О замкнутых подмножествах в h-однородных пространствах первой категории

В заметке описывается некоторый класс нульмерных метрических пространств, которые можно вложить в качестве замкнутого нигде не плотного подмножества в «-однородное пространство первой категории.

Все пространства, рассматриваемые в статье, предполагаются нульмерными метрическими.

В классической дескриптивной теории множеств большое внимание уделяется борелевским, аналитическим и проективным множествам. В частности, для изучения некоторых свойств универсальных множеств оказались полезными топологические методы исследования. С одной стороны, универсальные множества часто обладают некоторой однородной структурой, а с другой стороны, универсальность пространства X понимается с точки зрения возможности вложения в X пространств, принадлежащих некоторому классу множеств. Поэтому представляет интерес описание класса пространств, которые можно вложить замкнутым образом в «-однородное пространство.

Определения и обозначения. Основные определения и обозначения - стандартные [1].

Нульмерное метрическое пространство называется и-однородным, если в нем любое непустое открыто-замкнутое подмножество содержит замкнутое подмножество, которое гомеоморфно всему пространству. Запись X ~ Y означает, что пространства X и Y - гомеоморфные. wQO) - вес пространства X. Чертой сверху F обозначается замыкание множества F в пространстве X. Для индексированной системы множеств т= {(/_а: аеА} из пространства X через |т| обозначается мощность семейства г, Ur = U{ ОД: аеА}, mesh(r) - мелкость семейства т (верхняя грань диаметров множеств из т). Используем обозначение: щ= {0, 1, 2, ...}.

Для пространства X положим F(X) = {У- пространство: Y гомеоморфно некоторому непустому замкнутому множеству из X} . Пусть LF(X) = {У - пространство: любая точка из У лежит в некоторой открыто-замкнутой окрестности, принадлежащей семейству F(X)}. Далее, введем класс пространств csLFQC) = {У: пространство У представимо в виде У = и{У„: не®}, причем каждое множество У„ замкнуто в У и У„ е LF(X)}. Если dimX= 0, то из теоремы о счетной сумме [1, с. 293] вытекает, что ШтУ= 0 для любого пространства YeaLF(X). Через Н^Х) обозначим семейство всех замкнутых нигде не плотных множеств из X. Пусть Н(Х) = {У: У* Z, где ZeOoW) ■

Лемма 1. Пусть пространство У е oLFiX) для некоторого «-однородного пространства X первой категории, причем и'(Т) = к и w(T) <  к. Тогда пространство У представимо в виде конечной или счетной суммы замкнутых множеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому замкнутому нигде не плотному (в X) множеству из X.

Доказательство. По определению У = и{У„: песо}, где каждое множество Y_n замкнуто в У и

У„ eLF(X). Тогда dimE, = 0 для любого п е со.

Зафиксируем индекс п. Для каждой точки yeY_n выберем такую открыто-замкнутую окрестность U(y), что U(y)eF(X). В покрытие ДДДу. yeY_n} множества У„ впишем дискретное подпокрытие { U_tt: аеА} мощности |Л| <  к.

Выберем дискретное покрытие }Ху. а&к} пространства X мощности к. В силу и-однородности пространства X для каждого аеА существует такое замкнутое множество ZaoVa, что Ua * Za; положим Z„ = U{Za: аеА}. Тогда множество Z„ замкнуто в X и Z„ * Yy пусть fn'. Zn-VYn - некоторый гомеоморфизм. Так как X - пространство первой категории, то X =U}Xm: теса}, где каждоеХт нигде не плотно вХ, причем без ограничения общности можно считать, что каждое Хт замкнуто в X. Тогда при любых пит множество ZnPXm замкнуто и нигде не плотно в X (в частности, ZnrXm может оказаться пустым множеством). Множества Yn,m =fn{ZnrXm) замкну- ты в У„, значит, и в пространстве У. Но У„ = и{У„,т: те®}, следовательно, У = и{У„„: песо, те со}.

