Об идентификации коэффициента теплообмена в слоистой среде

Мы исследуем обратные задачи об определении коэффициента теплопередачи, входящего в условие сопряжения. Рассматривается параболическое уравнение вида

Mu = ut - Lu = f ( x, t), (x, t )e Q = G x( 0, T),(1)

n-1

где Lu = annux x + ^ at(x, t) u x +^ a- (x, t) u + a0 (x, t) u , G c Rn - ограниченная цилиндри-nn              iji

• i,    j=1

ческая область вида G = Qx(0,l) (Qc Rn-1, dQeC2 ). Пусть r = 5Qx(0,l), S = (0,T)хГ. Положим G1 =Qx(0,a) (a e(0,l)), G2 =Qx(a,l). Уравнение (1) дополняется начальными и крае- выми условиями:

RUs = g, u ( 0, x) = u 0 (x)(x e G ), R u (t, x ',0) = g 0, Ru (t, x', l) = g1$ n-1

,v i + u , x ' = ( x 1 , x ₂, _ , x_n - 1 ) , R 0 u = u или R 0 u = - u_x + a ₀u , соот-

где Ru = u или Ru = ^ a ^ u x

• i ,    j = 1

ветственно, R 1 u = u или R 1 u = u_x + G \ u , а также условиями сопряжения:

D +    du+   _ +   —.   + du+

B u =--в(u - u ) = g ,---=

SN         N dNN du± где ^?( t ’ x)=lim x ^a ±0 annuxn (t ’x, xn) ’u =lim x ^a ±0u (t,x’ xn) •    Пусть    У;=( y^ a)

dN            nn

(i = 1,2, _, r) - некоторый набор точек. К условиям сопряжения мы добавляем условия переопре- деления вида

u(t,yi,Уп)|yn = a+0 = Wi(t)(i = 1^2,^,rb), u(t,y’i,Уп)|yM = a-0 = Vi(t) (i = r0 +1,-,r)•

Задача состоит в нахождении решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2)-(4) и r неизвестной функции в вида в = ^ pi (t )фi (t, x'), где функции Фi заданы, а функции ai счи-i=1

таются неизвестными. Условия сопряжения (3) совпадают с известными в теории тепломассопе-реноса условия на границе двух сред, когда контакт не является идеальным (см. [1]) Если в ^ гс , мы получим стандартную постановку задачи дифракции (см. [2, 16, гл. 3]), когда условия имеют вид u = и

ди+ дN sо

д и

• ^д N S о

Обратные задачи вида об определении коэффициента теплопередачи возникают при модели- ровании теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, исследовании композитных материалов и т. п. (см. [3-8]). В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численному решения задач типа (1)-(4) в различных постановках, возникающих в приложениях, как правило, ищется коэффициент в , зависящими от времени или наоборот от пространст венных переменных, точки {yt} в (4) чаще всего являются внутренними точками областей Gx , G . В приложениях возникают два случая, в первом из них одна из областей, например, G лежит строго внутри области G и во втором случае рассматривается цилиндрическая область, описанная выше, состоящая из двух или более слоев (см. [7, 8]). Численному решению задачи или близкой к ней посвящены работы [5-12]. В качестве метода почти во всех работах используется сведение обратной задачи к некоторой задаче управления и минимизация соответствующего квадратичного функционала [5, 6, 9-12]. Иногда возникают и задачи об одновременном определении коэффициента, входящего в параболическое уравнение, и коэффициента теплообмена (см. [6]). В этой работе в качестве условий переопределения используются значения замеров температур в точках на границе раздела слоев (как и в условии (4)). Насколько нам известно, теоретических результатов о разрешимости (или единственности решений) задач вида (1)-(4) в литературе не имеется.

В данной работе мы изучаем вопросы корректности задачи (1)-(4), в частности, мы получим теоремы существования и единственности решений (основной результат - теорема 2).

