О задаче Дирихле для нелокального полигармонического уравнения

Введение. Понятие нелокального оператора и связанные с ним понятия нелокального дифференциального уравнения и нелокальной краевой задачи появились в математике относительно недавно. Например, в [1] рассматриваются уравнения, содержащие дробные производные искомой функции, уравнения с отклоняющимися аргументами, другими словами, уравнения, в которые входят неизвестная функция и ее производные, вообще говоря, для разных значений аргументов называются нелокальными дифференциальными уравнениями.

Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных аналогов классических уравнений исследовались в работах [2–6]. Многочисленные приложения нелокальных уравнений и нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений к задачам физики, техники и других отраслей науки подробно описаны в [7, 8]. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго и четвертого порядка с инволюцией, как частные случаи нелокальных задач, рассматриваются в [9– 13].

Пусть Q = { x g R n :| x | < 1} - единичный шар в R n , n >  2 , а dQ = { x g R n :| x | = 1} - единичная сфера и S - действительная ортогональная матрица SS T = E , для которой существует натуральное число т g N такое, что S^m = E . Отметим, что если x gQ , или s g dQ , тогда для любого k g N справедливы следующие включения: S k x gQ , или S^ks g dQ . Это так, поскольку преобразование R n матрицей S сохраняет норму | x |² = ( S T Sx , x ) = ( Sx , Sx ) = | Sx |².

Рассмотрим нелокальный дифференциальный оператор

• т —1             /     \

Lu ( x ) = ^ a k ( -A ) l u ( S k x ) ,

• k = 0

где a ₀, a 1 ,..., a m - 1 - некоторые действительные числа и l gN . Исследуем в Q следующую задачу.

Задача Дирихле. Найти функцию и ( x ) g C ^{2 m} ( Q ) n C m 1 ( Q ), удовлетворяющую следующим условиям:

Lu ( x ) = f ( x ), x g Q ,

d ^ки ( x ) dv^k

= д к ( x ), к = 0,1,..., m - 1, dQ

где v - внешняя единичная нормаль к dQ .

Вспомогательные утверждения. Для исследования поставленной выше задачи нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть ц ₀, ц ₁₅..., ц _m - 1 - различные корни степени m из единицы, тогда справедливо равенство

M ^-1 =

(   0	1	m -1 A
A c	A o    •	••  A0
0	i	m— 1
A 1	A1     •	••   A 1
0	1	m - 1
V A m - 1	A m -1   '	• •   Am - 1 J

- 1

1 -T = —M^T.

m

Доказательство. Найдем e i j - элемент i -й строки и j -го столбца в произведении матрицы из левой части равенства и матрицы из правой части. Он равен

1 m -1             1 m -1               Гл ; _£ v

• ¹        к-к    ¹             \к I 0, i ^Т j е

ei, j =   ^ Ai Aj =   ^ (.HtHj )    ]     .   . = ^i, j, mk=0         mk=0           I1»  i = j поскольку AiAj - тоже корень степени m из единицы, не равный 1 при i ^ j и AiAi =| Ai |2 = 1.

Поэтому произведение этих матриц равно E . Это доказывает лемму.

Рассмотрим следующую матрицу, сформированную коэффициентами a ₀, a 1 ,..., a m - 1

A =

a ₀

a m - 1

a ₁

^a 0

a m - 1

a m - 2

,

a 1

a 2

^a 0 J

Лемма 2. Пусть ц - корень степени m из единицы и m-1

^_м ^{( A )} = L a k rf , к = 0

тогда для матрицы A справедливо равенство

a ₀

a m - 1

al a0

a m - 1

a m - 2

a0)

A

/

A ⁰ )

V a l

a ₂

^a 0 J

V ^A J

= ^ ц ^{( A )}

A

,

m - 1

V ^ц J

т. е. вектор ш _ц = ( ц ⁰, A,...,A m 1 ) ^T

–

собственный вектор матрицы A , а а_ц ( A) - собственное

значение, ему отвечающее. Если ц0,ц1,...,Am-1 - различные корни степени m из единицы, то собственные вектора ш^,...,шц линейно независимы и m-1

det A = П(amMk) = ^(А) • ’ ’^m-1(А), к=0

где a = ( a 0 , a 1 ,..., a m ₄) ^T .

