a ks ^{) (} N ) = (-^y s Sp j 2 П ik

¹ N

s

-У 1 I у s(Pvi,vi) + у а<(sS-1 n =hz ns + hz   ns +1 + h ak (N) +£s , s = 1, N , l=1 (z - Xl)     l=1 (z - Xl)       k=2

( Я - z ) s ^{+ 1}

[ PR ₀( X )] k d X - поправки теории возмущений, z некоторое

фиксированное число, £ _s - зависящие от z и M сколь угодно малые числа.

Доказательство. Умножим ряд (2) на число-------, s = 1, N, проинтегрируем по кон-2ni (z - Я)s туру ГN и найдем след. Число z > XN + rN выберем позднее. Получим:

—— Sp [ R ^{( X )} d X = —— Sp [ ¹ У ( - 1) ^k R ₀( Я )[ PR ₀( X )] ^k dX. 2 n i^P^ ( X - z ) ^s      2 n i X - z)sh ’^0UL '

Вычислим интеграл в левой части и первые слагаемые в правой части. Используя леммы 1 и

• 2,    можно показать, что оператор j R ( X ) d X является проектором на пространство, натянутое на Г N

  линейную оболочку { u n } N = 1 . Имеем

  
  

  - Г Sp/ 2 n i

  ¹ N

  
  

  R ( X ) ( z - X ) ^s

  
  

  ГС

  
  

  1 ^ГС

  d X = —

  2 n i н г ^{1 1} к ¹ N

  
  

  R ( X ) ----------dXu, , u, ( z - X ) ^s     l l J

  
  

  N

  
  

  Г

  
  

  =- П h j

  ¹¹ К ¹ N

  
  

  R ( X ) u l ( z - X ) ^s

  
  

  У d X , U i

  J

  
  

  _-

  
  

  N

  
  
  
  

  П

  ¹¹ К ¹ N

  
  

  u_l

  
  

  ( z - X ) ^s ( A l - X )

  
  

  У d X , U i

  J

  
  

  N

  =- h ( ui , ui

  l = 1

  
  

  ) П j

  ¹ N

  
  
  
  

  N

  
  
  
  

  ( z - X ) ^s ( A l - X )

  
  

  d X =У m( z - A l )

  
  

  .

  s

  
  

Аналогично, при k = 0 :

—— Sp f 2 n i

¹ N

При k = 1, используя лемму 3, имеем:

R o ( X )

( z - X ) ^s

N dX =h-l=1(z

1______ ■ Xl ) ^s

.

—Sp f 2 n i

¹ N

R 0 ( X ) PR 0 ( X ) ( z - X ) ^s

s v г PR ( X ) л d X =-- Sp  ⁰   d X =

2 n i      ( z - X ) ^{s + 1}

s ^N

-~ h ^{( Pv} n , v n ) J ^{2 П} l = 1          г N

Оценим M -й остаток ряда.

( z - X ) s ^{+ 1} ( X l - X )

N

d X = h

^{s ( Pv} n , v n )

l = 1 ^{( z - X} l )■

. s + 1 .

— Sp [

2ni   J

¹ N

ГС

^{( z - X )} s k = m

h (-1)kRo(X)(PRo(X))kdX = ^-Sp f k = m                             2ni гN

s

N

ГС

h

^{( z - X )}    k = M

(^ k -( PR 0 ( X )) ^k d X <  k

s

^{2 n} b^z

-

1-1 н 1 PR , ( ^x ) iw ^X I k = M k

s

ГС

2П ( z - XN - rN )'

s+P длина гN h 7

k = M

/maxI\^PR0^{( X )}lI k <  k X gT n

• ^{s ( X} N ^{+ r} N )     ^q N

s + 1      M

( z - Xn - rN )   1 - qN

За счет выбора числа M и, главным образом, числа z погрешности

Р <

s ^{( X} N ⁺ r N )     q N

(z - Xn - rN)s+11 - qM можно сделать сколь угодно малыми. Доказательство закончено.