Определения и вспомогательные результаты

В работе мы используем пространства Соболева и Гельдера Wp (G), Wp (Q), Ca (Q) а также их анизотропные варианты Wpr (S), Wpr (Q), Ca,e (Q) (см. определения в [2, 13, 14]). По определению Wp’r (Q) = Wp (0, T; Lp (G)) n Lp (0, T; Wp (G)). Пусть Г - гладкая поверхность размерности n -1 и S = (0,T)хГ. Тогда, соответственно, W,,r (S) = W (J;Lp (Г))пLp (J; W^ (Г)). Под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Определение включения dQ g C2 может быть найдено в [2, с. 9]). Пусть (и, v) = J и (x) v(x)dx . Обозначим через B5 (yi) - шар радиуса 5 с цен-G тром в точке yi. Параметр 5 > 0 назовем допустимым, если B5 (yi )ndG = 0, B5 (yi) n B5 (yj ) = 0 для i ^ j . Далее во всех условиях на данные считаем такой параметр фик- сированным.

Введём обозначения: Q^ =( 0,ф)х G, S0 =( 0, T )xQ, S^ =( 0,ф)хО, Г1 =dQx( 0, a ), Г =dQx( a, l), St = (Оф x Pi, Si =( 0, T )хГ i (i = 1,2 ), G5 Ji, (xi), Gf = G5 n Gi (i = 1,2) , Qi = (0, T)x Gi , QT = (0, т)х Gi (i = 1,2). Нам понадобятся весовые пространства Wp,2s ( Q) = {и g Wp,2s ( Q): и"s g Lp ( Q)} с нормой up

WSP2 ( Q )

, TW V)l p dtdx +| T T

J  J       .^sp               J  J  J

V G 0     t               G 0  0

| u ( x , t ) - u ( x , t ) | p

- T | ^{1 + sp}

X 1/ p

-dtd T dx + || u|| ^p

L _p (0, T;W p s ( G ))

Вообще говоря, при s < 1/ p это пространство совпадает с Wps,2s (Q), а при s > 1/ p с подпространством {и е Wps,2s (Q): u(0,x) = 0} (см. лемму 1 пункта 3.2.6 в [13]). По аналогии определяем пространства Wps(0,T;Lp(Г)) , Wps,2s(Si) . Положим s0 = 1/2-1/2p , s1 = 1 -1/2p и всюду ниже считаем, что p > n + 2. Доказательство следующей леммы совпадает с приведенным в лемме 2 в [15]). Поэтому мы его опустим.

Лемма 1 Существует постоянная C, не зависящая от фе (0, T ] , такая, что

II V W _p 1,² s 1 ( S f ) +

dv dv

Ws^0,2 s ⁰( s Ф )

^- C IM Wp ’²( Q ф ),

- C||v|| ₁₂      , i = 1,2,

Wp²(QI )

II n            2||Ws0,2s0(S-) II V /II 2ф p       0                   Wp    (S 0

где c = 0 или c = a при i = 1 и c = a или c = l при i = 2, для всех v е Wp’2 (Q1) таких, что v (0, x) = 0. Здесь |v - производная по нормали к Si1.

Лемма 2 Пусть s е(1/p,1). Произведение q • v функций класса WpS,2s (QT ) (т е (0, T]) снова принадлежит Wps,2s ( Q ), а если q е Wps,2s ( QT ) и v е Wps,2s ( Q )  (или v е Wp ,2s (Q)), то справед- ливы соответствующие оценки

II*р,2s (qt)- c01kllWs,2s (qt) IvWp,2s (qt), llqvIWs,2s (qt)- c11klWs,2s (Q) IvWp,2s (q), где постоянные ci не зависят от τ . Множество Qτ в этих утверждениях может быть заменено Qi , Si . В случае если q зависит только одной переменной t, норма q в Wps,2s (QT) в этих неравенствах заменяется на норму q в Wps (0,т).

Доказательство. Доказательство основано на определении нормы и оно повторяет доказательство леммы 1 в [16]. Поэтому мы его опустим.