Счетное семейство множеств {У„,_т: песо, теса} - искомое. Лемма 1 доказана.

Опишем построение изоморфных систем остаточных множеств; похожая конструкция применялась автором в [2].

Пусть даны два нульмерных метрических пространства X, с метрикой d_A, i = 1,2; без ограничения общности можно считать, что диаметр множества X, в метрике d, меньше 1. Пусть F\ - замкнутое множество в X_b В_А - граница множества F_b тогда ВуНДу В дальнейшем мы будем предполагать, что множество В; не пусто, или, эквивалентно, что множество F; не является открыто-замкнутым в Х\. Пусть F₂- замкнутое нигде не плотное множество в Ху, и пусть дан гомеоморфизм / F_x-^Fy тогда множество В_г =ДВ_х)еЩХ₂). При выполнении этих предположений можно построить [2] последовательность покрытий т^ = {Р/а/ аеЛ„} множества Bi и последовательность покрытий т-2,, ={Р2,а/ «еА„} множества В₂, которые удовлетворяет следующим условиям для любых ие®и/=1,2:

• si)    семейство г, „ дискретно в X, и состоит из открыто-замкнутых множеств пространства X,;

• s2)    mesh(r, „) <  X" в метрике dy,

• s3)    покрытие т_1ПТ\ измельчает покрытие т_;,„;

• s4)    В, U (X, \ F^ с U т_1>0;

• s5)    Ux,„ - открыто-замкнутая окрестность множества В, и П{ит,_1И : песо} = В,;

• зб)    множество U_iw,=¥_lwl\ (F, U(Ut_;„+i)) не пусто для любого aeAy в частности, U_wPFi =0;

• s7)    U{F,_A„: аеА_п, песо} = X_l\F_l;

• s8)    mesh({ U_wy. aeA_n, neco})< Xⁿ в метрике dy

• s9)    ДУ_АапГ\В_х ) = V_2wp\B₂ для любого aeA„.

Семейство множеств {В, ПП,,_ал: аеА_т песо} образует обычную базу пространства В„ i = 1,2. Семейство {т_|П: песо} будем называть внешней базой множества F„ а семейство 21_г = }U_IW;. аеА„, песо} - системой остаточных множеств для множества F, в пространстве X, , i = 1, 2. Определим биекцию цл 21, —> 21₂ между системами остаточных множеств по правилу ДфДаД = U_2a,_n для любых аеА_п, песо. В этом случае будем говорить, что системы 21, и 21₂ остаточных множеств в пространствах Х_х и Х_г соответственно связаны биекцией у/ и согласованы с гомеоморфизмом /: F^F^ Сами системы 21, и 21₂ будем называть изоморфными.

Отметим важное свойство изоморфных систем остаточных множеств [2].

Лемма 2. Пусть в пространстве Х_х дана последовательность остаточных множеств }U,e 21,: ieco}. Выберем произвольно точки x^U, и точки у,е (XT/,), ieco. Пусть точка хеВ; и у = Дх)еВ₂. Тогда последовательность точек }х,; ieco} сходится к точке х в пространстве Х_А тогда и только тогда, когда последовательность точек {у,: ieco} сходится к точке)/ в пространствеХ₂.

Лемма 3. Пусть пространство У = ¥_XUY₂, причем множество У, замкнуто в У и ¥уП(Х) для некоторого м-однородного пространствах, i = 1, 2. Тогда УеНУХу

Доказательство. Зафиксируем гомеоморфизмы f : У,—»Хтакие, что/(У,) - замкнутые непере-секающиеся нигде не плотные множества в X, i = 1, 2. Положим F, = У,; тогда границей множества Д будет множество В_х = У]АУ₂ \У, . Так как / - гомеоморфизм, то множество F₂ = /i(F,) е ЖХ).

