О взаимосвязи двух классов решений уравнений Навье - Стокса. II

Данная статья является продолжением статьи [1], но ее можно читать, по существу, независимо. Напомним, что в [1] рассматривается начально-краевая задача для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от неизвестной (скорости) массовой силой. Там введены определения решения и обобщенного решения указанной задачи и получены условия, при которых обобщенное решение, если оно существует, является обычным решением. В настоящей, заключительной, части работы: 1) показано, что обобщенное решение данной задачи существует, по крайней мере, локально; 2) проведено доказательство важной леммы 1 статьи [1], которая впервые была сформулирована в работе И. Б. Симоненко [2], где лишь намечен путь ее доказательства. В [1] имеются ссылки (вместо доказательства леммы 1) на монографию И. Б. Симоненко [3] и заметку автора [4], а также замечание о том, что в монографии [3] доказательство для нашего случая (граница области ∂Ω ∈ C ² ) — неполное (оно полное для ∂Ω ∈ C ⁵ , но переход к ∂Ω ∈ C ² представлен лишь схематично). Ввиду труднодоступности сборника [4] мы воспроизводим здесь содержащееся в нем полное доказательство леммы сразу для ∂Ω ∈ C ² . Отметим еще, что 3) некоторые важные детали [1], которые используются и в данной статье, представлены здесь подробнее. Это также является целью данной заметки.

Результаты [1] и данной статьи потребовались автору для обоснования метода усреднения для уравнений Навье — Стокса с полиномиально зависящей от скорости массовой силой, содержащей высокочастотные слагаемые с большими амплитудами. Работа по обоснованию направлена в печать. Она, в свою очередь, примыкает к исследованиям автора (см., например, [5–10]) асимптотических свойств некоторых важных классов эволюционных уравнений в частных производных с большими высокочастотными слагаемыми.

1 ° . Пусть Q — ограниченная область евклидова пространства R ³ с C ² -гладкой границей dQ , m — целое неотрицательное, n — натуральное, а v и T — положительные числа. В цилиндре Q = Q х [0, T] рассмотрим начально-краевую задачу вида

∂v∂

—--vAv + VP + (v, V)v = 2    —ai (v,x,t) + b(v,x,t),  div v = 0,

∂t∂x

16j63

v|SQx(G,T ] = 0,

v(x, 0) = vo(x), x E Q, в которой неизвестными являются вектор-функция v(x,t) и функция P(x,t) со значениями в R3 и R1 соответственно2, ш — большой параметр.

Будем предполагать, что вектор-функции a j ( v,x,t ) и b(v,x,t) со значениями в R ³ имеют следующую структуру:

a j = £ a jk , b = £ b k ,

G6k6m          G6k6m где ajk(v,x,t) и bk(v,x,t) являются однородными формами степени к относительно компонент вектора v. Таким образом, компоненты ajk' и bk' вектор-функций ajk и bk имеют вид:

a jk' ( v,x,t ) = £ a j' (x,t)v i 1 v s ² v s ³ ,

|S|=k bk'(v,x,t) = X b' (x,f)vsvs2v33•

| i | = k

Здесь s = (s i , s ₂ ,s 3 ) , S j = 0,1,...,k , | s | = s 1 + s ₂ + S 3 , v j (j = 1, 2, 3 ) — компоненты вектора v . Прежде чем ввести остальные ограничения на данные задачи (1)–(3), напомним определение известного банахова пространства, которое будет часто использоваться в дальнейшем.

Пусть — го < a < b < +ro и B — банахово пространство. Через C([a, b], B) обозначим банахово пространство непрерывных вектор-функций u : [a, b] ^ B с нормой llullcWbB) = max ku(t)kB.

ii

Будем рассматривать данные a j' ( . , t) и b ' ( . , t) как вектор-функции от t со зна- ii чениями в соответствующих банаховых пространствах и предполагать, что aj' ,b' E C([0, T], L^(Q)), vg E Sq0, qo > max(3(m— 1), 3). Здесь Sq0 = Sq0(Q) — известное в математической гидродинамике вещественное пространство соленоидальных векторов (см. [11, 12] и п. 2° ниже).

