Об асимптотическом поведении решений некоторых полулинейных уравнений на модельных римановых многообразиях
Автор: Лосев Александр Георгиевич, Сазонов Алексей Павлович
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 2 (19), 2013 года.
Бесплатный доступ
В данной работе исследуется асимптотическое поведение положительных решений полулинейного эллиптического уравнения Δu + + p(r)u γ = 0 на модельных римановых многообразиях. В частности, найдены условия существования и несуществования положительных решений изучаемого уравнения на рассматриваемых римановых многообразиях. Данные результаты обобщают аналогичные утверждения, полученные ранее в работе T. Kusano и М. Naito для евклидового пространства R n.
Полулинейные эллиптические уравнения, теоремы типа лиувилля, модельные римановы многообразия, радиально-симметричные решения, задача коши
Короткий адрес: https://sciup.org/14968733
IDR: 14968733 | УДК: 517.95
On the asymptotic behavior of some semilinear equations’ solutions on the model riemannian manifolds
T. Kusano, M. Naito [12] studied the positive solutions of the equation (1) in and received some conditions for the existence of positive radially symmetric solutions of the equation, which are cited in the paper (Theorem and Theorem 𝐵). The aim of this work is to study the positive solutions of a semilinear elliptic equation (1) on model Riemannian manifolds. The first result obtained in the study of solutions of (1) is fairly obvious and is based on the properties of manifolds of the parabolic type. Theorem. Let the manifold is such that ∫︁ ∞ 𝑟0 𝑞𝑛−1(𝑡) = ∞. Then any non-negative solution of the equation (1) is identically zero. Next, we consider the manifold of the hyperbolic type, i. e. we assume that ∫︁ ∞ 𝑟0 𝑞𝑛−1(𝑡) 0, the equation (1) has positive radially symmetric solution on 𝑀𝑞, such that 𝑢(0) = 𝛼. The assertion of Theorem can be derived as the corollary of this theorem. In addition, in this paper we find an upper bound for the solutions of the equation (1). Theorem. If the equation (1) has a positive radially symmetric solution, then the following estimate is valid: 𝑢(𝑟) ≤ (︃ 1 𝛼1−𝛾 + (𝛾 − 1) ∫︀ 0 1 𝑞𝑛−1(𝑡) ∫︀ 0 𝑞𝑛−1(𝜉)𝑝(𝜉)𝑑𝜉𝑑𝑡 )︃ 1 𝛾−1. Now we note a condition of positivity of the Φ(𝑟). Lemma. Let the function 𝑞(𝑟) is convex. If (︁ 𝑛+2−𝛾(𝑛−2) 2 (𝑟)𝑝(𝑟) )︁ ≥ 0, then Φ(𝑟) ≥ 0. Also in the paper we obtained the conditions under which the equation (1) has no positive radially symmetric solutions. Theorem. Let the function 𝑞(𝑟) is convex. Assume that (︁ 𝑛+2−𝛾(𝑛−2) 2 (𝑟)𝑝(𝑟) )︁ ≥ 0, and ∫︁ ∞ 𝑞𝑛−1−𝛾(𝑛−2)(𝜉)𝑝(𝜉)𝑑𝜉 = ∞. Then the equation (1) has no positive radially symmetric solution on 𝑀𝑞. Theorem. Let the function 𝑞(𝑟) is convex. Assume that (︁ 𝑛+2−𝛾(𝑛−2) 2 (𝑟)𝑝(𝑟) )︁ ≥ 0, ∫︁ ∞ 𝑞𝑛−1−𝛾(𝑛−2)(𝜉)𝑝(𝜉)𝑑𝜉
Список литературы Об асимптотическом поведении решений некоторых полулинейных уравнений на модельных римановых многообразиях
- Курмакаев, Р. Ф. Асимптотические свойства неограниченных решений эллиптических уравнений на модельных римановых многообразиях/Р. Ф. Курмакаев, А. Г. Лосев//Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Мат. Физ. -2012. -№ 2 (17). -С. 30-40.
- Лосев, А. Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида/А. Г. Лосев//Изв. вузов. Математика. -1991. -№ 12. -С. 15-24.
- Лосев, А. Г. О поведении ограниченных решений уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях/А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа//Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Мат. Физ. -1998. -Вып. 3. -С. 32-43.
- Лосев, А. Г. О поведении ограниченных решений уравнения Δu _ с(х)и = 0 на римановом многообразии специального вида/А. Г. Лосев//Мат. заметки. -1999. -Т. 65, № 2. -С. 215-221.
- Лосев, А. Г. О положительных решениях квазилинейных эллиптических неравенств на некомпактных римановых многообразиях/А. Г. Лосев, Ю. С. Федоренко//Мат. заметки. -2007. -Т. 81, № 6. -С. 867-878.
- Лосев, А. Г. Об асимптотическом поведении положительных решений некоторых квазилинейных неравенств на модельных римановых многообразиях/А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа//Уфим. мат. журн. -2013. -Т. 5, № 1. -С. 83-89.
- Лосев, А. Г. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях/А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа//Изв. вузов. Математика. -1999. -Т. 445, № 6. -С. 41-49.
- Лосев, А. Г. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых многообразий специального вида/А. Г. Лосев//Мат. заметки. -1996. -Т. 59, № 4. -С. 558-564.
- Лосев, А. Г. Положительные решения квазилинейных неравенств на модельных римановых многообразиях/А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа//Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Мат. Физ. -2013. -№ 1 (18). -С. 59-69.
- Gidas, В. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations/В. Gidas, J. Spruck//Comm Pure Appl. Math. -1981. -V. 34:4. -P. 525-598.
- Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds/A. Grigor’yan//Bull. Amer. Math. Soc. -1999. -V. 36, № 2. -P. 135-249.
- Kusano, T. Positive entire solutions of superlinear elliptic equations/T. Kusano, M. Naito//Hirosima math. J. -1986. -V. 16. -P. 361-366.
- Serrin, J. Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities/J. Serrin, H. Zou//Acta. Math. -2002. -V. 189:1. -P. 79-142.