Оператор L считается эллиптическим, т. е. для некоторой постоянной <50 > 0 выполнено не- равенство

n

^ aij^i^j> 50 ^2 V^ е Bn, V( t, x )е Q, i, j=1

(здесь и далее полагаем, что ani = ain = 0 при i < n ). Приведем условия на данные. Мы предпола- гаем, что ai е Lp (Q)(i = 0,_,n), ay е C(Qk ),^ е Cs0+^0,2s0+2^0 (Sk ),

a ij Sk

е C ^s 0 ⁺ ^ ^{0 ,} 2 s o ⁺ 2 ^ 0 +8 ( S k ) , ^ k е C s ^{0 +} ^ ⁰’² s ^{0 + 2 e} ° ( S ₀ ) , i , j = 1,

n , k = 1,2,

где 80 е(0,1/2) - положительный параметр (он может быть как угодно мал) и включения aiA  ,аеCs0+80,2s0+280(Sk) означают, что aiA  ,ое Cs0+80,2s0+280(Sk) и эти функции допускают

Sk                                                  Sk непрерывное продолжение на Sk класса Cs0+80,2s0+280(Sk). При переходе через плоскость xn =a они, вообще говоря, имеют разрывы первого рода.

Дополнительно предположим, что ai е L^ (0,T; WP (Gf))(i = 0,_,n),aij е L„ (0,T; WP (G5k )),i, j = 1,2,_,n,          (9)

где k —1,2. Построим функции pi (x)e C°(Rn) такие, что pi(x) — 1 в B5/2(xi) и pi(x) — 0 в Rn \B3d/4(xi) , положим p(x) —^pi(x) (i —1,2,...,r). Считаем, что i

• 2 —

u 0 ( x ) e W p p ( G k ) , g ⁺ e U p "² s ⁰ ( S 0 ) , g i e W^ k ¹ ( S 0 ) , g e W^ ^{0,2 k 0} ( S i ) ( i — 1,2 ) ,     (10)

где k0 — s0 (соответственно, k1 — s0 ) в случае условий третьей краевой задачи и k0 — s1 (соответ ственно k — st ) в случае условий Дирихле. Условия согласования при t — 0 записываются в виде:

z x        1   d u +   d u n

g (0, x ) — Ru _{0 г},—0- — —0-, ^{V 7     01 r} d N   d N

R + „ -^{5 М +}

B U(\ —

⁰ d N

—

^{e ( u + — u} 0 ) ^— g ^{+ (0,} X ' ) ^,

du ± Z X                z     .             ■        Z .            „ где -^X (x ') — annu0x (0, x', a ± 0), u± — u0 (x ', a ± 0). Пусть также f e Lp (Q),ann (t,x',a ± 0)e Cs0's0' (\,), Vxpf (t,x) e Lp (Q),

• V x -V U 0 ( x ) e W p ^{; p} ( G k ) V x p g ⁺ e W p ^0,2 s ⁰ ( S ₀ ) , V _x . a_nn ( t , x ', a ± 0 ) e W ^,2 s ⁰ ( S 0 ₅ ) , Ф i e U p ^{, 2} s ⁰ ( S 0 ) , V x Ф i e W p ^{0 ,} 2 s o ( S _q ^ ) , i — 1, _ , _r , _k — 1,2,

где S05 =(0,T)хи.=1 B5 (yt'), положим S^5 =(0,r)xuf=1 B5 (yi'). Нам понадобятся дополнитель- ные условия согласования:

А) если R i u — u  ( i — 0,1) и Ru — u , то   g i (t , x ’)|_{a Q}— g ( t , x ’, r i )  ( r ₀ — 0, r — l ) ; если R i u — u

(i — 0,1) и Ru ^ u , то R ( t , x ’, r_t ) g i ( t , x ^f)|    — g ( t , x ’, r_t ) ; если R i u ^ u ( i — 0,1 ) и Ru — u , то

Rig (t, x', r) — gi (t, x ')|   ; если    Ru = u , то B + g — g +(t, x ')|      и    -g- = дg-, где d^                                             d^

d g ±

----— a^gx ( t , xa ± 0 ) .

d n    nn^^x_n \         /

Приведем теорему о разрешимости прямой задачи.

Теорема 1. Пусть выполнены условия A), (7)-(14) и Pe Wps^0,2 s ⁰ ( S ₀ ) , V _x ‘ P e W pS ^0,2 s ⁰ ( S ₀ ^ ) .

