О вынужденных колебаниях трех тел, упруго опертых на балку
Автор: Баргуев С.Г., Нестеров А.С., Васильев А.А.
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Математическое моделирование и обработка данных
Статья в выпуске: 3, 2024 года.
Бесплатный доступ
В данной статье ставится задача о вынужденных колебаниях трех тел, упруго опертых на балку. Для решения поставленной задачи, в отличие от классического способа, когда система разбивается на части, для которых составляются уравнения движения, находятся их решения, а затем производится сшивка решений в местах разбивки, в данной статье применяется вариационный принцип Гамильтона, в результате чего получается система дифференциальных уравнений, три из которых представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно времени, описывающих движение твердых тел, и дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно времени и четвертого порядка относительно продольной координаты точек балки. Решение полученной системы ищется в виде произведения амплитуд на гармоническую функцию частоты внешнего возмущающего возмущения. При этом для твердых тел амплитуды постоянные величины, а для балки - переменные. Затем после некоторых преобразований полученной системы амплитудных уравнений, определяются коэффициенты передач в виде отношений указанных амплитуд к амплитуде возмущений. Сказанное относится к методике исследования на вынужденные колебания трех, упруго закрепленных вдоль балки твердых тел, в основе которой лежит вариационный принцип Гамильтона. При этом решение полученной в результате применения вариационного принципа гибридной системы дифференциальных уравнений, включающей как обычные дифференциальные уравнения, так и в частных производных, понимается в обобщенном смысле. Применение понятия обобщенного решения вызвано присутствием в уравнениях дельта-функции Дирака, которую необходимо учитывать в местах присоединения тел к балке. По найденным коэффициентам передачи выявляются резонансные частоты, и производится их сравнение с собственными частотами указанной механической системы.
Балка, упруго закрепленные тела, резонансные частоты, собственные частоты, коэффициенты передач
Короткий адрес: https://sciup.org/148329912
IDR: 148329912 | DOI: 10.18101/2304-5728-2024-3-45-55
Текст научной статьи О вынужденных колебаниях трех тел, упруго опертых на балку
Упругие балки или стержни являются элементами многих конструкций и устройств в авиационной и космической технике, на зданиях и сооружениях, наземном и водном транспорте, опорах линий электропередач, башнях, мачтах, антеннах, трубопроводах и т.п. При вынужденных колебаниях в таких конструкциях возможен резонанс, то есть когда частота приложенных к ним внешних возмущений совпадает с частотой собственных колебаний конструкций. Поэтому возникает необходимость отстройки от резонанса, заключающемся в установке дополнительных гасителей колебаний в виде твердых тел или масс с упругими связями. В задачу исследования вынужденных колебаний входит определение коэффициентов передач, представляющих отношение амплитуд объектов конструкции к амплитуде внешних возмущений в зависимости от их частоты. Построение таких зависимостей позволяет определять резонансные, или то же самое собственные частоты. К теме вынужденных колебаний следует отнести начально-краевую задачу, то есть исследование поведения механической системы во времени при заданных начальных условиях. Гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой механической системы, выведена с использованием вариационного принципа Гамильтона [1], при этом точечное взаимодействие балки с прикрепленной системой твердых тел учитывается дельтафункцией Дирака, что предусматривает применение понятия обобщенного решения обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка решении при описании амплитудных смещений точек оси балки.
В данной работе описывается методика исследования механической системы на вынужденные колебания с получением коэффициентов передач. Производится идентификация резонансных частот с собственными
1 Исследование вынужденных колебаний
Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из трех тел с массами m 1 , m 2, m 3, присоединенных к упругому стержню с помощью пружин жесткости c 1 , c 2 и c 3 соответственно. Концы стержня жестко закреплены. Массы m 1 , m 2, m 3 могут перемещаться только поступательно в направлении осей O 1 z 1 , O 2 z 2, O3z 3 соответственно . Здесь точки O 1 , O2, O3 совпадают с положениями равновесия масс и являются фиксированными. Колебания масс характеризуются функциями z 1 (t ), z 2( t ), z 3( t ). Перемещения точек стержня описываются функцией u ( x , t ). Пружины присоединены к стержню на расстояниях а 1 , a 2, а 3 от левого конца стержня соответственно. На массы m 1 , m 2, m 3 действуют гармонические силовые возмущения с частотой p и амплитудами F , F 2, F3 .