Доказательство. Нетрудно видеть, что элемент i -й строки в произведении матрицы A и вектора mц равен i-1                m-1                 i-1                      m-1

A7 -m _A = У a m + k - ^ц + У a k - ^ц = ц¹ У a m + k - ^ц - i + ц‘ У a k - i ц ^- - i = k = 0                k = i               k = 0                     k = i

( m - 1            m - 1 - i

= ц У a k ц ⁺ y a k ц

V k '= m - i           k ‘= 0

, k ‘

m - 1

= ц ' У a k ^ц = С ц ⁽ A) ^ ^- k ‘= 0

Здесь в первой сумме из второй строчки была сделана замена индекса m + k - i = k^f и учтено, что Ц ^{- m} = Ц , а во второй сумме замена индекса k - i = k’ . Следовательно, A т _ц = С ц (A)m _ц .

Первое утверждение леммы доказано.

В силу леммы 1 матрица M = (т ^ ,.. .,т _{ц i} ) T обратима и, значит, неособенная, а поэтому ее ранк по строкам равен m , т. е. они линейно независимы. Далее, поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных чисел, то имеем det A = С ц ( A )- с ц- ₁ ( A) и поскольку

Сц (A) = У akЦ = am -, k=0

то m-1

det A = С (A)- "^m-1 (A) = П(amц ) • k=0

Поскольку ц ₀, ц 1,..., ц_{Т п} - 1 тоже различные корни степени m из единицы, то det A = с_ц ( A ) • • • С ц ( A ) • Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть матрица A построена на числах a0,a1,...,am-1, а матрица B на числах b0,b1,...,bm-1, тогда матрицы A и B коммутируют AB = BA и матрица AB имеет структуру матриц A и B . Если ц0,ц1,...,цm-1 - различные корни степени m из единицы и сц (A) ^ 0, k = 0,1,...,m-1, то

A 1

m

m - 1        i

У     ¹

V k = 0 ц - ^С ц_к ^{( A )}

\

V i , j = 0, m - 1

^ c0

cm-1

V c1c1

• • •    cm - 1

• • •   cm - 2

- ^c 0 V

где i m-1  ц с = -У  ц k  , j = 0,1,..., m -1

j mh Сц- (A)J и, значит, матрица C имеет структуру матрицы A • Доказательство леммы опустим.

Замечание 1. Поскольку

С- (A-1) =---1,

"k        Сц (A) , m-1                   m-1                m-1

то при ц = 1 верны равенства С1 (A) = У Qj и С1( A 1) = У ci , а значит У Qj У Ci= j=0                      i=0                  j=0

Единственность решения задачи

Лемма 4. [5, лемма 3.1] Оператор I S u ( x ) = u ( Sx ) и оператор Лапласа А коммутируют

n

A I_Su ( x ) = I S A u ( x ) на функциях u g C ²( Q ). Оператор Л = У x i u x ( x ) и оператор I_S также комму- i = 1

тируют A I S u ( x ) = I S A u ( x ) на функциях u g C 1 ( Q ) и верно равенство V I_S = I S S T V •

Следствие 1. Если функция u ( x ) - l -гармоническая в Q , то функция u ( Sx ) = I_Su ( x ) тоже l -гармоническая в Q •

Действительно, в силу леммы 4 A ^lu ( x ) = 0 ^ A l I S u ( x ) = I S A ^lu ( x ) = 0.

Отсюда следует, что если функция u ( x ) - полигармоническая в Q , то она удовлетворяет однородному уравнению (1) в Q .

Верно и обратное утверждение.