2 ° . Задачу (1)-(3) можно интерпретировать как математическое обобщение известной [11, 12] модели движения вязкой несжимаемой жидкости ( v — скорость жидкости, P — давление в ней) в сосуде под действием массовой силы. Обобщенная массовая сила здесь представлена правой частью первого уравнения (1). Она помимо пространственных и временной переменных x , t зависит и от скорости v движения жидкости. Систему вида (1) мы, следуя работе [2], называем уравнениями Навье — Стокса.

Приведем некоторые результаты математической гидродинамики [11, 12], на которые будем опираться в дальнейшем.

Пусть M — множество непрерывно дифференцируемых в Q соленоидальных (т. е. удовлетворяющих уравнению div v = 0 в Q ) вектор-функций v(x) с равной нулю на dQ нормальной компонентой. Через S q , q >  1 , обозначим банахово пространство, являющееся замыканием множества M по норме L q = L q (Q) :

) 1 /q = (/[X v(x) l ²l q/² dx) 1 /q .

Ilvlk = ( J ^{| v(x) |} q dx

Ω

_Ω 1 6 j 6 3

Ω

Через G _q обозначим банахово пространство, полученное замыканием множества градиентов гладких функций ϕ по норме

1/q liwik =

|∇ϕ|q dx k∇ϕkLq.

Ω

Пространство L q распадается в прямую сумму своих подпространств S q и G q : L q = S q ® G q . Связанный с этим разложением проектор П : L q ^ S q является ограниченным оператором, причем ортогональным в случае q = 2 .

В пространстве S q определен оператор A o = — vПА с областью определения D(A o ) =S 2 , являющейся замыканием по норме W 2 множества M . Оператор A o замкнут, а — A o порождает в S q аналитическую полугруппу e ^-tA 0 , t >  0 . Более того, оператор A 0 сильно позитивен (определение см. в [13, с. 298]), а потому определены его

Y                                           ◦ 2Y дробные степени A0, y > 0 [13, формула (14.15)]. Через S q будем обозначать банахово пространство, элементы которого принадлежат области определения оператора A0γ и снабжены нормой ||ukо2 = ||Aquksq-

S q

3 ° . Введем определения решения и обобщенного решения начально-краевой задачи (1)–(3).

Решением задачи (1)–(3) назовем определенную в цилиндре Q трехмерную вещественную вектор-функцию v(x, t) , для которой найдется определенная в том же цилиндре скалярная вещественная функция P (x,t) такая, что при некотором q >  1 будут выполнены следующие условия:

• 1)    вектор-функции v(t) = v( ^ ,t) и P(t) = P ( • , t) являются непрерывными, как отоб- ^°

ражения v : [0,T] ^ S q , v : (0,T] ^ S 2 , P : (0,T] ^ W _q 1 (Q) , и равенство (3) выполнено в S q ;

• 2)    отображение v : (0, T) ^ S q непрерывно дифференцируемо и первое равенство (1) справедливо при всех t Е (0 ,T ) в S q ;

• 3)    второе равенство (1) при (x,t) Е Q х (0, T] и равенство (2) выполняются в обычном классическом смысле.

Прежде чем сформулировать определение обобщенного решения задачи (1)–(3) опишем известную процедуру (см., например, [13]) перехода от задачи (1)–(3) к соответствующему интегральному уравнению. Предположим на некоторое время, что ajski ∈ C([0, T], W^) и пусть v(x,t) — решение задачи (1)-(3), q > 3. Подействовав на уравнение (1) проектором П и обозначив v(t) = nv(-, t) = v(^,t), v(0) = v(^, 0) = vo, перейдем от начально-краевой задачи (1)–(3) к задаче Коши в Sq0 для абстрактного параболического уравнения:

dv

— + A o v = П dt

- ^(v , ^{V )} v + X j =i

dX j a j (v, >t) + b ( v, • ,€ )

= П^ х (v, t) = ) ,

t E (0, T],   v(0) = v o .

