Об аналоге поверхностей Дарбу в многомерных евклидовых пространствах

Пусть Е ”⁺¹ — (п + 1)-мерное (п > 2) евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (ж ¹ , ж ² ,..., ж ”⁺¹ ), <,> — скалярное произведение в Е ”⁺¹ .

Пусть F” — п-мерная связная поверхность в Е”+1, заданная в окрестности каждой своей точки ж G F” уравнениями ж“ = ф(")(м1,..., м”), (м1,...,м”) G U, а = 1,п + 1,

где U — некоторая область параметрического пространства (м1,...,м”), ф(а) G С3(U). Векторное параметрическое уравнение F” С Е”+1 имеет вид т = ©м1,..., м”) = {ф(1)(м1,..., м”),..., ф(”(м1,..., м”), ф(”+1)(м1,..., м”)}.

Обозначим

_     дт(м¹,..., м ” )      _       д ² т(м 1 ,..., м ” )

^г            дм^г       ,    "^         дм^гдмз

Пусть п = п(м1,..., м”) — единичный вектор нормали kF ” в окрестности точки ж, gtj =< f,fj >, bij =< f,f > — коэффициенты первой и второй квадратичных форм гиперповерхности Fп С Еп+1 соответственно. Обозначим через Г^ и Vi соответственно символы Кристоффеля и операцию ковариантного дифференцирования, вычисленные относительно тензора gij.

Пусть к 1 (х), ..., к _п (х) — главные кривизны F ^п в точке х G F ^п . Обозначим через К гауссову кривизну гиперповерхности F ^п С Е ^{п +1} , тогда К (х) = к 1 (х)к ₂ (х) ... к _п (х) V x G F ^п .

Пусть на F ^п выполняется условие: К (х) = 0 Vx G F ^п . Определим на F ^п С Е ^{п +1} симметрический ковариантный тензор третьей валентности 0 ( _п ) формулой:

0ijm _ „ .    bi3 VmK + b3mVi К + bmi V 3К i, j, m = 1, n.

• (n)     ^V                 (n + 2)К

Замечание. В работе [3] на n-мерных поверхностях F ⁿ (n > 2) в евклидовом пространстве Е ^{п + р} (р > 1) введен другой аналог тензора Дарбу. Обобщенный тензор Дарбу (см.: [3, с. 108, (3)]) — это ковариантный тензор шестой валентности 0 _ijk,_lmt , симметричный по группам индексов (i,j,k) и (l,m, t), тождественное обращение в ноль которого характеризует обобщенные поверхности Дарбу. В [3] дается классификация двумерных обобщенных поверхностей Дарбу F ² в евклидовом пространстве Е ^{2+ р} при произвольном р.

Обозначим через Р ( _п ) множество гиперповерхностей F ⁿ (n > 2) с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Е ^{п +1} , на которых выполняется тождество

Замечание. На двумерных поверхностях F ² с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Е ³ тензор Дарбу 0 — симметрический ковариантный тензор третьей валентности, определяется формулой

ijm

= ^V m ^b ij ^—

b ij V m K + b ₃m V i K + b mi V ₃ K 4К

i,j, m = 1,2.

Условие 0 = 0 является характеристическим признаком поверхностей Дарбу в Е ³ — двумерных поверхностей второго порядка, не развертывающихся на плоскость.

Тензор 0 ( _п ) , определенный в случае n = 2 формулой (1) на двумерных поверхностях F ² ненулевой гауссовой кривизны К = 0 в Е ³ , совпадает с тензором Дарбу: 0 (₂) = 0. Таким образом, множество D (₂) исчерпывается поверхностями Дарбу в Е ³ .

Определение 1. Вторая квадратичная форма b гиперповерхности F ^п в евклидовом пространстве Е ^{п +1} называется циклически рекуррентной , если на Fⁿ существует 1-форма р такая, что выполняются соотношения:

V m b ij = P m b ij + P i b jm + P j b mi , i,j,m = 1,n,

где Ц г = p _i (u ¹ ,..., и ^п ) — коэффициенты 1-формы р = п =л= \. P _i duⁱ в окрестности точки х.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если гиперповерхность F ^п с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Е ^{п +1} имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму, то F ^п принадлежит множеству Е ( _п ) .

