Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского
Автор: Костин Андрей Викторович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.25, 2023 года.
Бесплатный доступ
Согласно теореме Птолемея, у четырехугольника, вписанного в окружность на евклидовой плоскости, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. Эта теорема имеет различные обобщения. На плоскости в одном из обобщений вместо четырехугольника рассматривается вписанный шестиугольник. Соответствующее утверждение, связывающее длины сторон и больших диагоналей вписанного шестиугольника, называют теоремой Птолемея для шестиугольника или теоремой Фурмана. Теорема Кейси является другим обобщением теоремы Птолемея. В ней вместо четырех точек, лежащих на некоторой фиксированной окружности, рассматриваются четыре окружности, касающиеся этой окружности, а вместо длин сторон и диагоналей - длины отрезков касательных к окружностям. Если кривизна плоскости Лобачевского равна минус единице, то в аналогах теорем Птолемея, Фурмана и Кейси для вписанных в окружность многоугольников или окружностей, касающихся одной окружности, длины соответствующих отрезков, деленные на два, будут стоять под знаками гиперболических синусов. В данной работе доказываются теоремы, обобщающие на плоскости Лобачевского и теорему Кейси, и теорему Фурмана. На плоскости Лобачевского рассматриваются шесть окружностей, касающихся некоторой линии постоянной кривизны, и для длин отрезков касательных доказываются утверждения, обобщающие эти теоремы. Если в дополнение к длинам отрезков геодезических касательных рассматривать длины дуг касательных орициклов, то между евклидовыми и гиперболическими соотношениями можно установить соответствие. Наиболее наглядно это можно продемонстрировать, если взять набор орициклов, касающихся одной линии постоянной кривизны на плоскости Лобачевского. В этом случае если длина отрезка геодезической касательной к орициклам равна t, то длина "орициклической" касательной к ним равна sht2. Значит, если геодезические касательные связаны "гиперболическим" соотношением, то "орициклические" касательные будут связаны соответствующим "евклидовым" соотношением.
Теорема птолемея, теорема кези, теорема фурмана, плоскость лобачевского, орицикл, эквидистанта
Короткий адрес: https://sciup.org/143180940
IDR: 143180940 | УДК: 514.13 | DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n
On analogues of the Fuhrmann’s theorem on the Lobachevsky plane
According to Ptolemy's theorem, for a quadrilateral inscribed in a circle on the Euclidean plane, the product of the lengths of the diagonals is equal to the sum of the products of the lengths of opposite sides. This theorem has various generalizations. On the plane in one of the generalizations an inscribed hexagon is considered instead of a quadrilateral. The corresponding statement relating the lengths of the sides and long diagonals of an inscribed hexagon is called Ptolemy's theorem for a hexagon or Fuhrmann's theorem. The Casey's theorem is another generalization of Ptolemy's theorem. In it, instead of four points lying on some fixed circle, four circles tangent to this circle are considered, whilst the lengths of the sides and diagonals are replaced by the lengths of the segments tangent to the circles are considered. If the curvature of Lobachevsky plane is equal to minus one, then in the analogues of the theorems of Ptolemy, Fuhrmann and Casey for polygons inscribed in a circle or circles tangent to one circles, the lengths of the corresponding segments, divided by two, will be under the signs of hyperbolic sines. In this paper, we prove theorems generalizing on the Lobachevsky plane Casey's theorem and Fuhrmann's theorem. On the Lobachevsky plane, six circles are considered that are tangent to some line of constant curvature, and for lengths tangent segments assertions generalizing these theorems are proved. If, in addition to the lengths of the segments of the geodesic tangents, we consider the lengths of the arcs of the tangent horocycles, then a correspondence can be established between the Euclidean and hyperbolic relations. This can be most clearly demonstrated if we take a set of horocycles tangent to one line of constant curvature on the Lobachevsky plane. In this case, if the length of the segment of the geodesic tangent to the horocycles is t, then the length of the "horocyclic" tangent to them is equal to sinht2. Hence, if the geodesic tangents are connected by a "hyperbolic" relation, then the "horocyclic" the tangents will be connected by the corresponding "Euclidean" relation.
Список литературы Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского
- Kubota T. On the extended Ptolemy's theorem in hyperbolic geometry // Science Reports of the Tohoku University. Ser. 1: Physics, Chemistry, Astronomy. 1912. Vol. 2. P. 131--156.
- Широков П. А. Этюды по геометрии Лобачевского // Изв. физ.-мат. об-ва при КГУ. Сер. 2. 1924. Т. 24, № 1. С. 26-32.
- Casey J. A seqyel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples, 5th. ed. Dublin: Hodges Figgis and Co., 1888.
- Abrosimov N. V., Mikaiylova L. A. Casey's theorem in hyperbolic geometry // Сиб. электр. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 354--360. DOI: 10.17377/semi.2015.12.029.
- Костин А. В., Костина Н. Н. Интерпретации теоремы Кези и ее гиперболического аналога // Сиб. электр. матем. изв. 2016. Т. 13. С. 242-251. DOI: 10.17377/semi.2016.13.017.
- Костин А. В. Об обобщениях теоремы Птолемея на плоскости Лобачевского // Сиб. электр. матем. изв. 2022. Т. 19, № 2. С. 404-414. DOI: 10.33048/semi.2022.19.035.
- Abrosimov N. V., Aseev V. V. Generalizations of Casey’s Theorem For Higher Dimensions // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39. P. 1-12. DOI: 10.1134/S199508021801002X.
- Maehara H., Martini H. Bipartite sets of spheres and Casey-type theorems // Results Math. 2019. Vol. 74, Article no. 47. DOI: 10.1007/s00025-019-0973-3.
- Астапов Н. С., Астапов И. С. Многообразие обобщений теоремы Птолемея // Дальневост. матем. журн. 2019. Т. 19, № 2. С. 129-137.
- Несторович Н. М. Геометрические построения в плоскости Лобачевского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. 304 с.
- Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.
- Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии // Математика, ее преподавание, приложения и история. Матем. просв. Сер. 2. 1961. Т. 6. С. 60--106.
- Микенберг М. А. Геометрия Лагерра и ее аналог: Дисс. канд. ф.-м. наук. Казань, 1994. 159 с.
- Скопец З. А., Яглом И. М. Преобразования Лагерра плоскости Лобачевского и дробно-линейные преобразования двойного переменного // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии. М.: Изд.-во МГПИ, 1965. С. 366-374.
- Костин А. В. Задача о тени и поверхности постоянной кривизны // Сиб. электр. матем. изв. 2023. Т. 20, №. 1. С. 150-164. DOI: 10.33048/semi.2023.20.014.