Если множество В_х пустое, то множество У₂\У, - замкнутое и искомое вложение/: ¥->Х определяется по правилу Ду) =Д(У), если у е У,, и Ду) =ДЖ, еслиуеУ₂\Уь

Рассмотрим случай В\ ^ 0. Используем обозначения из определения изоморфных систем остаточных множеств. В пространстве ¥ построим систему остаточных множеств 21, для множества F,, а в пространстве X- систему остаточных множеств 21₂ для множества F₂ = ДЖУ Тогда U 21,= У₂\ Уь Пусть ц/: 21, -> 21₂ - соответствующая биекция между системами остаточных множеств, согласованная с гомеоморфизмом/; F_A-^F₂.

Медведев С. В.

Так как пространство X- w-однородное, то для любых индексов a&A_n, не® существует такое гомеоморфное вложение ф^у. X-^Ui.a.n, что множество Z_a„ = ф_аДХ) замкнуто в С/_2-а>„ (а, значит, и в X). Можно считать, что множества Z,_in и/(У) не пересекаются, ведь множество /(У) нигде не плотно в X. Каждое U_ta-n замкнуто в У₂, поэтому множество W^ = <р_а>„ °fz(U\^_n) замкнуто в X и гомеоморфно множеству ХД^ как композиция двух гомеоморфизмов. При фиксированном п семейство {F_2a„: «еАД дискретно в пространстве X поэтому множество W_n = U{IK_a„: аеАД замкнуто вХ гомеоморфно множеству U„ = U{F_]a„: аеАД и не пересекается с образом /(У).

Определим отображение /: У^Х следующим образом: если уе У_ь то /у) =/(у); еслиуеУ₂\У, то у е U\_ia.,_n для некоторых индексов а&А_п, не®, тогда положим Ду) = р_а,„ °Д(у).

Из построения следует, что образ/У) ⁼/1(У)и(и{^„: пего}). Несложно проверить, что отображение / У->ДУ) является биекцией. Сужение отображения /на замкнутое множество У является гомеоморфизмом по построению. Сужение/на замкнутое множество U_n также является гомеоморфизмом для любого и. Так как U_n^rAL = 0 при п ^ т, то отображение/непрерывно в точках множества U{Z7„: пе®}. Замыкание У₂\У^ = SiU(U{t/„: не®)). Непрерывность отображения / в точках из множества В\ вытекает из леммы 2. Итак, сужения / на замкнутые множества У_х и У₂ \У, непрерывны, поэтому отображение/У->Х- непрерывно. Аналогично проверяется непрерывность обратного отображения Д^Л:ДУ)-^У . Следовательно,/У—>Х- гомеоморфное вложение.

Для любых индексов аеА_п, нею множество U-^^W^ является открытым как разность открытого и замкнутого множеств, поэтому множество Х\ДУ) = и{б7_2а„\ W_on\ аеА„, пет) - открытое, следовательно, образ ДУ) - замкнутое множество в X Для любых индексов аеА„, не® множество W_a,_n является нигде не плотным подмножеством С/а.», семейство ^ХДа/. а&А„, пе®} состоит из открытых не пересекающихся множеств, поэтому множество U)^: пе®}~ ДУХУ\) нигде не плотно в X По построению множество Д)У\) = ДУ\) нигде не плотно в X следовательно, множество//) =ДУ\) ОДУ^У\) нигде не плотно вХкак объединение двух нигде не плотных множеств. Лемма 3 доказана.

Теорема. Пусть дано w-однородное пространство X первой категории, вес w)X) = к. Пусть пространство УесЫ-ХХ) и вес w^Y) < к. Тогда пространство У гомеоморфно некоторому замкнутому нигде не плотному подмножеству из пространства X

Доказательство. По лемме 1 множество У = и{У„: пе®}, где каждое У_п замкнуто в У и У„ ~ Z„ для некоторого 2,ХЩ). Если множество индексов {п: У„ ^0} конечное, то теорема вытекает из леммы 3, примененной последовательно конечное число раз.