Заметим, что если ввести обозначения p _n =-----, q _n =-----, то система перепишется в

z - Pn       z - An виде (1)

N

NN

M - 1

Z в = Ш + Z s ( Pv_n , v_n n s ^{+ 1} + Z a s ) ( N ) + _£ s •

1 = 1           1 = 1          1 = 1

k = 2

Обоснование существования и единственности решения данной системы, а также алгоритмы поиска решения можно найти в работах [1, 3-8].

Предположим далее n >  N .

Теорема 2. Если ||P || <  r_n и A _n однократное, то собственное число p _n можно вычислить по формуле

M - 1

P n = P n ⁺ s ^{( Pv} n , v n Wn^{1 +} Z O ks ) ⁽ n ) ^{+ £} S , k = 2

где a ks ) ( n ) =

( - 1) k

s

2 n ik

Sp∫

Y

--------p[ PR₀ ( A )] ^k d A , z - некоторое фиксированное число, £_s - зави-( A- z■ ) ^{s + l     O                                                                   s}

сящее от z сколь угодно малое число.

Доказательство аналогично теореме 2. Умножим ряд (2) на-------, проинтегрируем 2ni (z - A)s по контуру Yn и найдем след. Числа z > An + rn, M > 3 и s e N выберем таким образом, чтобы погрешности

srn

q n^M

M ( z - A n - r n ) s ^{+ 1}1 - q

были достаточно малыми.

Обобщение на случай кратного спектра можно сделать аналогично [9].

2. Вычисление собственных функций возмущенного оператора

Из леммы 2 и введенных обозначений следует, что внутри контура y _n находятся только числа A _n и p _n , а внутри контура Г _N - числа A _k , p _k , k = 1, N • Пусть сначала n <  N . Разложим собственные функции v_n в ряд Фурье по ортонормированному базису { u_n } .

vn

M

= Z c nk u k , c nk = ^{( V} n , u k ) .

k = 1

1 Умножим равенство на ------,

( z - A ) m

z >  A N _{+ 1}, подействуем проектором

—— [ R ( A ) dA 2 n i A

1 _N

и по

лучим:

- — f

2 n i J

¹ N

R ( A ) v, ( z - A )

PdA = —- £ c_nk f R ^{( A )} u k dA. I m        2 n i ^{Z nk} 1 ( z - A ) m

Преобразуем правую часть равенства (4) следующим образом:

1 M

²™k =1   Г N

R ( A ) щ ( z - A ) m

M

dA = -—

2ni^ nk kJ k=1      Г N

N

( z - A ) m P - A )

k=1(z - pk)

c nk u k

m

•

Для вычисления левой части (4) воспользуемся представлением (2):

2m J

¹ N

R ( A ) V n ( z - A ) m

d A = Z ( - 1) k     J ;---- R 0 ( A ) ( PR O ( A ) ) k v_nd A.

k = o       ^{2 n} i _Г N ^{( z - A )}

Оценим s -й остаток ряда (5):

I(-1)‘ Ы I      ,m RоЛ)(PR (Л))‘V’-M k = s      2П1 гN (z - Л)

H

M

----------^N ------------У max II R ( Л ) P|| ( A n + r - Л )( z - Л N - r ) mtN"      "

_-_Lу f J R >< A ) P t_ ^t^z - Л " - Л

_^An ^{+ r}

II v nU d ^ -

q ^s

^(Л N ^{+ r - Л} п ^{)( z - A} N ^{- r} ) m ¹ q

P где q = -—-< 1. Таким образом, при некотором 5 , а также за счет выбора z, можно получить r достаточно малую оценку• Пусть, например, такая оценка получена при s' = 2 • Вычислим два первых члена ряда (5). При k = 0 имеем

