Об алгебре, порожденной вольтерровскими интегральными операторами с однородными ядрами
Автор: Авсянкин Олег Геннадиевич, Каменских Галина Александровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В пространствах Лебега рассматриваются вольтерровские многомерные интегральные операторы с непрерывными коэффициентами. При этом предполагается, что ядро интегрального оператора однородно степени (-n), инвариантно относительно группы вращений SO(n) и удовлетворяет некоторому условию суммируемости, которое обеспечивает ограниченность оператора. Основным объектом исследования в работе является банахова алгебра A, порожденная всеми операторами указанного выше типа и тождественным оператором. Алгебра A некоммутативна, и для ее исследования авторы переходят к фактор-алгебре A/T, где T - совокупность всех компактных операторов. Показано, что алгебра A/T является коммутативной, что позволяет применить к ней общие методы исследования коммутативных банаховых алгебр. В частности, дано описание пространства максимальных идеалов алгебры A/T и найден критерий обратимости элементов из этой алгебры. На основе этого для банаховой алгебры A построено символическое исчисление, то есть каждому оператору из этой алгебры поставлена в соответствие некоторая непрерывная функция, названная символом оператора. В терминах символа получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора из алгебры A, а также формула для вычисления индекса.
Интегральный оператор, однородное ядро, символ, нетеровость, индекс, банахова алгебра
Короткий адрес: https://sciup.org/143179162
IDR: 143179162 | УДК: 517.9 | DOI: 10.46698/p3569-9057-4562-o
On the algebra generated by Volterra integral operators with homogeneous kernels and continuous coefficients
We consider Volterra multidimensional integral operators with continuous coefficients in Lebesgue spaces. It is assumed that the kernel of the integral operator is homogeneous of degree (-n), invariant under the rotation group SO(n) and satisfies a certain summability condition that ensures the boundedness of the operator. In this paper, the main object of research is the Banach algebra A generated by all operators of the above type and the identity operator. The algebra A is noncommutative, and for its study we turn to the quotient algebra A/T, where T is the set of all compact operators. It is shown that the algebra A/T is commutative, which makes it possible to apply the general methods for studying commutative Banach algebras. In particular, a description of the maximal ideals space of the algebra A/T is given and a criterion for the invertibility of elements from this algebra is found. Based on this, we construct a symbolic calculus for the Banach algebra A that is, each operator from this algebra is assigned a certain continuous function. This function is called the symbol of the operator. In terms of the symbol, we obtained necessary and sufficient conditions for the Fredholm property of an operator from A, as well as an index formula.
Список литературы Об алгебре, порожденной вольтерровскими интегральными операторами с однородными ядрами
- Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001. 427 p.
- Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени -n ядрами // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199-1216.
- Авсянкин О. Г. О C∗-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727-728.
- Авсянкин О. Г. Об интегральных операторах типа Вольтерра с однородными ядрами в весовых Lp-пространствах // Изв. вузов. Математика. 2017. № 11. С. 3-12.
- Авсянкин О. Г. Об обратимости многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Мат. заметки. 2020. Т. 108, вып. 2. С. 291-295.
- Авсянкин О. Г. Об интегральных операторах с однородными ядрами и тригонометрическими коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2021. № 4. С. 3-10.
- Умархаджиев С. М. Односторонние интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега // Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 3. С. 70-82.
- Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Труды АН Тадж. ССР, 1963. 183 с.
- Авсянкин О. Г. Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами: Дисс.... д.ф.-м.н. Ростов н/Д: Южный федеральный университет, 2009. 277 с.
- Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. 315 с.