Замечание. В работе [2] доказано, что всякая невырожденная п-мерная (п > 2) гиперповерхность второго порядка в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве Е ^{п +1} имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму.

Если гиперповерхность F ^п С Е ^{п +1} принадлежит множеству Е ( _п ) , то F ^п имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму. При этом существуют гиперповерхности F ^п нулевой гауссовой кривизны К = 0 в евклидовом пространстве Е ^{п +1} c циклически рекуррентной второй фундаментальной формой. Примером является п-мерная цилиндрическая гиперповерхность в Е ^{п +1} c одномерной базой F ¹ ненулевой кривизны в Е ² .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Гиперповерхность F ^п с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Е ^{п +1} принадлежит множеству Е ( _п ) тогда и только тогда, когда на F ^п в окрестности каждой точки х G F ^п существуют координаты кривизны (и ¹ ,..., и ^п ) такие, что выполняются соотношения

К = +,) („ ■ )к "⁺² , К ³ =

, п+2

^ (1) (и 1 ) . . +0(i - 1) (u ^{i 1} )0 (i+1) (u ^{i +1} ) . ..-ф (п) (и ^п) )

г = 1, п,

где -фр ) ( и^г ) = 0 , г = 1,п , — некоторые функции.

1.    Гиперповерхности с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве

Лемма 1. Если гиперповерхность F ^п С Е ^{п +1} с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму, то 1-форма р является точной дифференциальной формой: р = df , где функция / определена равенством

1, , f =     ■ 2 l'''""<

Доказательство. Гиперповерхность F ^п в евклидовом пространстве Е ^{п +1} имеет п главных направлений {У ^ } п=₁ в каждой точке. Из условия (3) для главных направлений {Y _f } n=₁ имеем

Vymb(Yi, Y3) = p(YmXYi, Y) + p(Yi>(Y3, Ym) + p(Y3)b(Ym, Yi), г, j, m = Т,п.(6)

Учитывая, что главные направления {У^}п=1 попарно ортогональны и сопряжены, из (6) находим v>„b(Y„Y, )=0, г= j = m = г.(7)

В работе [1] установлены условия голономности главных направлений п-мерных подмногообразий F ⁿ в евклидовом пространстве Е ^{п + р} . Согласно признаку голономности главных направлений подмногообразия (см.: [1, c. 544, (1)]), из уравнений (7) следует,

., и ^п ) такие,

что в окрестности точки ж Е F ⁿ можно ввести локальные координаты (и ¹ ,. что

.

ди ^{1      1} ,

..,

ди п ^{Y n}'

Условие (3) равносильно следующей системе уравнений:

V i b_u = 3дМ  V b ii = e Ьи + 2^ i b i₃ , г = з,

^ m ^b ij = E m ^b ij + E i ^b jm + E j ^b mi ,   ^г = 3 = ^т = ^г,

где в силу уравнений Петерсона — Кодацци выполнены равенства:

^V3 ^b ii — ^V i ^b i3 , ^V m ^Ь ij — ^V i ^Ь jm — ^V 3 ^b mi ,  ^г,3,т — ^1,п.

Не ограничивая общности, введем в окрестности О(ж) точки ж Е F ⁿ координаты кривизны (и ¹ ,..., и ^п ). В координатах (и ¹ ,..., и ^п ) основные квадратичные формы гиперповерхности F ⁿ записываются так:

п

п

ds ² = ^W)², II = ^Ьц(1и^г)².

i=1

i=1

Тогда в О(ж) система (8) приводится к виду

ЗЬи   Ьи Зди

-

ди^г    g _ii ди^г

Зц^ц,

^дЬ 33

диг

-

Ь ₃₃ 9д ₃₃

дц ди

= Ei^H,  ³ = ^г.

В О (ж) для главных кривизн k _m имеем:

к = гъ т

b mm gmm

=0,

т = 1, п.

