О задаче Коши для уравнения свободной поверхности фильтрующейся жидкости на многообразии

Уравнение

(A — A)«t = «Ди — ^Д2и                         (1)

описывает эволюцию формы свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пласте ограниченной мощности [1]. Здесь действительные параметры а, 3 и А характеризуют среду, причем а, 3 > 0.

Разрешимость начально-краевых задач для уравнения (1) в цилиндре Q х R₊, где Q -ограниченная область с границей 9Q класса С°°, изучалась ранее в различных постановках, например, в [2, 3]. Уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости относится к обширному классу уравнений Соболевского типа

Ьй = Ми.                                (2)

В данной статье рассмотрим задачу Коши для уравнения (1) в пространстве гладких к- форм, определенных на Q - гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края. Редуцируем эту задачу к задаче Коши

н(0) = д0,                                        (3)

для уравнения Соболевского типа (2) в банаховом пространстве. Для этого воспользуемся теорией гармонических полей Кодаиры и разложением Ходжа [4]. Для исследования разрешимости полученной задачи используем результаты теории вырожденных аналитических полугрупп операторов. Отметим, что в [5] был рассмотрен более узкий класс уравнений Соболевского типа, имеющих аналитические разрешающие группы, на многообразиях.

Статья помимо вводной части содержит еще два пункта. В первом пункте вводятся необходимые определения и формулируются, адаптированные для нашей задачи, теоремы теории вырожденных аналитических полугрупп и теории Ходжа - Кодаиры доказанные в [3, 4, 6, 7]. Во втором пункте приведена схема редукции исходной задачи Коши к задаче (2), (3) и сформулирован основной результат статьи.

Предварительные сведения

Пусть U и У банаховы пространства и операторы L Е C^U^-,^ - линейный и ограниченный, М G Cli^F^ - линейный, замкнутый и плотно определенный. Введем в рассмотрение ^-резольвентное множество

/(М) = ^ц е С : (pL - МГ1 G £(М;^)} и Z-спектр oL^M^ = С \ pL(M) оператора М. Оператор-функцию (pL — М)-1 будем называть Z-резольвентой оператора, а оператор-функции ^(М) = (pL — М)^1 L и L^M^ = L(pL — М)-1 правой и левой Z-резольвентой оператора М соответственно.

Определение 1. Оператор М называется (Ь,р)-секториальным, если существуют константы v Е К и 9 Е (тг/2, тг) такие, что

S^eW = {р е С : \агд(р - у)| <9,р^и} С рЬ(М), причем,

ЭК > 0 : max{||^(M)||    , ||^(М)||   } <             е S^(M), к = 0,1,...,р.

fc=O

Решением уравнения (2) называется вектор-функция и Е C^R-i.; £(£/)) удовлетворяющая уравнению (2).

Обозначим через М¹ замыкание множества imR^ _р^М) в норме пространства U.

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда для любого начального значения uq Е И¹ существует единственное решение задачи Коши (2), (3).

Пусть П_п - n-мерное ориентированное гладкое (т. е. класса С⁰⁰) компактное связное риманово многообразие без края. Через H^fc = М^Пп), И^-1 = Hⁿ⁺¹ = {0} обозначим линейное пространство гладких fc-форм на многообразии О_п.

Формулой

(а,^)о = УаЛ^, а,^Н^к                    (4)

где * - оператор Ходжа, определим скалярное произведение на rf, к = 0,1,..., п, а соответствующую норму обозначим через || • ||о- Продолжим скалярное произведение на прямую сумму ф H^fc, требуя чтобы различные пространства Н^ были ортогональны. к=о

Пополнение пространства JHIfc по норме || • ||о обозначим через 5)^.

Вестник ЮУрГУ, №27(127), 2008

Д.Е. Шафранов

Теорема 2. (Теорема Ходока - Кодаиры). Для произвольного к = 0,1,... ,п существует расщепление пространства S)^ в прямую ортогональную сумму fik=^kd®S)k8®S)kZx причем пространство $5 к А конечномерно.

Здесь операторы d, б являются расширением оператора d - (внешнего) дифференцирования fc-форм и оператора б = (—l)"^*¹)*¹ * d*, а А = — 6d — d6 - оператор Лапласа - Бельтрами. Пространство S)_kd (Л^) является пополнением линеала d5[H^fc] = dp^¹] (Jdp^fc] = <$p^fc+1]) по соответствующей норме, а пространство ^^д содержит только гармонические А:-формы.

Через Р_кд обозначим ортопроектор на Sikzv Формулами

(а,/3)1 = (—Да,/3)0 + (ад, £д)о,

(а, РЪ = (Аа, А/3)_о + (а, ^Д, введем скалярные произведения на H^fc, где щд = Рк/\Ш. Пополнения линеала Н^ по соответствующим нормам П-НхиЦ-Цг обозначим через ^^ и 5)^ соответственно. Аналогичным образом можем построить пространство 5з^. Пространства S^_k, I = 1,2, - банаховы (их гильбертова структура нас в дальнейшем не интересует), причем имеют место непрерывные и плотные вложения $)_к С $)_к С $)_к.

Следствие 1. Для любого к = 0,1,...,п существуют расщепления пространств fi^l_k = Зад Ф ^д, где З^д = (I - ДьдЖд], / = 1,2.

Основные результаты

Спектр оператора Лапласа - Бельтрами <т(А) в пространстве Аг-форм описанном выше неположителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке оо (см. [7]). Обозначим через {А/} последовательность собственных значений оператора Лапласа -Бельтрами, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности. Через {у?/} обозначим ортонормированную (в смысле (4)) последовательность собственных функций. Если А/ = О , то при некотором фиксированном I выполняется pi Е $)k^ ■

Зададим операторы L и М формулами L = А — А, М = а Ди — /ЗА²и, dom М = Sj_k. Оператор L Е £(П;Р^, а оператор М Е С1(Ы',Р) действуют из пространства U = S)_k в пространство Р = S^. Тем самым задача Коши

и(ж, 0) = uq(®)                                     (5)

для уравнения (1) редуцирована к задаче Коши (3) для уравнения Соболевского типа (2).

Лемма 1. Для любого А Е R \ {0} , А ^ ^ оператор М Д, ОУсекториален.

Для данной задачи И¹ = {u Е U : (и, ^)о = 0, А; = А}.

Из леммы 1 и теоремы 1 следует

Теорема 3. При любых а,Р>0, А Е R \ {0}, А ^ ^ и при любом uq Е U¹ существует единственное решение и Е C'⁰⁰(R₊; £(Ы^гУ П C^R-i; Др¹)) задачи Коши (1),(5).