О задаче теории теплопроводности с одной теплоизолированной границей

В статье рассмаривается изотропная однородная область, на части границы которой задается теплообмен со средой. Задача приводится к сингулярно-интегральным уравнениям типа Винера — Хопфа, решение которых осуществляется методом факторизации.

Пусть задана бесконечная тонкая пластинка конечной ширины Ь. Обозначим ее верхнюю границу через L, нижнюю через Д. Часть верхней границы при ж < О обозначим через L_, а при х > 0 — через L₊.

Предположим, что на границе задана непрерывная функция, обращающаяся в нуль на бесконечности, и на ней задана производная от искомой функции. Пусть противоположная граница теплоизолирована и в начальный момент времени искомая функция равна нулю.

Математически эту задачу можно поставить следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности Фурье удовлетворяющее следующим условиям

/(ж,Й = J^t = е t=o

эт

——    = 0 ( — оо < х <  ос).

⁹У _у=о

Применяя стандартное преобразование Фурье к уравнениям теплопроводности, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, получим

Э²ТД, у, ш) Эу²

— п²ТД, у, ш) = О,

где и² = a²+ ^,а = С, + гу, а = о + гт (у > 0, т > 0).

В последнем уравнении Т (а, у, ш) = Т_ (а, у, ш) + ТДа, у, ш). Здесь

Т_ (а, у, ш)

0 оо

/ /ть^^.

— оо 0

оо оо

ТДа, у, ш)

Пт^'"*8^

о о

Будем обозначать

ОО О                                                      ОО ОО

ML ,₌ J_ f [ ЭТ^у^ _       9Т+.₌ М[ ^^Ш_piax_pi_Шt

Эу ' 2тт J J Эу                 ’ Эу ' 2л J Эу

О —оо                                              О О

Запишем уравнения в виде

Т_ (а, у, ш) + Т₊ (а, у, ш) = А^е ^vy + B(v)e^py,                  (1)

где А и В — произвольные функции, зависящие от г/.

Используем преобразование Лапласа или Фурье для граничных условий f

Тогда будем иметь

О оо

M^qjw^t.-

оо оо

g(a,w) = 11 \ ■ e'^A^'dxdt = о о

*

—ша

Подставляя (2) в решение (1), получим

^^^^^^^™

+ T₊(z/,6) = Ae"^vy + Be^uyT'_(i7,b)

^^^^^^^™

— = vA^e"vy + yB(y)evy. ша

Учитывая, что пластинка теплоизолирована, можно записать

0 = TL (щ 0) + Т^ (/д 0) = -vA + vB, откуда А = В. Следовательно, из формулы (3)

—---- + T₊(v,b) = А • (е^⁶ + е-^)Т_(щЬ) - — = и А • (е^⁶ - e"^vby (4)

шц1+ш)                        ша

Далее, посредством некоторых простых преобразований, получим функциональное уравнение типа Винера — Хопфа

1 ги(Ц-га)

+ Т+(щ6)

TL^,^

e"vb + e"vb

v(,evb - e"vb

В этом функциональном уравнении искомыми функциями являются T^^v, b) и Т_ (г/, 6).

Функция Т₊(г/, 6) регулярна и не имеет нулей в правой полуплоскости, а функция TL^iv, 6) регулярна и не имеет нулей в левой полуплоскости.

О задаче теории теплопроводности

4-19

Перепишем уравнение (5) в более удобном виде, который характерен для уравнений типа Винера — Хопфа:

АТ₊A BTL А С = О                        (6¹)

или

ТДу, b) -Т'_Д b)------- -

1         1 cth( vb^

/.v — aw wa v

здесь A = 1, В = cth( vb^v^ С = l/(?w — aw) — l/(wa) cth( vb^v.

В уравнении (6¹) С регулярна в заданной полосе. Как известно, основная трудность при решении функционального уравнения типа Винера — Хопфа заключается в факторизации функции и в разбиении регулярной функции на две — соответственно для левой и правой полуполос.

_е^ь e^-vb                 e^vb + e^-vb

Обозначим КМ = К₊М Ь\К_ М Ь) = ——г----г-. Разложим ——г----г- с

v(Mb - e-vb^             p(Mb — e-vb^

помощью гамма-функции х Г(! _ ivb\ Гц + М)

bv cth( ivb^ =--т----Ат--;----Ат—,

2        7Г /      2 "T"   7Г '

откуда мы можем записать

1 Г(1-^)          1 Г(1 + ^)

К ММ = ^=А-ДУКДиМ = ^А—^ v^rd-—) v^rd + —)

Учитывая формулы, функциональное уравнение (6), можно переписать в виде

ДДГтМ 1 ivb

^^^^^^^™

•—    Т/ 1    ivb

^ t 2 7Г

J---1------2L_

ДМ а + —) X 2 7Г '

*

Функциональное уравнение (7) перепишем таким образом, чтобы неизвестные функции были регулярными соответственно в левой и правой полуполосах

/ттт/1    i-^b

TV1       \

-т+д,ь^

Ъ г(1 + ^) ^v              х 2 тг ⁷

^,~ т/ 1 ivb

гш(1 + га) Г(1 —

ivb

^^^^^^^™

ьГ(1 + ^) V^r(i + ^)

Т'ДпД^ = лдду

Левая часть уравнения (8) регулярна в левой полуполосе, а правая часть регулярна в правой полуполосе, выражение J^n,^ регулярно во всей полосе. По теореме Лиувилля, если функция аналитична (регулярна и гомоморфна) во все плоскости и ограниченна, то она постоянна

1     , пЬ

Т₊ = — cth— , wa v

„ и cthnb ^т- = —;-----г-

zw(l + га)

Таким образом, неизвестные функции Т₊ и Tf определяются по формулам (9).

Непосредственной проверкой можно показать, что Т₊ и TL удовлетворяют условиям (4):

гш(1 + ш) wa v

= 2А chz/б ,

гш(1+ш) ша

(Ю)

Выражения (10) являются тождествами. Поэтому для определения функции А можно использовать одно из них:

А=-

2 [гш(1 + га) chz/6

vwa shz/6

Подставляя найденное значение А в решение и учитывая, что А = В, получим решение поставленной задачи в преобразованном виде:

Т(а, у, ш) = Т_ (а, у, ш) + Т₊(а, у, ш) =

1                     1

chz/y .

гш(1 + га) chz/6 vw shz/6

Далее запишем обратное преобразование Фурье:

Т(ж,у,1)

ОО ОО

Iff chz/y _e-^l(M_e-^Mt

= —   / -—д--——:——ЭаЭш —

2л J J гш(1 + га) chz/o

ОО ОО

— оо 0

chz/y е е 4

------ — ---uauw, vwa snvb

что дает решение поставленной задачи.