Далее предполагаем, что У„ * 0 для любого пе®. Так как dimZ = 0, то можно [1, с. 357] дополнительно считать, что У_п ПУ_т = 0 при п* т. Так как X- пространство первой категории, то X = U{X„: пе ®}, где каждое Х_п не пустое замкнутое нигде не плотное множество в X

Построим вложение /: У->Х по индукции.

База индукции. Положим F_x = У_о и F₂°= Z_o. С учетом того, что F^ еЩХ) и что пространство X- w-однородное, можно считать, что F^ СХ₀ = 0. Зафиксируем гомеоморфизм Д: F_x -^ F₂.

Если множество F^ открыто-замкнуто в У, то пусть семейство 21° состоит из одного открыто-замкнутого множества Y\F_X . В пространстве X выберем открыто-замкнутое множество V, содержащее нигде не плотное множество X₀U F₂° так, чтобы множество V = XW было непустым. В этом случае семейство 21° состоит из одного множества У .

Далее рассмотрим случай, когда F° не является открыто-замкнутым множеством.

Так как F^ ОХ) = 0, то найдутся два таких непересекающихся открыто-замкнутых множества V и V , что AqC V и F® а. V. Пусть21° = { U_{Xa п}: ае Л®, нею} - система остаточных множеств для множества^⁰ в пространстве У, а 21° = {^.«.Х ^a6^°, net»} - система остаточных множеств для множества F^ в пространстве У, и у/₀: 21° -> 21° - биекция между ними, согласованная с гомеоморфизмом /₀: F_x° -> F^ . При этом в обоих случаях U 21° = У \ F° и X₀A(U 21° ) = 0.

Индуктивный переход. Допустим, что построены замкнутые множества F™ в пространстве У и замкнутые нигде не плотные множества F^ в пространстве X и гомеоморфизмы^,: F™ ->Iv, для которых выполняются следующие условия.

И) Утс Fxm- v2)U^=Y\Fxm;

тД (U 21^ )П Х_т = 0; 1Ж₂ = (U 21™ )U F^'

v4) F”"^xc.F" и U 21™ c: U 2l™⁴ , для / = 1,2;

v5) отображение /_т: F™ -> I™ совпадает с отображением f_mv.F™'' —> F^^A на множестве Д™¹;

v6) ц/щ. 21™ -> 21™ - биекция между объединениями соответствующих систем остаточных множеств, согласованная с гомеоморфизмом/„: F™ ->F™ .

Сделаем следующий шаг (переход от т к т+1).

Зафиксируем остаточное множество Ue^. Пусть j = min{/: У, П(/ *0}. По индуктивному предположению 0{У: i и F” QU = 0, поэтому j > т. Пусть F_X-U = У, П(/. Возможны два случая: граница В_хи множества F_xu является пустым или непустым множеством. Если B_X-U =0, то будем считать, что семейство 21] у состоит из одного открыто-замкнутого множества U\F_X:U. В множестве ip_m(U) выберем открыто-замкнутое множество V, содержащее нигде не плотное множество Х_ти/_m(F_x,u) так, чтобы множество V = ip_m(U) W было бы непустым. В качестве семейства 21₂ у возьмем множество V .

Далее рассмотрим случай, когда граница В_х>и * 0- Так как Х_т - нигде не плотное множество, то остаточное множество ip_m(U) можно разбить на два непустых открыто-замкнутых подмножества V и V так, чтобы ^„((Д П.¥,„ с V ; тогда V ГХ_т = 0. В силу ^-однородности пространствах множество V содержит замкнутую копию пространства X, следовательно, в У существует множество Fy/ еН₀(Х), гомеоморфное F_XiU; пусть /_(/: F^u-^F^u - соответствующий гомеоморфизм. Пусть 21] у - система остаточных множеств для F\,u в пространстве U, а 21₂ у - система остаточных множеств для F^u в пространстве V, и ^_г/: 2Ц у -» 21₂ у - биекция между ними, согласованная с гомеоморфизмом /у. При этом U 21 [ у = U\F_x>u.

