Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях
Автор: Костин Андрей Викторович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В трехмерном расширенном гиперболическом пространстве рассмотрим "полную" псевдосферу - поверхность вращения прямой вокруг параллельной ей прямой. Поверхность, лежащая в собственной области гиперболического пространства, локально несёт на себе геометрию плоскости Лобачевского. Одна часть ее вкладывается в евклидово пространство в виде хорошо известной воронки Бельтрами - Миндинга, другая вкладывается в трехмерное пространство Минковского в виде одного из псевдоевклидовых аналогов псевдосферы. Асимптотические линии на псевдоевклидовой части поверхности мнимы. Эти мнимые асимптотические линии можно интерпретировать как вещественные асимптотические линии на поверхностях с индефинитной метрикой постоянной кривизны. Для построения интерпретации привлекаются еще два псевдоевклидовых аналога псевдосферы Бельтрами - Миндинга. Один из них глобально изометричен продолжению "полной" псевдосферы за абсолют гиперболического пространства. В работе изучаются свойства асимптотических линий на рассматриваемых поверхностях постоянной кривизны с метрикой де Ситтера в трехмерном псевдоевклидовом пространстве (пространстве Минковского)...
Псевдосфера, плоскость де ситтера, модель пуанкаре, плоскость лобачевского, асимптотические линии, чебышёвская сеть
Короткий адрес: https://sciup.org/143168786
IDR: 143168786 | УДК: 514.12, | DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27656
Asymptotic lines on the pseudo-spherical surfaces
Consider the three-dimensional extended Lobachevsky space. In a proper area of Lobachevsky space take the `complete' pseudosphere, that is, a surface of rotation of a straight line around a given parallel straight line. One part of it is embedded into Euclidean space in the form of the Beltrami-Minding funnel, the other one into three-dimensional Minkowski space as an analogue of the pseudosphere in this space. The interpretations of imaginary asymptotic lines on this pseudospherical surface with the Lobachevsky metric in Minkowski space are considered. Imaginary asymptotic lines on the pseudo-Euclidean continuation of the pseudosphere can be interpreted as real asymptotic lines on the surface of constant curvature with indefinite metric. These surfaces are other pseudo-Euclidean analogs of the Beltrami-Minding pseudosphere. The properties of the asymptotic lines on the pseudospheres with de Sitter metric in the three-dimensional Minkowsky space are studied. The considered properties of asymptotic lines on pseudospheres of pseudo-Euclidean space (Minkowski space) are similar to that of asymptotic lines on the Beltrami-Minding pseudosphere in Euclidean space. Areas of quadrangles of the asymptotic net on a surface of constant negative curvature in Euclidean space can be found by the Hazzidakis formula. These results are transferred to surfaces of constant curvature with indefinite metric in Minkowski space.
Список литературы Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях
- Minding F. Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene krumme Flachen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen uber die Flachen von unveranderlichem Krummungsmasse//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1839. Vol. 1839, № 19. P. 370-387 DOI: 10.1515/crll.1839.19.370
- Blanusha D. C∞-isometric imbeddings of the hiperbolic plane and of cylinders with hiperbolic metric in spherical spaces//Ann. Math. Pura Appl. 1962. Vol. 57, № 1. P. 321-337 DOI: 10.1007/BF02417747
- Blanusha D. C∞-isometric imbeddings of cylinders with hyperbolic metric in euclidean 7-space//Glas. Mat.-Fiz. i Astron. 1956. Vol. 11, № 3-4. P. 243-246.
- Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.
- Hesse L. O. Uber ein ubertragungsprinzip//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1866. Vol. 66. P. 15-21 DOI: 10.1515/crll.1866.66.15
- Tchebychev P. L. Sur la coupe de vetements//Association Francaise pour l'Avancement de Sciences., Congres de Paris. 1878. P. 154-155.
- Чебышев П. Л. О кройке одежды//Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 2(12). C. 38-42.
- Hazzidakis J. N. Uber einige Eigenschaften der Flachen mit konstantem Krummungsmasz//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1880. Vol. 88. P. 68-73
- DOI: 10.1515/crll.1880.88.68
- Hilbert D. Uber Flchen von konstanten Gauβscher Krummung//Trans. Amer. Math. Soc. 1901. Vol. 2. P. 87-99.
- Широков П. A. Интерпретация и метрика квадратичных геометрий//Избранные работы по геометрии. Казань, 1966. С. 15-179.
- Kostin A. V., Sabitov I. K. Smarandache theorem in hyperbolic geometry//J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. 2014. Vol. 10, № 2. P. 221-232
- DOI: 10.15407/mag10.02.221
- Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия уравнения sin-Гордона//Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 23. C. 99-130.
- Chern S. S. Geometrical interpretation of sinh-Gordon equation//Annales Polonici Mathematici. 1981. Vol. 39. P. 63-69
- DOI: 10.4064/ap-39-1-63-69
- Галеева Р. Ф., Соколов Д. Д. О геометрической интерпретации решений некоторых уравнений математической физики//Исслед. по теории поверхностей в римановых пространствах. Л.: ЛГПИ, 1984. С. 8-22.
- Klotz-Milnor T. Harmonic maps and classical surface theory in Minkowski 3-Space//Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 280, № 1. P. 161-185
- DOI: 10.2307/1999607
- Rosenfeld B. A., Maryukova N. E. Surfaces of constant curvature and Geometric interpretation of the Klein-Gordon, sin-Gordon and sinh-Gordon equation//Publications de L'Institut Math\'{ematique. 1997. Vol. 61(75). P. 119-132.
- Lopez R. Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space//Int. Eletron. J. of Geometry. 2014. Vol. 7, № 1. P. 44-107.
- Barros M., Caballero M. and Ortega M. Rotational surfaces in L3 and solutions of the nonlinear sigma model//Communication in Math. Physics. 2009. Vol. 290, № 2. P. 437-477
- DOI: 10.1007/s00220-009-0850-0
- Albujer A. L., Caballero M. Geometric properties of same mean curvature in R3 and L3//J. of Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 445, № 1. P. 1013-1024
- DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.07.062
- Lopez R., Kaya S. New examples of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski space//Kyoshu J. of Math. 2017. Vol. 71, № 2. P. 311-327
- DOI: 10.2206/kyushujm.71.311
- Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.
- Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 512 с.
- Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 512 с.
- Костин А. В. Регулярность асимптотических линий на псевдосферах де Ситтера//Дни геометрии в Новосибирске 2012: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения А. Д. Александрова. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С. Л. Соболева СО РАН, 2012. C. 48-49.
- Костин А. В., Костина Н. Н. Об эволютах некоторых кривых на псевдоевклидовой плоскости//Тр. участников Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 2004. C. 34-35.
- Костин А. В. Об асимптотичкских сетях на псевдосферах//Дни геометрии в Новосибирске 2014: Тез. Междунар. конф., посвящ. 85-летию Ю. Г. Решетняка. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С.Л. Соболева СО РАН, 2014. C. 41.
- Костин А. В., Костина Н. Н. Об интерпретации асимптотических направлений//Сб. тр. междунар. молодеж. шк.-сем. "Современная геометрия и ее приложения" и междунар. науч. конф. "Современная геометрия и ее приложения". Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. C. 75-76.