Тогда для любого т e (0, T ] существует единственное решение u задачи (1)—(3) такое, что u , V _x ‘ p u(t , x ) e W p ’²( Q T ) a W p 1^,2 ( Q T ) • Если u ₀ = 0 , то справедлива оценка

||^V x 4 u ⁽ t , ^x )|| _W 1,2 ₍ Q T ) ⁺||^V x ^{ф (} t , ^x )|| _W 1,2 ₍ Q T ) +1 u Wp²( Q T ) +1 u Wp²( Q^

^C 1 d I g ll Wk 0 ,2 ^k 0 ( S ^T ) ⁺l I g l Wk 0 ,2 ^k 0 ( S ^T ) ⁺l I f II L , ( Q ^T ) ⁺II^V x '^pAb_p (Q T ) ⁺l g ⁺ll Ws 0 ,^{2 s} 0 ( S ^T )

⁺ ||^V x ’^{p g + (} t , ^x ')|| Ws 0 ,^{2 s} 0 ( S ^T ) ⁺ll ^g 0I | Wk 0 ,² k 0 ( S ^T ) ⁺ll ^g 1l Wk 2 ,2 ^k 2 ( S ^T )),                  ⁽¹⁶⁾

где постоянная C1 не зависит от т e (0, T) и k0 — s1 или k1 — s1 или k2 — s1 если соответствую щий оператор R или R0 , или R1 определяет условие Дирихле. Если оператор R или R1 или R2 задает условие типа Робина, то k0 — s0 или, соответственно, k1 — s0 или k2 — s0 .

Доказательство теоремы 1. Утверждение о разрешимости задачи (1)–(3) из класса u e W^ ( Q T ) a Wy ( Q T ) вытекает из теоремы 3 [17]. Наша задача – частный случай задачи рассмотренной в этой теореме. Однако, к сожалению у нас есть отличия в условиях гладкости на коэффициент β . Вообще говоря в [17] требуется, чтобы он принадлежал некоторому классу

Гельдера. Однако само утверждение теоремы 3 сформулировано для любого p . В нашем случае условие p >  n + 2 гарантирует, как и в случае пространств Гельдера, справедливость соответствующей теоремы о точечных мультипликаторах для пространств Соболева (лемма 2) и соответственно справедливость этой теоремы. Утверждение о дополнительной гладкости решения может быть легко доказано с помощью метода конечных разностей. Фактически, доказательство совпадает с доказательством первой половины теоремы 4 [18, гл. 4, §2, п. 3], где вначале устанавливается дополнительная гладкость решений по касательным переменным. Обоснование того факта, что постоянная C 1 в (16) может быть взята не зависящей от т осуществляется по той же схеме, что и в доказательстве теоремы 2 в [17].

Основные результаты

Приведем дополнительные условия на исходные данные. Пусть Ф(t) - матрица с элементами Ф. = Фj (t, yj) . Мы предполагаем, что u+ (У'j) * u- (У'j ) (i = 1,2,^, r )Jdet Ф|> 51 > 0 Vt e[0, T ].(17)

u+(У'j) = ^(0), ^i(t)eWps(0,T) (i = 1,2,_,r0), u-(yj) = ¥i(0) (i = r +1,...,r),(18)

где 5 - некоторая положительная постоянная. Рассмотрим равенство (12) в точке (0, у j ):

B+ и0  ‘^'-у')-в(0,Уj)(u0+ (Уj)-u-(yj)) = g + (0,yj), в(0,yj) = £А(0)Фi(0,yj).(19)

dN

Положив в0 =(P (0),•••,Pr (0)), F = (F1,^,Fr), получим систему f du + (y')    +       )//\

Ф (0 Ж = F 0 , F j =          - g j ⁺ (0, y j )    ( u + ( y j ) - u - ( y j ) ) , j = 1,2,..., r ,

• V  dN7/

которая в силу условия (17) имеет единственное решение в . Положим в = ^_z r • в ( 0 ) Ф i ( t , x ' ) , a = ( a ₁, ^ , a_r ) , a k = P k -P k ( 0 ) , a ( t , x ’) = P ( t , x ’) - P ₀ ( t , x ’) . Тогда, чтобы было выполнено (12), необходимо