Лемма 5. Пусть функция u е C ^{2 l} ( Q ) удовлетворяет однородному уравнению (1) и а ^ ( A) ^ 0 при к = 0,1,..., m - 1 , где д ₀, ^ 1 ,..., ^ _m - 1 - различные корни степени m из единицы, тогда функция u ( x ) является l -гармонической в области Q .

Доказательство. Пусть функция u е C21 (Q) удовлетворяет однородному уравнению (1). Обозначим v (x) = У aku (Skx).                                     (6)

к = 0

Очевидно, что v(x) е C21 (О)  и (-A)l v(x) = 0, x е Q , т. е. функция  v(x)  является l - гармонической в области Q. В силу следствия 1 функции v(Skx) тоже l -гармонические в облас ти Q. С другой стороны из (6), в силу условия Sm = E, имеют место равенства v ( Sx ) = am—1u ( x ) + a0 u ( Sx ) +... + am - 2 u ( Sm-1 x )

v ( S ² x ) = a m - ₂ u ( x ) + a m - 1 u ( Sx ) + ... + a m _{- 3} u ( S m ¹ x )

v ( S m ¹ x ) = a 1 u ( x ) + a ₂ u ( Sx ) + ... + a ₀ u ( S m ¹ x )

Таким образом, для функций u ( x ), u ( Sx ),..., u ( S m ^-1 x ) получаем систему алгебраических уравнений (6), (7) с матрицей A из (3)

Л    v ( x )  л		[ a 0	a 1      ..	..    a m - 1	л   u ( x )
v ( Sx )	=	a m - 1	a 0    •	..    am - 2	u ( Sx )
( v ( S m - 1 x ) J		< a 1	a 2   •	••    a 0   J	( u ( S m -1 x ) J

По условию леммы, в силу леммы 2, определитель этой системы не обращается в нуль. Воспользуемся леммой 3. Первая строка матрицы A ^-1 имеет вид с = ( с ₀, с 1 ,..., c m - 1 ) ^Т , где с j при j = 0,1,..., m - 1 находятся из (5) и значит

u ( x ) = У c j v ( S^jx ) = c ₀ v ( x ) + c , v ( Sx ) +... + c m _ 1 v ( S m ^-1 x ).                    (8)

j = 0

Как отмечалось выше, функции v ( S j x ) при j = 0,1,..., m - 1 - l -гармонические функции в Q , а значит, функция u ( x ) из (8) также является l -гармонической в области Q . Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть ц ₀, ц 1,..., ^ _m - 1 - различные корни степени m из единицы, выполнены условия а ^ ( A ) ^ 0, к = 0,..., m - 1 и решение задачи Дирихле (1), (2) существует, тогда оно единственно.

Доказательство. Докажем, что однородная задача (1), (2) имеет только нулевое решение, а значит, решение неоднородной задачи (1), (2) единственно. Пусть u ( x ) – решение однородной задачи (1), (2). Если а ^ ( A ) ^ 0 (4), при к = 0,..., m - 1, то по лемме 5 функция u ( x ) является l -гармонической в области Ω и удовлетворяет однородным условиям (2). Следовательно, функция u ( x ) – решение следующей задачи Дирихле ^k

A ^mu ( x ) = 0, x eQ ; ^ u ^ x )    = 0, к = 0,1,... m - 1.

^д ^ ^к dQ

В силу единственности решения задачи Дирихле имеем u ( x ) = 0 в Q . Теорема доказана.

Существование решения задачи Дирихле. В этом разделе исследуем существование решения задачи Дирихле (1), (2).

Теорема 2. Пусть ц0, Ц^..., ^m —1  — различные корни степени m  из единицы и аРк (A) = T ai^k * 0, f (х)е СЛ(^)’ gj(x) g Cm+Л-j(dQ), j = 0,1,...,m —1. Тогда решение задачи i=0

Дирихле (1), (2) существует, единственно и представляется в виде m—1

u ⁽ x ) = T C q v ^{( S} q x ) ,                                     (9)

q = 0

где коэффициенты c_q определяются из (5), а v ( x ) - решение следующей задачи Дирихле

( —A ) l v ( x ) = f ( x ), x gQ ;

d j v ( x )

∂ ν ^j

∂Ω

= T a k g j ( S k x ) = h j ( x ), j = 0,1, k = 0

, m — 1, x g5Q .