Из результатов [11, 13] теперь следует, что всякое решение v( - ,t) задачи (1)-(3) удовлетворяет интегральному уравнению

v ( t ) = e ^tA 0 v ₀ +

t j e—t-T)Ao^\v(t),t] o

dT = e ^tA 0 v o + l 0 = N(v)](t),

где l 0 понимается как предел в S _{q o} интеграла I h при h ^ 0 .

Действительно, из определения решения задачи (1)–(3) вытекает, что при любом h E (0,T) справедливо соотношение ф \ v ( t ) ,t,шt ] E C (\ h, T ],Sq o ) • Отсюда согласно [13, лемма 23.1] следует равенство

v ( t ) = e -t- hA v ( h )+ I h , t>h.

Далее, в силу неравенства Гельдера существует постоянная c > 0 , при которой для всех к 6 m и v E C (\0,T], S p _o ) выполнены оценки

Hajkl(v(t), ^Пс ([0,T],Sp0/k) 6 ckvkC ([o,T],Sp0), kbkl(v(t), •,t)kC ([0,T],Sp0/k) 6 ckvkc ([0,T],Sp0) •

Из этих оценок и оценок (9), (10) работы [1], следует существование такой константы c i > 0 , что при всех t E [0, T] и h i , h 2 E (0,t) справедливы неравенства

h 2

j e. ( T)A0^\v(t),t, шт] dT h1

h 2

_- 3 ( m- 1) _- 1

(t — т) 2 qo    2 dT h1

S q₀

^{k v k} m ([0 ,T ] ,S q 0 ) ^{+ 1}

= c i

1 _- 3 ( m- 1)                1 _- 3 ( m- 1)

(t — h _x ) ^{2 2}  q o    — (t — h ₂ ) ^{2 2 p} o

( ^{kv k} m ([0 ,T ] ,S q₀

Учитывая определение решения задачи (1)–(3), сильную непрерывность полугруппы e ^-tA и неравенство (9) из [1], в (5) можно перейти к пределу при h ^ 0 по норме S _{q o} , так что равенство (4) обосновано.

В пространстве C ([0, T ], S _{q o} ) рассмотрим оператор N _ti , который определен на вектор-функциях v(t) E C (\0,T],S _{q o} П W^^ ) и действует по правилу, предписанному правой частью равенства (4). Тот факт, что образ N _ti лежит в пространстве C ([0, T ], S _{q o} ) вытекает из [13, лемма 23.1] и рассуждений данной статьи, использовавшихся при обосновании формулы (4). С помощью оценок (9), (10) из [1] и неравенства Г¨ельдера устанавливается, что оператор N _ti непрерывен не только относительно аргумента v E C ([0, T ] , S _{q o} ) , но

и относительно параметров a jk' Е C([0,T ], L ^ ) , в связи с чем будем рассматривать его на всем пространстве C([0,T],S q _o ) в условиях п. 1 ° .

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) на участке t Е [0, T] называется трехмерная вещественная вектор-функция v ( t ) = v(>t) Е C([0, T ] , S q _o ) , удовлетворяющая равенству v — N ^ (v) = 0.

Предложение 1. Существует такое положительное число T q 6 T , что задача (1)-(3) имеет единственное обобщенное решение u(x,t) Е C([0, T q ],S q _o ).

