О задаче по восстановлению коэффициентов-функций времени источников специального вида в параболическом уравнении
Автор: Рагимов Анар Бейбала
Статья в выпуске: 4 т.9, 2020 года.
Бесплатный доступ
Исследуется обратная задача по идентификации коэффициентов, зависящих только от времени, при источнике специального вида в линейных параболических уравнениях с точечными условиями переопределения. К исследуемым обратным задачам, в частности, приводятся краевые задачи с нелокальными (интегральными) краевыми условиями. Специфика рассматриваемой в данной работе обратной задачи заключается в том, что восстанавливаемые коэффициенты находятся при свободном члене и они зависят только от временной переменной. Предлагается методика численного решения задачи с применением метода прямых, основанная на использовании специального вида представления решения. Методом прямых задача приводится к параметрически обратной задаче относительно обыкновенной системы дифференциальных уравнений. Для ее решения предложено представление этого решения в специальном виде. Построены вспомогательные краевые задачи, которые определяют решение исходной задачи. Наиболее существенным в данной работе является то, что предлагаемый подход к численному решению исследуемой обратной задачи по идентификации коэффициентов не требует (в отличие от ранее известных методов) построения каких-либо итерационных процедур. Приводятся результаты численных экспериментов виде таблиц и графиков, полученных при решении тестовой задачи, и их анализ.
Обратная задача, нелокальные условия, метод прямых, параболическое уравнение, параметрическая идентификация
Короткий адрес: https://sciup.org/147234281
IDR: 147234281 | УДК: 519.633 | DOI: 10.14529/cmse200403
On the problem of restoring time coefficient-functions of special type source in parabolic equation
An inverse problem of identifying coefficients depend only on time for a special form source in a linear parabolic equation with point overdetermined conditions. In particular, boundary value problems with nonlocal (integral) boundary conditions are reduced to such problems. The specificity of the problems is that the identifiable parameters depend only on a time variable and are factors of the coefficients of the right-hand side of the equation. A method for numerically solving the problem using the method of lines is proposed, based on using a special type representation of solution. By applying the method of lines, the problem is reduced to a parametric inverse problem with respect to an ordinary differential equations system. For its solution, a special type of representation of this solution is proposed. To solve this problem, auxiliary boundary value problems are constructed that determine a solution to the initial problem. The most important in this work is that the proposed approach to the numerical solution to the investigated inverse problem of identifying the coefficients does not require (in contrast to previously known methods) to construct any iterative procedure. The results of numerical experiments in the form of tables and graphs obtained by solving the test problems, and their analysis are provided.
Список литературы О задаче по восстановлению коэффициентов-функций времени источников специального вида в параболическом уравнении
- Айда-заде К. Р., Рагимов А. Б. Решение классов коэффициентно-обратных задач и задач с нелокальными условиями для параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 1. С. 84-94. БОТ: 10.1134/80012266115010085.
- Белавин В.А., Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 38, № 6. С. 885-902.
- Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.
- Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294304.
- Кожанов А.И. Обратные задачи восстановления правой части специального вида в параболическом уравнении // Математические заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 31-45.
- Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 305 с.
- Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа. I // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1791-1799.
- Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 11. С. 15401547.
- Пулькина Л.С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами // Труды третьей всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2006. C. 190-192.
- Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 1221-1228.
- Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 10601069.
- Соловьев В.В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 536-544.
- Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2005. 256 с.
- Ahmadabadi M. Nili, Arab M., Maalek Ghaini F.M. The method of fundamental solutions for the inverse space-dependent heat source problem // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2009. Vol. 33. P. 1231-1235. DOI: 10.1016/j.enganabound.2009.05.001.
- Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for parabolic equations // Inverse Problems in Science and Engineering. 2014. Vol. 22, no. 1. P. 96-111. DOI: 10.1080/17415977.2013.827184.
- Bouziani A., Benouar N.-E. Probleme mixte avec conditions integrales pour une classe d'equations paraboliques // Comptes Rendus de l'Academiedes Sciences. Paris, Serie 1. 1995. Vol. 321. P. 1177-1182.
- Farcas A., Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable // Journal of Engineering Mathematics. 2006. Vol. 54. P. 375388. DOI: 10.1007/s10665-005-9023-0.
- Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1D heat conduction equation from temperature measurement at a final time // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 2069-2080. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2011.12.009.
- Hasanov A. An inverse source problem with single Dirichlet type measured output data for a linear parabolic equation // Applied Mathematics Letters. 2011. Vol. 24. P. 1269-1273. DOI: 10.1016/j.aml.2011.02.023.
- Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering. 2011. Vol. 19, no. 7. P. 895-1006. DOI: 10.1080/17415977.2011.565931.
- Ismailov M.I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions // Applied Mathematics and Computation. 2011. Vol. 218. P. 4138-4146. DOI: 10.1016/j.amc.2011.09.044.
- Ivanchov M.I. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type. VNTL Publications, Lviv, Ukraine, 2003. 238 p.
- Johansson T., Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source // IMA Journal of Applied Mathematics. 2007. Vol. 72, no. 6. P. 748-760. DOI: 10.1093/imamat/hxm024.
- Rothe E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensionaler Randwertaufgaben // Mathematische Annalen. 1930. Vol. 102, no. 1. P. 650-670.
- Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. M. Dekker, New York, 2000. 709 p.
- Yan L., Fu C.L., Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. P. 216222. DOI: 10.1016/j.enganabound.2007.08.002.