^uy (x) = M0, x')(u +- u- )(x') + g + (0, x'), ^ (x') = du7 (x'), x'eQ.(2°)

dN                         dNd

Считая, что условия теоремы 1 выполнены, построим решение w0 задачи сопряжения (1)-(3) на промежутке [0, T], где возьмем функцию Р0 вместо в . Отметим, что в силу условия (15) и леммы 2, в0 e WpS0,2s0 (S0), VxP0 e WpS0,2s0 (S05) и таким образом, условия теоремы 1 на коэффи циент в выполнены. Условия (17),  (18) и включение  w0 e Wp’2 (Qk )c Ca/2,a

( Q k )

( a <  2 - ( n + 2 ) / p , k = 1,2) гарантируют существование постоянных т ⁰ >  0, 5 2 >  0 таких, что Ж 7) ^- w - ^{( t} , У 7| > ⁵ 2 >  ^{0 (} i <  Г 0 ), l ^ i ⁽ t ) ^- w + ⁽ t , y ' j )l > ⁵ 2 >  ^{0 V t} e [ ^0, r ⁰ ], ⁽ i >  Г 0 ).

Сделаем замену u = v + w ₀ в (1)-(4). Функция v есть решение обратной задачи

Mv = v_t -

+

— - P 0 ( v ⁺ - v ") = a ( v ⁺

■ Lv = 0, Bv_S = 0, v |_f=0 = 0,

-a ,       +      -a d v ⁺    .

^- v ) ^{+ a ( w} 0 ^{- w} 0 )» ”^ = "

—

d v     z, .   ,,

—, ^{( t} , ^{x ) e} S 0 ,

v ^{+ ( t} , y 'j ) = Vi ^{( t} ) = ^ i ⁽ t ) ^- w + ^{( t} , y 'j ) ⁽ i <  r 0 ), v ⁽ t , y j ) = ^ i⁽ t ) = ^ i ⁽ t ) ^- W 0 ⁽ t , у 'j ) ⁽ i >  r 0 ^).

Сформулируем основной результат.

Теорема 2. Пусть выполнены условия A), (7)-(11), (13)-(15), (17), (18), (2°) . Тогда на

неко-

тором промежутке [ 0, т ₀ ] существует единственное решение u задачи (1)-(4) такое, что u e W p ’² ( Q^T° ) ( i = 1,2 ) , P i ( t ) e W p⁰ ( 0, т ₀ ) ( i = 1,2, ^ , r ) , причем V _x , ^ u ( x ) e W p ’² ( Q i ⁰ )( i = 1,2 ) .

Доказательство. Достаточно доказать разрешимость вспомогательной задачи (22)-(24). Построим интегральное уравнение для нахождения вектор-функции а . Фиксируя функцию а и применяя теорему 1 к задаче (22)-(23), мы построим отображение а ^ v ( а ). Возьмем точку y , ' gQ и функцию ф , ( i <  r ) . Умножая уравнение (22) на ф , , имеем

Mw = w_t - Lw = [ ^ , L ] v = f ₀, w = ^ i v , w_{t =} o = 0, (25)

где [^ ^L ] v = 9 i Lv ^- L ( p v ) = ^{- 2} j a ik v x^^ - jj a ik V V ix^ - j a ^ v . Равенства ⁽²⁵⁾ можно пе ^-

• l,    k=1                   l, k=1

реписать в виде w - ann (t,x) Wxnxn = j ajw x +^^х.+ aow+fo = fP

• i,    j=1           Ji

Отметим, что a_nn >  0 для всех t,x . Имеем, что f 1 , V _x . f e L p ( Q ) . В силу теорем вложения, f 1 ( t , x',X n ) e C ^a ( Q ; L_p ( ( 0, t ) x ( 0, l ) ) ) с a <  1 - ( n - 1 ) / p , после может быть изменения на множестве меры ноль (см. соотношения (3.1)-(3.3), (3.5), (3.6), следствие 4.3 в [19] и включение (5.7¹) в

[20]). Рассмотрим уравнения wit ( t, xn )-ann ( t, Ум xn ) wixnXn = f1 (t, y, ', xn ) (i = 1,2,^, ro ) , wit (t, xn )-ann (t, y, ', xn ) wXnXn = f1 (t, У?, xn ) (i = ro + 1,—, r ) .