Тогда вариационный принцип Гамильтона может быть выражен следующим соотношением:
j ( 8 (Т - U ) + 8 W ) dt = 0,
где T — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия системы; 5W — виртуальная работа неконсервативных сил.
Потенциальная и кинетическая энергия системы складываются соответственно из энергии тел, стержня и пружин, т.е.
T = T + Т2 + Т3 + Тб, U = U1 + U2 + U3 + Uб, где
Т = mz 2
m 2 z 2
_ m 3 z 3 2
, 3 2 , б c2 (z2 - u (a2, t))
1 2 ’ c (z1 - u (a1, t
, U 3
l
3 j EJ
2 о dx dx2
Здесь p — плотность балки; F — площадь поперечного сечения стержня; EJ — жесткость балки на изгиб; Т — кинетическая энергия i -ой массы; Т б — кинетическая энергия балки; U i — потенциальная энергия
упругой деформации i -ой пружины; U б — потенциальная энергия упругой деформации балки.
Внешние гармонические силовые возмущения определяются по формулам:
F (t) = F cos pt, F2 (t) = F2 cos pt, F3 (t) = F3 cos pt, следовательно:
S W = F cos pt S z1 + F2 cos pt S z 2 + F3 cos pt S z 3
Рис. 1. Балка с тремя упруго закрепленными на ней телами, с действующими на них внешними гармоническими возмущениями.
После ряда преобразований (1) примет вид:
t 1
j[(-m1z‘-c1(z1 - u (a1, t)) + Fcos pt )Sz1 + (-m2 z2 -c2( z2 - u (a2, t)) + F2cos pt )Sz 2 + t0
L
+ ( - m 3 z” 3 - c 3 ( z 3 - u ( a 3 , t )) + F3 cos pt ) S z 3 + j ( c 1 ( z 1 - u ( x , t)) S (x - a1) + (2)
d 2 u d 4 u
+ c 2 ( z 2 - u ( x , t )) S ( x - a 2) + c 3 ( z 3 - u ( x , t )) S ( x - a ,) - p F —2 - EJ — S ^ddx ] dt = 0
2 2 2 3 3 3 d t 2 d x4
Таким образом, получим уравнение движения системы m, z, + c1(z1 - u (a,, t)) = F, cos pt m2 z2 + c2(z2 - u (a2, t)) = F2cos pt m3 z3 + c3(z3 - u (a3, t)) = F3 cos pt
P F F u + EI T uu = L c ( z - u ( x , t )> ^ ( x - a i ) d t d x = i
Поделив первое уравнение на m , , второе на m 2 , а третье на вертое на p F, получим:
z"( t) + p,2 (z1 - u (a,, t)) = Hj cos pt, z2'(t) + p2(z2 - u (a2, t)) = H2 cos pt, z3'(t) + p32(z3 - u (a3, t)) = H3cos pt d2и ,54u Л , z
+ b = L e ( z i - u ( x , t)) S ( x - a )),
U t dx cF. c где p= ,e = —,Hi = F-,ei= ,i = 1,2,3
у m i p F m i
На u(x, t) наложены граничные условия: u (0, t) = u (l, t) = 0, dudu
—(0, t) = —(l, t) = 0 dxdx
m 3 , чет-
.
Подставив в (4) zi (t), u(x, t) в виде zi (t) = Д cos pt, u (x, t) = V(x) cos pt, i = 1,2,3
после преобразования получим:
- p2A + p , 2(4 - V ( a , )) = H i ,
-
- p 2 A 2 + p 22 ( A 2 - V ( a 2 )) = H 2 ,
-
- p 2 A 3 + p 32 ( A 3 - V ( a 3 )) = H 3 ,
-
- p2V(x) + bdVx = Lei(Ai - V(x))S(x - ai).
-
dx
Последнее уравнение в (6) имеет решение
V(x) = V (x - a,)e, (A, - V(a,)) + V2 (x - a2)e2 (A2 - V (a2))+
+V3 (x - a3)e3 (A3 - V (a3))
где V ( x - at ) , i = ,,2,3 — решения основной краевой задачи [,].
