Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях
Автор: Костин Андрей Викторович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В трехмерном расширенном гиперболическом пространстве рассмотрим "полную" псевдосферу - поверхность вращения прямой вокруг параллельной ей прямой. Поверхность, лежащая в собственной области гиперболического пространства, локально несёт на себе геометрию плоскости Лобачевского. Одна часть ее вкладывается в евклидово пространство в виде хорошо известной воронки Бельтрами - Миндинга, другая вкладывается в трехмерное пространство Минковского в виде одного из псевдоевклидовых аналогов псевдосферы. Асимптотические линии на псевдоевклидовой части поверхности мнимы. Эти мнимые асимптотические линии можно интерпретировать как вещественные асимптотические линии на поверхностях с индефинитной метрикой постоянной кривизны. Для построения интерпретации привлекаются еще два псевдоевклидовых аналога псевдосферы Бельтрами - Миндинга. Один из них глобально изометричен продолжению "полной" псевдосферы за абсолют гиперболического пространства. В работе изучаются свойства асимптотических линий на рассматриваемых поверхностях постоянной кривизны с метрикой де Ситтера в трехмерном псевдоевклидовом пространстве (пространстве Минковского)...
Псевдосфера, плоскость де ситтера, модель пуанкаре, плоскость лобачевского, асимптотические линии, чебышёвская сеть
Короткий адрес: https://sciup.org/143168786
IDR: 143168786 | DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27656
Список литературы Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях
- Minding F. Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene krumme Flachen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen uber die Flachen von unveranderlichem Krummungsmasse//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1839. Vol. 1839, № 19. P. 370-387 DOI: 10.1515/crll.1839.19.370
- Blanusha D. C∞-isometric imbeddings of the hiperbolic plane and of cylinders with hiperbolic metric in spherical spaces//Ann. Math. Pura Appl. 1962. Vol. 57, № 1. P. 321-337 DOI: 10.1007/BF02417747
- Blanusha D. C∞-isometric imbeddings of cylinders with hyperbolic metric in euclidean 7-space//Glas. Mat.-Fiz. i Astron. 1956. Vol. 11, № 3-4. P. 243-246.
- Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.
- Hesse L. O. Uber ein ubertragungsprinzip//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1866. Vol. 66. P. 15-21 DOI: 10.1515/crll.1866.66.15
- Tchebychev P. L. Sur la coupe de vetements//Association Francaise pour l'Avancement de Sciences., Congres de Paris. 1878. P. 154-155.
- Чебышев П. Л. О кройке одежды//Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 2(12). C. 38-42.
- Hazzidakis J. N. Uber einige Eigenschaften der Flachen mit konstantem Krummungsmasz//J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1880. Vol. 88. P. 68-73
- DOI: 10.1515/crll.1880.88.68
- Hilbert D. Uber Flchen von konstanten Gauβscher Krummung//Trans. Amer. Math. Soc. 1901. Vol. 2. P. 87-99.
- Широков П. A. Интерпретация и метрика квадратичных геометрий//Избранные работы по геометрии. Казань, 1966. С. 15-179.
- Kostin A. V., Sabitov I. K. Smarandache theorem in hyperbolic geometry//J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. 2014. Vol. 10, № 2. P. 221-232
- DOI: 10.15407/mag10.02.221
- Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия уравнения sin-Гордона//Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 23. C. 99-130.
- Chern S. S. Geometrical interpretation of sinh-Gordon equation//Annales Polonici Mathematici. 1981. Vol. 39. P. 63-69
- DOI: 10.4064/ap-39-1-63-69
- Галеева Р. Ф., Соколов Д. Д. О геометрической интерпретации решений некоторых уравнений математической физики//Исслед. по теории поверхностей в римановых пространствах. Л.: ЛГПИ, 1984. С. 8-22.
- Klotz-Milnor T. Harmonic maps and classical surface theory in Minkowski 3-Space//Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 280, № 1. P. 161-185
- DOI: 10.2307/1999607
- Rosenfeld B. A., Maryukova N. E. Surfaces of constant curvature and Geometric interpretation of the Klein-Gordon, sin-Gordon and sinh-Gordon equation//Publications de L'Institut Math\'{ematique. 1997. Vol. 61(75). P. 119-132.
- Lopez R. Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space//Int. Eletron. J. of Geometry. 2014. Vol. 7, № 1. P. 44-107.
- Barros M., Caballero M. and Ortega M. Rotational surfaces in L3 and solutions of the nonlinear sigma model//Communication in Math. Physics. 2009. Vol. 290, № 2. P. 437-477
- DOI: 10.1007/s00220-009-0850-0
- Albujer A. L., Caballero M. Geometric properties of same mean curvature in R3 and L3//J. of Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 445, № 1. P. 1013-1024
- DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.07.062
- Lopez R., Kaya S. New examples of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski space//Kyoshu J. of Math. 2017. Vol. 71, № 2. P. 311-327
- DOI: 10.2206/kyushujm.71.311
- Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.
- Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 512 с.
- Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 512 с.
- Костин А. В. Регулярность асимптотических линий на псевдосферах де Ситтера//Дни геометрии в Новосибирске 2012: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения А. Д. Александрова. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С. Л. Соболева СО РАН, 2012. C. 48-49.
- Костин А. В., Костина Н. Н. Об эволютах некоторых кривых на псевдоевклидовой плоскости//Тр. участников Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 2004. C. 34-35.
- Костин А. В. Об асимптотичкских сетях на псевдосферах//Дни геометрии в Новосибирске 2014: Тез. Междунар. конф., посвящ. 85-летию Ю. Г. Решетняка. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С.Л. Соболева СО РАН, 2014. C. 41.
- Костин А. В., Костина Н. Н. Об интерпретации асимптотических направлений//Сб. тр. междунар. молодеж. шк.-сем. "Современная геометрия и ее приложения" и междунар. науч. конф. "Современная геометрия и ее приложения". Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. C. 75-76.