Дополним уравнения (27), (28) начальными и краевыми условиями

w(0,x„) = 0,wJ     n=^(t),wA      =0,г

i\  , n)     , ilxn = a+0           /, i xn = a+5      ,      0v 7

wi(0, xn ) = 0, w,^ = a-0 =^i( t ), wilxn = a -5 = 0 i > r0-

Решение wt задачи (27), (29) (или (28), (30) соответственно) существует и единственно [2]. В случае если v,а есть решение задачи (22)-(24), имеем, что w, (t,xn) = ф,v(t,y',xn ) . Перепишем условие сопряжения (23) в виде a+n v+„(t, x') - в(v+ - v - )(t, x') = a( v+ - v - )(t, x') + a( w+ - w- )(t, x ),

Рассмотрим это условие в точке (t,y') и используя (24), получим a+n(t,у, ')v+n (t,y') -в(v+ - v-)(t,yi') =

a(v+ -v-)(t,y,')) + a(w+ - w-)(t,y,')), i = 1,2,—,r,,(32)

^a-n^(t, у, *) ^v-_n^(t, у, ')^-A)^{(v + - v-})(t, у, ) =

a(v+- v")(t,y,,)) + a(w+- w-)(t,y,')), i = r0 +1,—,r•

Искомая система для нахождения координат вектора а имеет вид

a(t, у, ')=(a™(t, уi') wixn (t,a)- Ai(v + - v- )(t, у i')+ av"(t,y, '))/(^.(t) + (w+ - w-)(t,y,')) = F, i= 1,2,-,Г0,(34)

a(t, y i') =(a-(t, yi')wixn (t,a) - e0(v + - v")(t, y,')- av + (t, yi'))/(-^i(t)+(w+ - w- )(t, y,))=F,i=r0+1’-’r •

Отметим, что в силу (21) знаменатели в этих равенствах строго отделены от нуля на промежутке [0, T0]. Здесь v - решение задачи сопряжения (22)-(23), а функции w, - решения задач (27), (29) и (27), (30) соответственно. Она также может быть переписана в виде а=ф-1 F (a)=r (a),(36)

где координаты вектора F определены равенствами (34), (35). Отметим, что лемма 2 гарантирует оценку

IIФ^-1FWwp? (0,т) < cllFWpo (0,т). (37)

Покажем, что оператор R (а) является сжимающим в некотором шаре Bro = («е Wp0 (0,т) :|аWs>(0,т) < R0} и переводит его в себя. Возьмем а = 0. Тогда в силе единственности решений задачи сопряжения (22)-(23) v = v(а) = 0, в этом случае вектор F (0) запи- шется в виде

Fi (0) = ann ('’Уг ’)®ixn ('’a)/Wt) + (W0 - W)(t,yi OX i = 1,2,..„r0, Fi(0) = a-n('’y ')^xn ('’a)/(-¥i(t) + (w+ - W)(t’yDX i = rO + 1,...,r’ где ωi решения задач (27), (29) или (28), (30) равны нулю. Положим R = 2||ф-1 F(0)||^s0^о^

соответственно, где правые части в (27) и (28)

. Получим оценки, считая, что а е Bn и т< т⁰ .

Из теоремы 1 вытекает оценка

II vWP²ет) ⁺vWp² (ет) ⁺l^vx ^^{v (}', ^x )l W1,2 ( qt ) ⁺|^vx ^v⁽', ^x )| W1,2 ( Qt ) < col kv⁺-v^-)

^{+а( w}+ ^{- w}- )||^,2so ₍ST ) ⁺ ||^Vx '^^{(а( v + - v} - ) ^{+ а( w+ - w}- ⁾⁾⁽'’^x D)! |WS0,2so ₍ST ))’      ⁽³⁸⁾