Доказательство. Пусть u(x) - решение задачи Дирихле (1), (2). Обозначим v (x) = mT1 aku (Skx).

k = 0

Тогда для функции v(x), в силу леммы 4, получаем задачу (10): (-A)l v(x) = f (x) и d jv (x) ∂νj

∂Ω

m—1   d ju кm—

= T ak —j (S x) IdQ = T akgj (S x) = hj (x).

k=0   dV

Если g j ( x ) g C^{l + z — j} ( dQ ), j = 0,1,..., m — 1, то h j ( x ) = £ a k g j ( S^kx ) g c ^{+ z — j} ( dQ ). Известно (см., k = 0

m — 1

например, [14]), что для заданных функций f ( x ) и h j ( x ) = T a k g j ( S k x ) решение задачи (10) k = 0

существует и единственно. Как и в случае теоремы 1 между функциями v ( x ) и u ( x ) получаем алгебраическое соотношение вида AU = V , где

TT

U = ( u ( x ), u ( Sx ),..., u ( S m ^—1 x ) ) , V = ( v ( x ), v ( Sx ),..., v ( S m ^—1 x ) ) .

m — 1

Если a ^ ( A ) = T a i ^ k * 0, то в силу утверждения теоремы 1 неизвестная функция u ( x ) од- i = 0

нозначно определяется через функцию v ( x ) по формуле (9).

Пусть наоборот - функция v ( x ) является решением задачи (10). Покажем, что функция u ( x ), определяемая по формуле (9), удовлетворяет всем условиям задачи (1), (2).

Действительно, если   f ( x ) g C² ( Q ), g j ( x ) g C^{l + 2 — j} ( dQ ), j = 0,1,..., m — 1, то будем иметь

v(x) g C21 (Q) n Cl+2(Q). Отсюда получим u(x) g C21 (Q) n Cl+2(Q) . Поэтому, согласно лемме 2, имеем в Ω равенство m—1                    m—1                    m—1

(—A) lu (x) = T Cq (—A) lv (Sqx) = T CqIsq (—A) lv (x) = T CqIsqf (x) = T cqf (Sqx).

q=0                    q=0                     q=0

Будем считать индексы коэффициентов cq по модулю m . Тогда, если считать c—1 = cm—1, то, поскольку Sm = E, получаем m—1

Is (—A) mu (x) = (—A) mu (Sx) = T cqf (Sq+1 x) = T cqf (Sq+1 x) + cm—1 f (x) = q=0

m—1

= c — 1 f ( x ) + T c q — 1 f ( S^qx ) = T c q — 1 f ( S q x ) .

q=1

Аналогично если считать c—2 = cm—2, то найдем m—1

(—A)mu(S2x) = X Cq—1 f (S4+1 x) = X Cq— f (S'^ x) + Cm-2 f (x) = q=0

m—1

= C—2 f ( X) + X Cq—2 f ( Sq x) = X Cq—2 f ( S q X )• q=1

Продолжая этот процесс, считая с—p = cm—p , получим m—1

(—A) mu ( Spx) = X Cq—pf ( S q X) , q=0

где p = 0,...,m — 1. Учитывая полученные равенства, запишем m—1                     m—1 m—1                m—1

X ap (—A)lu(Spx) = X ap X Cq—pf (Sqx) = X f (Sqx) X apcq—p p=0                    p=0 q=0                q=0

Вспоминая значения cp из (5) и a^ (A) из (4) вычислим m—1             i m—1   m—1  77 q—p

X a- „ =¹ X a _PX —--

^X pq ^— p   m ^X p ^X а- _{Ц к} ( A )