Подставляя в (7) последовательно x = a1, x = a2, x = a3 получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
V ( a 1 ), V ( a 2 ), V ( a 3 )
( 1 + V i ( 0 ) e1 ) V ( a1 ) + V 2 ( a1
= £ Via, — a.\e.A., i 1i ii i = 1
—
a 2 ) e 2 V ( a 2 ) + V 3 ( a l a 3 ) e 3 V ( a 3 )
V ( a 2 — a 1 ) eV ( a 1 ) + ( 1 + V 2 ( 0 ) e 2 ) V ( a 2 ) + V 3 ( a 1 — a 3 ) e3V ( a3 ) =
^i\ a 2 ai ) eiAi ,
-
a 2 ) e2V ( a 2 )+ ( 1 + V 3 ( 0 ) e 3 ) V ( a 3 )
V1(a 2 al) e1V(al) + V2(a3 = i=1V'( a3 - ai) eA'
Решая систему (8), получаем
V (a, ) = в A + ei2 a 2 + в A3,
V ( a 2 ) = в 21 A + £ 22 A + в 23 A 3 , (9)
V ( a 3 ) = в 31 A 1 + в 32 A + в 33 A 3 .
где
£ 12 = 1
A в13 =1 A в4
|
_ V ( 0 ) e V ( a 2 — a 1 ) e 1 V ( a 3 — a 1 ) e 1 |
V 2 ( a 1 — a 2 ) e 2 1 + V2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 — a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 — a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 — a 3 ) e 3 1 + V3 ( 0 ) e 3 |
|
V 2 ( a 1 — a 2 ) e 2 |
V 2 ( a 1 — a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 — a 3 ) e 3 |
|
_ V 2 ( 0 ) e 2 |
1 + V2 ( 0 ) e 2 |
V 3 ( a 2 — a 3 ) e 3 |
|
V 2 ( a 3 — a 2 ) e 2 |
V 2 ( a 3 — a 2 ) e 2 |
1 + V3 ( 0 ) e 3 |
|
V 3 ( a 1 — a 3 ) e 3 |
V 2 ( a 1 — a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 — a 3 ) e 3 |
|
V 3 ( a 2 — a 3 ) e 3 |
1 + V2 ( 0 ) e 2 |
V 3 ( a 2 — a 3 ) e 3 |
|
V 3 ( 0 ) e 3 |
V 2 ( a 3 — a 2 ) e 2 |
1 + V3 ( 0 ) e 3 |
,
,
,
|
0 21 = |
1 A |
_1 + V ( 0 ) e 1 V ( a 2 - a 1 ) e 1 V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
_ V ( 0 ) e V ( a 2 - a 1 ) e V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 - a 3 ) e 3 1 + V 3 ( 0 ) e 3 |
|
|
0 22 =- |
1 A |
_1+ V ( o ) e V ( a 2 - a 1 ) e 1 V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V2 ( a 1 - a 2 ) e 2 _ V 2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) V 3 ( a 2 - a 3 ) 1 + V3 ( 0 ) e |
e 3 e 3 |
|
0 23 = |
1 A |
_1 + V ( 0 ) e 1 V ( a 2 - a 1 ) e V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 - a 3 ) e 3 V 3 ( 0 ) e 3 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 - a 3 ) e 3 1 + V 3 ( 0 ) e 3 |
|
|
0 31 = |
1 A |
_1 + V ( 0 ) e 1 V ( a 2 - a 1 ) e V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 2 ( a 1 - a 2 ) e 2 1 + V 2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
_ V ( 0 ) e V ( a 2 - a 1 ) e V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
|
|
0 32 = 1 A |
_1+ V ( 0 ) e V ( a 2 - a 1 ) e 1 V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 2 ( a 1 - a 2 ) e 2 1 + V2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
V 2 ( a 1 - a 2 ) e 2 _ V 2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
||
|
0 33 =- |
1 A |
_1+ V ( 0 ) e V ( a 2 - a 1 ) e V ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 2 ( a 1 - a 2 ) e 2 1 + V2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 - a 3 ) e 3 V ( 0 ) e 3 |
|
|
A = |
_1 + V ( 0 ) e 1 V ( a 2 - a 1 ) e 1 V 1 ( a 3 - a 1 ) e 1 |
V 2 ( a 1 - a 2 ) e 2 1 + V2 ( 0 ) e 2 V 2 ( a 3 - a 2 ) e 2 |
V 3 ( a 1 - a 3 ) e 3 V 3 ( a 2 - a 3 ) e 3 1 + V 3 ( 0 ) e 3 |
. |
|
Подставляя (9) в первые три уравнения системы (6), получаем следующую систему:
( P 2 - p 2 - P 2 0 11) A 1 - P 2 0 12 A 2 - P 2 0 13 A 3 = H 1 ,
-
- p 2 0 21 A 1 + ( p 2 - p - p 2 0 22) A 2 - p 2 в 23 A 3 = H 2 , (10)
p 3 0 31 A 1 - p 3 0 32 A 2 + ( p 3 - p - p 3 0 3з) A 3 = H 3 .
