О задаче теории теплопроводности с одной теплоизолированной границей
Автор: Каркусты Н.Н.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
В статье рассмаривается изотропная однородная область, на части границы которой задается теплообмен со средой. Задача приводится к сингнулярно-интегральным уравнениям типа Винера - Хопфа, решение которых осуществляется методом факторизации.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317991
IDR: 14317991
Текст научной статьи О задаче теории теплопроводности с одной теплоизолированной границей
В статье рассмаривается изотропная однородная область, на части границы которой задается теплообмен со средой. Задача приводится к сингулярно-интегральным уравнениям типа Винера — Хопфа, решение которых осуществляется методом факторизации.
Пусть задана бесконечная тонкая пластинка конечной ширины Ь. Обозначим ее верхнюю границу через L, нижнюю через Д. Часть верхней границы при ж < О обозначим через L_, а при х > 0 — через L+.
Предположим, что на границе задана непрерывная функция, обращающаяся в нуль на бесконечности, и на ней задана производная от искомой функции. Пусть противоположная граница теплоизолирована и в начальный момент времени искомая функция равна нулю.
Математически эту задачу можно поставить следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности Фурье удовлетворяющее следующим условиям
/(ж,Й = J^t = е t=o
эт
—— = 0 ( — оо < х < ос).
9У у=о
Применяя стандартное преобразование Фурье к уравнениям теплопроводности, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, получим
Э2ТД, у, ш) Эу2
— п2ТД, у, ш) = О,
где и2 = a2+ ^,а = С, + гу, а = о + гт (у > 0, т > 0).
В последнем уравнении Т (а, у, ш) = Т_ (а, у, ш) + ТДа, у, ш). Здесь
Т_ (а, у, ш)
0 оо
/ /ть^^.
— оо 0
оо оо
ТДа, у, ш)
Пт^'"*8^
о о
Будем обозначать
ОО О ОО ОО
ML ,= J_ f [ ЭТ^у^ _ 9Т+.= М[ ^^ШpiaxpiШt
Эу ' 2тт J J Эу ’ Эу ' 2л J Эу
О —оо О О
Запишем уравнения в виде
Т_ (а, у, ш) + Т+ (а, у, ш) = А^е vy + B(v)epy, (1)
где А и В — произвольные функции, зависящие от г/.
Используем преобразование Лапласа или Фурье для граничных условий f Тогда будем иметь О оо M^qjw^t.- оо оо g(a,w) = 11 \ ■ e'^A^'dxdt = о о * —ша Подставляя (2) в решение (1), получим ^^^^^^^™ + T+(z/,6) = Ae"vy + BeuyT'_(i7,b) ^^^^^^^™ — = vA^e"vy + yB(y)evy. ша Учитывая, что пластинка теплоизолирована, можно записать 0 = TL (щ 0) + Т^ (/д 0) = -vA + vB, откуда А = В. Следовательно, из формулы (3) —---- + T+(v,b) = А • (е^6 + е-^)Т_(щЬ) - — = и А • (е^6 - e"vby (4) шц1+ш) ша Далее, посредством некоторых простых преобразований, получим функциональное уравнение типа Винера — Хопфа 1 ги(Ц-га) + Т+(щ6) TL^,^ e"vb + e"vb v(,evb - e"vb В этом функциональном уравнении искомыми функциями являются T^^v, b) и Т_ (г/, 6). Функция Т+(г/, 6) регулярна и не имеет нулей в правой полуплоскости, а функция TL^iv, 6) регулярна и не имеет нулей в левой полуплоскости. О задаче теории теплопроводности 4-19 Перепишем уравнение (5) в более удобном виде, который характерен для уравнений типа Винера — Хопфа: АТ+A BTL А С = О (61) или ТДу, b) -Т'_Д b)------- - 1 1 cth( vb^ /.v — aw wa v здесь A = 1, В = cth( vb^v^ С = l/(?w — aw) — l/(wa) cth( vb^v. В уравнении (61) С регулярна в заданной полосе. Как известно, основная трудность при решении функционального уравнения типа Винера — Хопфа заключается в факторизации функции и в разбиении регулярной функции на две — соответственно для левой и правой полуполос. е^ь e-vb evb + e-vb Обозначим КМ = К+М Ь\К_ М Ь) = ——г----г-. Разложим ——г----г- с v(Mb - e-vb^ p(Mb — e-vb^ помощью гамма-функции х Г(! _ ivb\ Гц + М) bv cth( ivb^ =--т----Ат--;----Ат—, 2 7Г / 2 "T" 7Г ' откуда мы можем записать 1 Г(1-^) 1 Г(1 + ^) К ММ = ^=А-ДУКДиМ = ^А—^ v^rd-—) v^rd + —) Учитывая формулы, функциональное уравнение (6), можно переписать в виде ДДГтМ 1 ivb ^^^^^^^™ •— Т/ 1 ivb ^ t 2 7Г J---1------2L_ ДМ а + —) X 2 7Г ' * Функциональное уравнение (7) перепишем таким образом, чтобы неизвестные функции были регулярными соответственно в левой и правой полуполосах /ттт/1 i-^b TV1 \ -т+д,ь^ Ъ г(1 + ^) v х 2 тг 7 ,~ т/ 1 ivb гш(1 + га) Г(1 — ivb ^^^^^^^™ ьГ(1 + ^) V^r(i + ^) Т'ДпД^ = лдду Левая часть уравнения (8) регулярна в левой полуполосе, а правая часть регулярна в правой полуполосе, выражение J^n,^ регулярно во всей полосе. По теореме Лиувилля, если функция аналитична (регулярна и гомоморфна) во все плоскости и ограниченна, то она постоянна 1 , пЬ Т+ = — cth— , wa v „ и cthnb т- = —;-----г- zw(l + га) Таким образом, неизвестные функции Т+ и Tf определяются по формулам (9). Непосредственной проверкой можно показать, что Т+ и TL удовлетворяют условиям (4): гш(1 + ш) wa v = 2А chz/б , гш(1+ш) ша (Ю) Выражения (10) являются тождествами. Поэтому для определения функции А можно использовать одно из них: А=- 2 [гш(1 + га) chz/6 vwa shz/6 Подставляя найденное значение А в решение и учитывая, что А = В, получим решение поставленной задачи в преобразованном виде: Т(а, у, ш) = Т_ (а, у, ш) + Т+(а, у, ш) = 1 1 chz/y . гш(1 + га) chz/6 vw shz/6 Далее запишем обратное преобразование Фурье: Т(ж,у,1) ОО ОО Iff chz/y e-l(Me-Mt = — / -—д--——:——ЭаЭш — 2л J J гш(1 + га) chz/o ОО ОО — оо 0 chz/y е е 4 ------ — ---uauw, vwa snvb что дает решение поставленной задачи.
Список литературы О задаче теории теплопроводности с одной теплоизолированной границей
- Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.-М.: ИЛ, 1962.-279 с.
- Мусхелишвили Н. Н. Сингнулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-511 с.
- Каркузашвили Н. Н. Задача о неустановленном температурном поле в неограниченной пластинке со смешанными граничными условиями//Некоторые вопросы прикладной математики.-Киев: Наук. Думка, 1971.-Вып. 1.-C. 52-57.
- Коваленко А. Д. Основы термоупругости.-Киев: Наукова Думка, 1970.-307 с.