= Im— _S_^„ ^,. =      a * A) = m^X =,к m--

Учитывая, что V k 3 s е { 0,..., m — 1 }

_       - (2 л i^Cq- ) s

^q = e m , будем иметь m—1

X ^a p ^c q — p p = 0

1, 0,

q = 0 mod( m ) иначе,

и значит уравнение (1) удовлетворяется

X a p ( —A ) ^mu ( S p x ) = f ( x ) .

p = 0

Проверим граничные условия задачи (2). При x е 5Q имеем m—1

hk (x) = X ajgk (Sjx )’k = 0,1,-, m — 1, j=0

откуда, считая индексы коэффициентов aj по модулю m (a—1 = am—1), запишем hk (Sx) = X ajgk (S+1 x) = X ajgk (S+1 x) + am—1 gk (x) = j=0

m—1

= a —1 gk (x) + X aj—1 gk (Sjx) = X aj—1 gk (Sx) j=1

и аналогично по индукции будем иметь m—1

hk (Spx) = IShk (Sp—1 x) = X aj—p+1 gk (Sj+1 x) = X aj—p+1 gk (Sj+1 x) + am—pgk (x) = a—pgk (x) + j=0

m — 1                   m — 1

⁺ X a j — p g k ⁽ S^x ) = X a j — p g k ⁽ Sx ).

j = 1                     j = 0

Поэтому в силу леммы 4 d k u ( x )    -m ,1 n k   = X dv    en   p = 0

й kA,(—1                m—1   m—1 c p   _(k     = X c p h k ( S p x ) = X c p X a j — p g k ( Sx ) = d v    dn   p = 0               p = 0    j = 0 m — 1            m — 1 = X g k ( S x ) Xj a j — p c p . j = 0           p = 0

Учитывая равенство (11) и соглашение aq+m = aq, cq-m = cq, найдем m-1

E a j - p с p p = 0

Тогда

j

E a j - p с p p = 0

m - 1

+     a j - p+m сp - m p=j+1

j             m-1

= V ae- n + V ae  = V anc-„ z—i q j- q    z—i  q j- q   z^ q q=0           q=j+1

Д J =0

I ^{0, j} * q

k^TyX      ^{m -1          m -1}

^  = E gk (Sx) E aj-pCp = gk (x),k = 0,1»-»m -1, d^   5q  j=0        p=0

и значит, граничные условия (2) для функции u(x) выполнены. Теорема доказана.

Далее, обозначим через G ( x , у ) функцию Грина задачи Дирихле (10). Отметим, что явный вид функции Грина G ( x , у ) для шара построен различными способами в работах [14-16]. Например, в работе [14] показано, что функция G ( x , у ) имеет вид

g ^{( x} , у )

G (x, у ) = Km,n | x - у |2m-n   J (t2 -1)m-1t1-"dt , где

( A 1

g ^{( x} , у ) = 1—

y|x|   |x| ’ K

m , n         /              \2 .

to n ( (2 m - 2)! ) ²

Теорема 3. Пусть   ]^,Д 1,..., ^ m - 1

–

различные корни степени m из единицы и

m - 1

^ p_k ^{( A)} = E a i H k * 0, f ( x ) e C² ( Q ) и g j ( x ) = 0, j = 0,1,..., m - 1. Тогда решение задачи (1), (2) i = 0

m - 1

представляется в виде u(x) = J GS (x, у)f (у)dy, где GS (x, у) = E eq G(Sqx, У), а коэффициенты cq q=0

Q при q = 1,...,l находятся из (5).

Доказательство. Как известно, решение задачи Дирихле (10) в случае g j ( x ) = 0, j = 0,1,..., m - 1 представляется в виде v ( x ) = J G ( x , у ) f ( у ) dy . Поэтому

Q

v ( S q x ) = J G ( S^qx , у ) f ( у ) dy , q = 0,1,..., m - 1.

Q

Далее, на основании теоремы 2, подставляя это значение v ( S q x ) в равенство (9) для решения u ( x ) задачи (1), (2) получим искомое представление. Теорема доказана.

Исследование выполнено при поддержке грантового финансирования Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан в рамках научного проекта № АР08855810 и финансовой поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011.