Отсюда , решая систему , найдем
Л A] i A2 Л A3
A 1 А , A 2 А , A 3 А .
AAA где
∆=
H 1
∆ 1 = H 2
∆2 =
∆3 =
p 1 2
H 3
p 1 2
p 1 2
- p 1 2 β 12 - p 1 2 β 13
p 2 - p - p 2 β 22 - p 2 β 23
- p 3 β 32 p 3 - p - p 3 β 33
- p 2 - p 1 2 β 11
- p 2 2 β 21
- p 3 2 β 31
- p 2 - p 1 2 β 11
- p 2 2 β 21
- p 3 2 β 31
- p 2 - p 1 2 β 11
- p 2 2 β 21
- p 3 2 β 31
H 1 - p 1 2 β 13
H 2 - p 2 2 β 23
H 3 p 3 2 - p 2 - p 3 2 β 33
- p12β12
p2 -p-p2 β22
- p32β32
- p 1 β 12 - p 1 β 13
p 2 - p - p 2 β 22 - p 2 β 23
- p 3 β 32 p 3 - p - p 3 β 33
Поделив A1,A2,A3 соответственно на F1,F2,F3 получим коэффициенты передачи
∆∆∆ χ 1( p ) = 1 , χ 2 ( p ) = 2 , χ 3 ( p ) = 3
.
∆ F 1 ∆ F 2 ∆ F 3
-
2 Расчеты коэффициентов передач
В работе рассчитаны коэффициенты передач с помощью Web-программы, разработанной авторами. При этом использованы параметры рассматриваемой механической системы, взятой из зарубежной статьи [2].
Параметры балки с упруго закрепленными тремя телами в системе СИ: k 1 = 3 kb , m 1 = 0,2 mb , k 2 = 4,5 kb , m 2 = 0,5 mb , k 3 = 6 kb , m 3 = 1 mb , kb = 63476,1, mb = 15,3875, a 1 = 0,1, a 2 = 0,4, a 3 = 0,8, l = 1, EJ = 63476,1, ρ F = 15,3875.
Результаты работы программы.
Ниже показаны графики зависимости коэффициентов передач от частоты внешних гармонических возмущений при равных амплитудах F1=F2=F3=F.
Собственные частоты, полученные в зарубежной статье
|
ω 1 |
ω 2 |
ω 3 |
ω 4 |
ω 5 |
|
|
Зарубежная статья [2] |
156,6703 |
190,6994 |
248,6622 |
1454,2932 |
3968,4732 |
Графики показывают, что несколько первых резонансных частот по порядку величины совпадают с собственными частотами, приведенные в таблице.
Заключение
В результате исследования вынужденных колебаний рассматриваемой механической системы выведены соотношения для коэффициентов передач в зависимости от частоты внешних гармонических возмущений. Определены резонансные частоты, которые совпали по порядку величины с собственными, что говорит об эффективности предложенной методики. Отметим, что определение резонансных частот производится с меньшими усилиями, чем определение собственных частот, которое требует применения громоздкого аппарата.
Список литературы О вынужденных колебаниях трех тел, упруго опертых на балку
- Мижидон А. Д., Баргуев С. Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2013. № 9. С. 130-137. EDN: QZFPMB
- Wu J.S., Chou H. M. A new approach for determining the natural frequencies and mode shapes of a uniform beam carrying any number of sprung masses. Journal of Sound and Vibration. 1999; 220 (3): 451-468.