где постоянная c не зависит от τ . Воспользовавшись леммой 2, получим, что первое слагаемое

J₀ в правой части здесь оценивается через

J0 < c1 lidWp^0,2s0(st)⁽lv^{+ -}v llwp^0,2s⁰(sT)⁺||^{w+ -w}0 IIWs0,2s0₍S_o))•

Второе слагаемое J₁ оценивается через

J1 < c2⁽|^Vx^а|Iwso,²s0(ST₅) ⁽ll⁽v⁺— v — )|lws0’²so(ST) ⁺|k4^{- w- )(t},^x')|Iwso-²SO(s₀)) ⁺ II^аW^s⁰’^2so(S₀^T)⁽|^Vx^^{(v + - v}")|W^0,2so₍ST) ⁺I^vx^{ф(w+ - w-)(t},^x')|Wso,2so₍S))•

В силу леммы 2 имеем оценку

II^аW-s⁰²s⁰(SO ) ⁺H^vx^а1 Wso,2so₍S^ ) <

C3 ]E Iki 11^      ^1^фilWsO’2 so ₍S_o )⁺ll^Vx^фilWs0’2 so ₍S_o5)]< c4 ^аWps⁰( 0,t) ’

где постоянная c₄ , равно как и постоянные c₀ - c₃ , не зависит от т . Далее, у нас имеет место оценка

II(v +-v )lIw^o,2so(ST) +IIVx'ф(v +-v )|IWsO’2so(ST)< c5T1/2 ^1 MWP’2( QT) +1 MWP’2( QT) +Iv x ^v ( t ’x )| W1,2( QT) +Iv x ^ ( t ’x )| W1,2( QT) j ’       (42)

которая была получена в доказательстве теоремы 3 в [17] (см. неравенства (50)–(52)). Приведем краткое доказательство. Оценим первое слагаемое в (42). Второе оценивается точно так же. Имеем

- ±1 Ip

Wp⁰(0,t)

= T v⁴p d' + T T¹ v±⁽‘)-^M±⁽^"pddT< T⁽s'"so)P lv±1 Ip

0 's^{0 P}       00 I' - ^¹⁺s⁰I^{P                            W}ps¹(^0,T)

.

Отсюда вытекает, что

IIv±1 kp(Q; Wp⁰(0,t))< ^T1^/2Iv±1 kp(Q; Wp¹(0,t

По лемме 1 правая часть оценивается через Ст^1/2 (IMW1^,2_(q^t) + |MIIW1,2(_q^t)). Таким образом, имеем неравенство:

II^V + 1Lp_p (nWs⁰ (0,т )) ⁺l^M ILp (n;Ws° (0,т))          (MW1,²( qt ) + | MW1,²( q2)).              (45)

Оценим нормы ||v±|L(₀,_т;W1^-1/p (_Q))• Например, для функции v⁺ имеем, что

II^{M +}lL (0,т;W1^-1/p (Q)) < c6MLp(0,7;Wp (GT)) < c₇1Ml\^m, , IMW²    , <c₈?^/21MW.²(qt).⁽⁴⁶⁾

^p\        ^p \ 7 J                         \ J          Lp (Q2)    Wp (Q2)                    \ /

Здесь мы воспользовались теоремой о следах [13, теорема 4.7, с. 412] и соответствующей оценкой

IIV + |W-Vp(Q)< cjM +|W. (g2), интерполяционным неравенством

IIV +lW(g2)< cIV +l 1 ^)IV+ W2(g2) и неравенством ||v +|Lp(0,t)

IIV IL_p(0,т;Ji)^Mp (Q)) <CgT¹/²!MIWp-2(q)

Таким образом, справедливо неравенство (42). Из (38)-(42) вытекает неравенство IIVWp'2(QT) +1MWp'2(QT) +|Vx-^(t,x)|W1,2(q) + |Vx.^(t,x)|W1,2(qt) < c10T

■^1/2ЙWs°(0,7) MWp-²(qt)+1 MWp-²(Q2 ) ■ ^Vx^^V(t,^x)W1,2₍qt) +||^Vx.^⁽t,x)W1,2₍Q^T)