Учитывая (10), из (9) получим дln Ikt|

диг

³ Е г ,

д ln I k 3 1                     .

_я i = E i , ^г = 3. ди^г

Следовательно,

п

∑︁

3 = 1

д ln | k 3 1 дu ⁱ

(п + 2) e . , г = 1,п.

Отсюда, учитывая, что гауссова кривизна К = к1... кп = 0, имеем д ln |КI     / ,             - я

=^(п + ²⁾E i , ^г = ^1,п.

Таким образом, в окрестности О(ж) произвольной точки ж Е Fn 1-форма e записывается в виде г 1     ” d ln IK | г 1

" = E' d       ;E du = — dln |K I, i=1                    i = 1

и мы приходим к равенству (5).

Лемма 1 доказана.

2.    Доказательства теорем

Доказательство теоремы 1. Не ограничивая общности, введем в окрестности О (ж) произвольной точки ж G F ” координатную сеть линий кривизны (u ¹ ,..., u ” ).

В силу леммы 1 в О(ж) имеем

^rnbij = Umbij + Hi bjm + Hj bmi, i,j,m = 1,n,(11)

где 1-форма ц = d/ , функция / определена равенством (5).

Учитывая (5), запишем уравнения (11) в следующем виде:

bij ^mK + b3mVi K + bmi V,K     . .—

Vmbij = —------+ 2)K------—, М,т = 1,n.

Из (12) следует, что на F ” выполняется тождество (2).

Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 получим следующие утверждения.

Следствие 1. Поверхность F ² с Е ³ с ненулевой гауссовой кривизной K = 0 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму тогда и только тогда, когда F ² есть поверхность Дарбу в Е ³ или ее часть.

Следствие 2. Гиперповерхность F ” с Е ”⁺¹ c циклически рекуррентной второй фундаментальной формой имеет постоянную положительную гауссову кривизну K = = const > 0 тогда и только тогда, когда F ” есть гиперсфера S ” с Е ”⁺¹ или ее часть.

Следствие 3. Пусть гиперповерхность F ” с Е ”⁺¹ постоянной положительной гауссовой кривизны K = const >  0 принадлежит множеству Р („) . Если F ” полна как риманово многообразие, тогда F ” есть гиперсфера S ” с Е ”⁺¹ .

Доказательство теоремы 2. Пусть F” принадлежит множеству Р(„). Тогда на F” выполняются уравнения (3), где 1-форма ц = d/, функция / определена равенством (5). Не ограничивая общности, введем в окрестности О(ж) произвольной точки ж G F” координатную сеть линий кривизны (u1,..., u”). Тогда в О(ж) из уравнений (3) придем к системе уравнений (9). Из (9) находим d ln(|K|/|^i |”+2)                     д ln(|K|3/|^i |”+2)

-------1Г-------- = ⁰, ⁱ = j, -------IT-------- du³                        du

Следовательно, на F ” выполняются соотношения (4).

Докажем обратное утверждение. Пусть (м ¹ ,...,м ^п ) — координаты кривизны в О (ж). Из уравнений (4) получим систему уравнений (13). Запишем (13) в следующем виде:

1 Э1п(ХД п + 2 д-з

дц^о           1 a in- /<|)   1 ан^)   .—

-857-' * = 3 П+2= з"ТТ"' г = 1-п'

Рассмотрим на F^п 1-форму ц . Пусть в О(+) ц = ^Г₌₁ М « d-\ где компоненты ц _г = = ^(м ¹ ,..., и ^п ) в окрестности О(х) определены по формулам

/ 1               1 д 1п(|К|)    ._

^^(м1,...,5 ) = П+2 —а-—, г = 1,п.

Тогда из (14), используя (15), получим д 1n(|^j|) _                  д ln( ^- '    .,—

ГА Л    = Ц г , ^г = 3, <А Л = З^ г , ^г = 1, ^П.

ди >                       д—^г

Отсюда приходим к (9). Следовательно, на F ^п выполняются уравнения (3), где ц _г вычисляются по формулам (15).

Применение теоремы 1 завершает доказательство.

Теорема 2 доказана.