C Не нарушая общности, будем считать m >  2 . Обозначим через U q шар пространства S _{q o} с центром v q единичного радиуса. Пусть положительные числа M q , M i , L q и L i 1 2

удовлетворяют при любых w, w,w Е U q следующим условиям:

XI || ⁿ [ ^a j ^(w ’ • ’ • )    ^w j ^w ]|| c ( [0 ,T ] ,S _/m ) ⁶ M ¹ ’

1 6 j 6 3

k ⁿ b ^{Q (w} , > Alic ( [Q ,T ] ,S q₀/m ) ⁶ M ² ,

X ^{11 П} [^aj ^{( w} ’ • , • ) ^— 1 6 j 6 3

w j w j

a j (w , • , • ) + го j x ¹

^V                    И C ( [Q ,T ] ,S q₀/m)

_w 1

S q₀

I s

+ max a j' — j,`,s

11 ”        '■ ^ - b”(W' '■    11C(M.Sp„/m) 6 L2 ( 11 W - W11 S^ • ss

Здесь вектор Qj (w, •, •) получен из aj(w, •, •) заменой функций a j'(x,t) на a j'(x,t) Е C([0,T],L^). Выберем теперь Tq Е (0,T] столь малым, чтобы выполнялись неравен- ства

¹¹ (e      0     I )v ^{0 11} C ( [O ,T o ] ,S p_O ) <  ₂

• < M1 70 e    M2T01-e2 \

V 1 — в1      1 — в2 /

/ LT - i ₊ L 2 T₀ ^1-e 2 A < 1

у 1 — в1      1 — в2 / где c — та же константа, что в оценках (9), (10) из [1], в1 = 3(т|0~) +1 ’ в2 = 3(1250™). Отметим, что существование Tq, удовлетворяющего первому из этих неравенств, следует из сильной непрерывности полугруппы e-tAo. Обозначим теперь через V шар пространства C([0,Tq],SPo) с центром vq единичного радиуса. Напомним, что обобщенным решением задачи (1)-(3) на временном участке t Е [0, Tq] по определению является вектор-функция v Е C([0,Tq],Sqo), удовлетворяющая при t Е [0,Tq] интегральному уравнению

v(t) = e

t tAovo + /e-(t-T)Aoи| X ^-aj(v,-’Т) 0            116j63 8xj

+ b o (v, • ’Т) — (v, V )vj>dT = [N(v,a)](t).

Докажем, что оператор N преобразует шар V в себя и является сжимающим. В силу неравенств, выписанных в предыдущей части доказательства предложения, а также

1 2             1 2

оценок (9) при к = 0 , (10) из [1] при всех v,v,v G V, a, a, a G C ([0, T],L ^ ) , t G [O,T o ] , имеем

|| [N (v,a)](t) - v o | S q_o 6 | (e ^{—tA o} - 1 )v o | S q_o + c j M ( t - т ) ^—в 1 + M 2 ( t - т ) ^—e 2 ]dr 6 1, (8) o

|| N(V,a) - N (V.A) | _s

6 Я (t - т) ^—e ( l ₁ ^| V o

- V Us

S q₀

t

⁺ Il a ^- a IL || ^V 11^ ) ^{dT +} jL 2 ^(t - ^T ^^ H ^V - ^V Ilsq 0 /m ^dT o

/ cL¹   r-p 1 ^{— e} i

⁶ 1 - в 1 T ⁰

^{V    v |} C ([O ,T o ] ,L p 0 ) ^{+ || a    a |} C ([O ,T o ] ,L _M ) ^{| v |} C ([O ,T o ] ,S q 0 )

^cL2 ml— 8 2 11 2      111                            ¹ i1 2      1 11                               11 2      111

' |     ,' T ^{0      || v - v |} C ([O ,T o ] ,S p_o ) ⁶ 2 ^{|| v - v |} C ([O ,T o ] ,S q_o ) ⁺ c ^{1 || a - a |} C ([O ,T o ] ,L ^ ) •

Если v , a столь гладки, что выражение, заключенное в фигурной скобке в (7), принадлежит C ([O,T o ],S _{q o} ) ,то N (u, a) G C ([0, T o ],S _{q o} ) (см., например, [13, лемма 2.3]). Продолжая v G C ([0, T], S _qo ) , a G C ([0, T], L ^ ) нулем за боковую границу цилиндра Q и аппроксимируя эти продолжения гладкими по x средними по Соболеву в силу оценки (9) заключаем, что при v G V , N (u, a) G C ([0, T o ],S _{q o} ) . Теперь из оценок (8), (9) следует, что N (v,a) в шаре V является сжатием, а потому задача (1)–(3) имеет в этом шаре обобщенное решение.