—L f Rо(Л)vndл=-[

2ni^ (z - Л)m

1 N v 71

-dЛ = — v ^

( z - Л ) ^m ( Л п - Л )     ( z - Л п ) ^m

•

При k = 1 воспользуемся представлением резольвенты в виде ряда [11, гл. 5, § 3]:

M

R о(Л) = I k=1

( - , vk ) v k

Л k

- Л

•

Тогда:

2 n i J

¹ N

R о ( Л ) PR о ( Л ) v, ( z - Л ) ^m

ⁿ d Л = —- [ — R ^{о( Л ) P}vⁿ —d л = ^{2 П} Г N ( z - Л ) ^m ( Л п - Л )

-

2 n i /

¹ N

W

I

( z - Л ) m ( Л п - Л)^

^{( Pv} n , v k ) v k _{d Л} =

^A k ^{- Л}

^{m (} Pv n ■ vn ) vn ( z - Л, ) • ^{+ 1}

^{( Pv}n , vk ) vk

^{( Pv} n , v k ) vk

+ k^N,^ (z - Лп)m (Лп - Лk) (z - Лk)m (Лk

+

k ^ п

Л п ) )

+

( ^Pv n , v k ) v k

I k>N (z - Лп ) (Лп - Л )

•

Подставляя все вычисленные интегралы в (4), получим:

M

^{m ( Pv} n , ^v n ) ^v n

( z - Л п ) m ^{+ 1}

+ 1 k - N , <  k ^ п

у cnkuk =   vn   + tK z - Vk)m (z - Лп)m

^{( Pv} n , v k ) v k     ₊     ^{( Pv} n , v k ) v k

( z - Л п ) m ( Л п - Л k ) ( z - Л k ) m ( Л k

-

Л п ) )

^{( P}v n , v k ) v k

+ I k>N (z - Лп ) (Лп - Ak )

+ R m , (6)

где I R m t

-

Л ы + г

^(A N ⁺ r ^{- Л} п ^{)( z - Л} ы

q ^s

- r ) ^m 1 - q

•

Далее

Г 1

предположим , что все числа V _n , п - N различны^ Тогда матрица Вандермонда

I (z - Щ ) m ) k m=0, N-1

обратима. Обозначим элементы обратной матрицы через W k _m • Умножим на

обратную матрицу систему уравнений (6), разрешив ее относительно неизвестных c_nku_k .

N - 1

^C nk ^U k = I w km m = 0

v ^—+

( z - Л п ) m

N ^{- 1} m ^{( Pv} n , v n ) v n ¹ ( z - Л п ) m ^{+ 1}

г

+ 1 k - N , <  k ^ п

^{( Pv} n , v k ) v k     ₊

^{( Pv} n , v k ) v k

у

( z - Л п ) m ( Л п - Л k ) ( z - Л k ) m ( Л k

-

Л п ) )

+ I    (Pvn, vk )vk    + Rm k>N (z - Лп )m (Лп - Ak )

•(7)

Для нахождения неизвестных коэффициентов е_пк умножим скалярно равенство (7) на v_n • Получим:

N - 1

c nk = A w km m = 0

(     1

[ ( z - A n ) m

m ( Pv_n , v_n )

( z - A ) m ⁺ 1

^

+ ( R 2 , V n )

Таким образом, все неизвестные ортонормированные собственные функции U k , k <  N будут найдены.

Остальные функции uk, k > N можно находить аналогично, действуя на равенство (3) про ектором —— f R (Л)dA. В силу леммы (2) внутри контура уп будет находиться по одному соб-2niJ

Yn ственному числу. После преобразований получим аналогичное равенству (6), но более простое представление:

(Pvn,vk)vk cnnun = vn + A J J   + R 2, k ^ n An Ak где HR21H < q—a .

• ^{1    -} q

При необходимости можно вычислить не два первых члена ряда (5), а несколько. Однако сложность вычисления каждого следующего члена возрастает.