Пусть семейство 21^⁺¹ ={ 21, у : Ue 21™ }, где / = 1,2, является объединением всех систем остаточных множеств, полученных при переходе от т к /и+1; отметим, что само 2l™⁺¹ не будет системой остаточных множеств. Биекция y/_m+l:2l™⁺¹ —> 21™^+I задается естественным образом: если остаточное множество We 21, у для некоторого Ue 21™, то ip_m+x(W) = ip_u (W).

Определим множества F^ =7^^m U(U{F,,y: Ue 21™ }), где i = 1, 2. Тогда K_m+icF™^+!; значит, свойство vJ) выполняется. Свойство v2) выполняется: U2l™^+I = UjtAFyy: Ue 21™} = Y\F^^X , так

Медведев С.В. О замкнутых подмножествах в и-однородных пространствах  первой категории как по индуктивному предположению U{[/: Ue 2lf} = U2lf = У\рД. Вторая часть свойства v3) доказывается с помощью леммы 2, а первая часть свойства v3) и свойство v4) проверяются непосредственно. Построим отображение /т+х; РД+Х -> рД*х следующим образом. Если точка ye РД, то /„,+] 0)=/,(у); а еслиуе^ у для некоторого Ue а”, то/т+1 (у) =МуУ Поэтому свойство v5) выполняется. По построению отображение jm_x является взаимно однозначным. Сужение /т+х на замкнутое множество Р'Д непрерывно по индуктивному предположению, сужение /т+х на каждое замкнутое множество Рх,и непрерывно по построению, а сужение /т+1 на замыкание множещ-варД+х\рД в точках из РД будет непрерывным по лемме 2, следовательно, отображение/т+| является непрерывным. Непрерывность обратного отображения ДтД устанавливается аналогично.

Итак^+ь Z^^¹ -> РД^+Х - гомеоморфизм. Индуктивный переход завершен.

Пусть Р_г = U{ РД: тесо). Из условия v/) следует, что У= U{ РД : те®). Определим отображение /: ¥—>Х по формуле: Ду) = ДХу), если точка уе РД для некоторого т. В силу свойства v5) это определение является корректным. Ясно, чтоД У) = Р₂. Так как Г]”⁴ с РД и сужение/на каждое замкнутое множество РД является гомеоморфизмом, то/- тоже гомеоморфизм.

Проверим замкнутость множества F2.

Допустим, что нашлась точка хе Р₂\Р₂« пусть j - min{z: хеХ,) . Из свойств v3) и v4) следует, что x^U2l” при т > j, в то же время F₂ с U2I2 ^и^ ⁼ 021^^’ значит, хеР₂а F₂. Получили противоречие с тем, х£р₂. Итак, множество Р₂ замкнуто.

Возьмем произвольное открытое множество W, пересекающее множество Р₂. Выберем номер т = min{z: W П Р₂ ^0}. Возможны два случая.

Первый случай: множество Wr\B_2>u ^0 для некоторого Ue 21” (напомним, что В_2и - образ границы множества F\yj при гомеоморфизме Д] ). Тогда из свойств $5) и 58) вытекает, что множество WnB₂,u содержит некоторое остаточное множество V из семейства 21”⁺¹, а в нем содержится непустое множество V, которое не пересекается с Р₂. Поэтому, согласно одной из характеристик нигде не плотных множеств, множество Р₂ будет нигде не плотным в X.

Второй случай: множество ^ПУ₂,и -0 для всех Ue 21”. Тогда D = /70 РД имеет открытозамкнутую окрестность О», которая не пересекается с замкнутым множеством Uf^^: Ue 21”}. В силу выбора номера т можно считать, что О/₂П(О{ Р₂ : z <  т)) = 0. По построению множество рД нигде не плотное, поэтому внутри множества O_D найдется непустое множество V, которое не пересекается с РД, а, следовательно, и У П Р₂ = 0. Итак, и в этом случае множество Р₂ оказывается нигде не плотным в X.

Теорема доказана.