Единственность обобщенного решения доказывается аналогично. Конкретнее, если V (t) , i = 1, 2, — два различных решения, то найдутся t 1 ,t ₂ G [0,T _O ) , t 1 < t ₂ , такие, что V(t 1 ) = V(t 1 ) = V 1 , V(t) = V(t) , t G (t 1 ,t 2 ) , k- V(t) - V 1 k s q_o 6 1 , t G [t 1 ,t 2 ] . Рассматривая теперь уравнение (7) с заменой V o на V 1 на участке t G [t 1 , t ₂ ] и повторяя проведенные рассуждения, найдем такое T 1 G (t 1 ,t 2 ] , что определенный правой частью этого уравнения оператор (см. N ) в шаре V 1 = {v : Hv^c ([ _t 1 ,T 1 ] ,s q_o ) 6 1 } является сжатием. Отсюда на основании принципа сжатых отображений приходим к противоречию с неединственностью решений. Предложение 1 полностью доказано. B

4 ° . В этом пункте сформулируем и докажем лемму 1 работы [1] (см. введение). Доказательство следует пути, указанному в [2], и базируется на результатах и методах работ [2, 3, 14].

Лемма 2. Для любых чисел ^ G (0,1] и q > 3 найдется число y = Y(q, ^) G (0,1), при котором сужение проектора П на пространство вектор-функций C ^ (^) является ограниченным оператором из C ^ (^) в Sq' ¹ .

Непосредственному доказательству леммы предпошлем определения моментной и аппроксимационной шкал, а также формулировку интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко ( см. [2, 3]) .

Пусть B o , B , B 1 — тройка банаховых пространств, причем имеют место непрерывные вложения B 1 С B o , B С B o , пусть Y o > 0 , 7 1 > 0 , Y o + Y 1 = 1 .

Пространство B аппроксимационно разделяет пространства B o и B 1 в отношении 7 o : 7 1 , если для каждого x G B существует вектор-функция x(A) , A G [1, го ) , удовлетворяющая условиям:

• a)    x(A) 6 B 1 ;

• б)    ||x - х(А) к во 6 cA '" к х к в ;

• в)    | х(А) | в 1 6 cA ^{Y 1} | х | в , где C — не зависящая от x постоянная.

Пространство B моментно разделяет Во и Bi в отношении Yo : Y1, если Bi С Во и для каждого x ∈ B1 выполняется оценка kxkB 6ckxkγB10kxkγB01

с независящей от x постоянной c .

Теорема (Интерполяционная теорема И. Б. Симоненко) . Пусть B o , В , B i , B' o , В', В '1 — банаховы пространства, причем B аппроксимационно разделяет B o и B 1 в отношении y , B ' моментно разделяет B ' и B 11 в отношении 7 ' , причем Y > Y ' • Пусть A 6 Hom(B o , B o ) и сужение А | в 1 6 Hom(B 1 , B 1 )• Тогда A|b 6 Hom(B, B ' ).

Обозначим через W q¹ , q >  3 , подпространство пространства W _q 1 (Q) трехмерных вектор-функций, определенных на Q , соленоидальных и имеющих на S равную нулю нормальную компоненту:

W q¹ = Пи 6 W q¹ (Q) : div u = 0, u n i s = 0O.

Предложение 2. Пространство W q¹ аппроксимационно разделяет пространства S q

◦ 2

и S _q .

◦ 2

C Отметим вначале, что имеют место вложения S _q ⊂ S q и W _q ¹ ⊂ S q . Первое из них очевидно, второе следует из [3, леммы 5.2]. Докажем теперь, что для тройки пространств

◦ ²

S _q , W _q ¹ , S _q выполнены, сформулированные в начале настоящего пункта, условия a)–в).

Пусть u 6 Wq1. Тогда в силу леммы 6.2 монографии [12] существует векторное поле vo на Q такое, что div vo = 0,   rot vo = u,   von|s = 0, и выполнена оценка kv0 kWq2 (Ω) 6 ckukWq1 (Ω) ,

где c не зависит от u .

Возьмем теперь произвольный кусок S1 поверхности S , ограниченный контуром l. По формуле Стокса j vo dl = jrotn vo ds = j un ds = 0,

l

S 1

S 1

где rot n v o — нормальная составляющая вектора rot v o . Отсюда следует, что на поверхности S существует функция ^(s) 6 C 1 (S) ( s — локальные координаты поверхности) такая, что

V s ^ = v o .

Обозначим через p(x) расстояние точки x 6 Q до S, а через Qh0, ho > 0, — погранслой шириной ho : Qh0 = {x 6 Q : p(x) < ho}. Число ho будем считать столь малым, что нормали к S в Qh0 не пересекаются. Пусть ^(т) — бесконечно дифференцируемая при т 6 [0, со) функция такая, что 0 6 ^(т) 6 1

и

^ ^(т ) = I

1,

0,

0 6 т 6 2 , т >  1.

В погранслое Qh0 введем криволинейные координаты (s,p), где s(x) = (s1,s2) — точка поверхности S, лежащая с x на одной нормали, p(x) — расстояние от x до s. Определим функцию

Ф(x) =

f ^ ^[s(x)M P ^(x)/h o ],

I о,

x € Q h o , x € ^Wo .

Легко (например, с помощью теоремы о неявной вектор-функции) показать, чт о в нашем случае функции s(x) и p(x) непрерывно дифференцируемы, поэтому Ф € C 1 (Q) .

Покажем теперь, что справедливы соотношения

V Ф(x o ) = V ^[s(x o )] = v o [s(x o )],

|Vф(x) - Vф(xo)| 6 c\x - xoHlvokc(Q), где x € Qh0, xo = (s(x), 0) € S и C — не зависящая от x и vo постоянная. Для доказательства этих соотношений, не умаляя общности, предположим, что начало O декартовой системы координат Ox1x2x3 принадлежит S, ось Ox3 направлена по внутренней нормали к S и точки x, xo находятся в малой окрестности O, причем s1(x) = x1, s2(x) = x2. Отсюда легко получается представление

^{V ф(x)} = (^ ^V s i +     ^V s 2^ ^ ^[ p ^(x)/ h o ^]

∂S 1       ∂S 2

+ y[s(x)]^ V p(x) = V ^ [ s ( x)

(x)/ho] + y[s(x)] ^d^dpx^)] e[s(x)].

Здесь

e[s(x)] =

/df[s(x)] df[s(x)] ∂s1   ^,∂s2

и мы, не умаляя общности, предполагаем, что поверхность S в малой окрестности O представлена уравнением x3 = f (xi,x2). Из (13) легко вытекают соотношения (11)-(12). Из (10), (12) и известной теоремы вложения С. Л. Соболева следует неравенство

||W(x) - W(xo)k 6 cp(x)kukwi, где x € Qh0, xo = (s(x), 0). Здесь и ниже c не зависит от x, u. Определим на Q векторное поле

v(x) = vo(x) — VФ(x).

Проведем «срезку» и «сглаживание» этого векторного поля, следуя рассуждениям В. И. Юдовича в лемме 5.2 [11].

Пусть функция nh(x) = 1 — ^[p(x)/h], x € Q.

Введем на Q векторные поля

uh = nhu + Vnh x v, u = rot v, uh,δ

= j K₅(x — y) uh(y) dy = j K₅(x — y) uh(y) dy

Ω

R³

= rot

/

R³

K(x — y) nh(y) v(y) dy,

x € Q,

где K_δ— усредняющее по Соболеву ядро радиуса δ < h. Здесь η_h, u и v (а значит и uh) считаются продолженными с Q на R3 непрерывным образом. Для обоснования последнего равенства в (15) заметим, что для v при гладких vo и Ф оно очевидно, так как в этом случае согласно (14) Uh = rot(nhv), для наших же v G C(fi) оно получается отсюда путем замыкания.

Обозначим для краткости u_h,h2 через u⁰_h. Легко видеть, что для u⁰_hвыполняются условия а) ив) (А = h^-1). Для обоснования соотношения б) воспользуемся неравенством

Hu - ^Uh^kLq⁶Hu - ^Uh^kLq^{+ k}uh - ^Uh^kLq '

В силу (10), (12) из [1] и теоремы вложения С. Л. Соболева имеет место оценка kv(x)k 6 cP(x)kukWi, x G fiho •                                (16)

Используя представление (14), неравенство kVnhk < c1h 1, где c1 не зависит от h, и оценку (16), получим:

Hu - uhkLq⁶||1 - nh^kLq llukC ^{+ k|V}nh^|vkLq (Qh) ⁶c^ 11^UHW_q1 '

Далее воспользуемся представлением

Uh - Uh = j Kh2 (x - y)[nh(y)u(y) - nh(x)u(x)\ dy

Ω

+ j Kh2 (x - y)Vnh(y) x v(y) dy - Vnh x v = wi + W2 + W3.

Ω

Легко получаем оценки:

IHle 6 C (Hukeh + Hukeyh2Y) , где 0 < y < 1 - |, kw2kLq 6 k∇ηh × vkLq(Ω2h) 6 ch1/q kukWq1,(20)

IW HLq = HW3 HLq (Qh) 6 ch1/1 HukWql •

Из соотношений (17)–(21) и теоремы вложения С. Л. Соболева следует оценка ku - u0hkLq 6 chβ kukWq1, где в = min(1/q, 2y), c — не зависящая от u постоянная.

Итак, свойство б), а с ним и предложение полностью доказаны. B о 2^

C Доказательство леммы 1. Как известно [11, 13], пространство S_qмоментно о 2^1

разделяет Sq и Sq , где 0 < 5 < 5i 6 1, в отношении ^- : (1 - ^-). Рассмотрим две тройки о 2 о 28 о 2

пространств S_q, W_q¹, J_qи S_q, S_q, S_q. Из предложения 2, первого предложения настоящего доказательства и интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко следует существование такого числа 52 G (0,1), что имеет место непрерывное вложение

о

Wq¹⊂ S

2δ2 q

о 2

Обозначим через C банахово пространство, полученное замыканием финитных в Ω о2

трехмерных вектор-функций по норме C2 . Как известно, при u ∈ C , справедливо представление u = Πu + ∇ϕ, Πu · n|S = 0,  div Πu = 0, где ϕ — решение задачи Неймана

4ш = div u, I = 0. ∂u S о 2 о 2^2

Отсюда с помощью известных априорных оценок следует, что Π ∈ Hom C , S_q. Поэтому в силу (22)

/ о ² о 2^2 \

Π∈Hom C ,S_q.                            (23)

Рассмотрим теперь еще две тройки пространств трехмерных вектор-функций: L_q, о ²          о 2^ о 2^2

Cµ , C и Sq, Sq , Sq , где 0 < δ < δ2 . Нетрудно показать, что Cµ аппроксимационно о2

разделяет Lq и C . Как отмечалось выше, Π ∈ Hom(Lq, Sq) (см. [11]). Отсюда, из (23) и интерполяционной теоремы И. Б. Симоненко следует существование такого δ0 = δ0(q, µ),

о 2^0

что П|см G Hom (C^, Sq ). B