+^c10 I Wil Ws (0,t)⁽|k w+ - w0 ⁾⁽t, x ')|^,2S0 ₍S_Q ) ⁺||^Vx '^⁽W+ ^-W₀⁾⁽t, x ')||Ws0,2 S0 ₍₅₍₎)).       ⁽⁴⁸⁾

Выбрав т1 такое, что c10R0T12 = 1/2 , из (48) получим, что при т < т2 = min(71,7°) имеет ме- сто неравенство

II^VWp’²(QT ) +1 MWp² (QT ) +|^Vx^^{V (}t,^x)W1,2₍Q^T ) +|^Vx^^V(t, x)W1,2₍Q^T ) <

2Сю IWIIWs⁰(0,T) ⁽||⁽W+ ^-w-^)(t,^xr)||WS0,2S0_(So) +||^Vx'^⁽w+ ^-w-^)(t,^x')||WS0,2S0₍^)).       ⁽⁴⁹⁾

Пусть W ⁼(^ai₁,^ai2,^,^air)^eBR) (i = 1,2) и vi - соответствующие решения задачи (22), (23),

r c функциями ai = ^wi-j-Ф j (i = 1,2) вместо a . Имеет место оценка (49), где в правой части стоят j=1

соответствующие нормы ||aillWs0 (0,т). Тогда разности v1 - v2 = ю, у = a1 - a2 есть решение за дачи

+со +

Mv = rot -Lrn = 0,B^s = 0,dt=0 = 0,—- = ——, dNd дю+   „ , +    -.   (a, + a2)   +    - у ++

^V1 ^{- V}2 ) ⁺Y⁽wo^{- w}0 ).     ⁽⁵¹⁾

-^- ^-P°⁽to^-Ю ) =-------^{(d -}® ) + — ⁽M + ^V2 ^-

Пусть у = a1 - a₂. Задача (50), (51) имеет тот же вид, что и задача (22), (23), поэтому при т< т2 имеет место та же оценка (49), которая запишется в виде

II^dWp’²(QT ) +1^dWp’²(QT ) ⁺ ||^Vx^^d(t,^x)W1,2₍Q^T ) +|^Vx^^d(t,^x)W1,2₍Q^T ) <

^2ciolIFI IWp°(o,t)⁽₂(^v+

+    -    -\    +    -

+ V2 — V — V2 ) + Wo — Wo

+ Wp^o,^{2 s0}( so)

^Vx Ф^(1(v1^{+ + V}2

^{- V}1 ^{- v}2 ) ^{+ W}+ ^{- W}o )

)• W.' ^so( So)

Из оценок (42), записанных для функций v₁, v₂ , и (52) вытекает неравенство

®Wp’2(QT) +1® Wp2(Qt) + ||Vxф(°(t,x)|Wl^Q} + ||vx-ф®(t,x)|W1,2 (QT) -c11l H Wso (o,T) (lW+ - W-1 W;o.2 s o(s0) + |v x Ф( W+ - W- ) IWWso(s0)), где постоянная c11 не зависит от т . Пусть w/ (j = 1,2) - решения задач (27), (29) и (27), (30) c новыми правыми частями, где вместо v стоят функции vi , и wo = ф®. Тогда разности ki = W1 - w2 есть решения задач kit - ann (t, Уь xn ) kixnxn = X aij®^ +iLaia>Zi + ao®° +[фi, L ]® x '=У = fi (t, У’, xn ),(54)

i, j=1

k.l   = o,kA     = o,kA     „ =o (i - r0),(55)

i It=o      ’  ilxn = a      ’  i\xn = a+S       V      oP                                      v7

kA   = o,kA    = o,kA       = o (i > r ).(56)

i It=o      ’  i\xn = a      ’  l'xn = a-S        V      o/                                         x7

Из известных свойств параболических задач (см., например, [2]) имеем оценку ro

r

XIIkillWJ’²((o,t)x(a, a + S)) ⁺X^'^kiWp’²((o,t)x(a - S, a)) ^-f r)                                ^oГ                                )

^c13

XIIfi'ILp((o,t)x(a,a + S)) ⁺ X_^Ilfi’ILp((o,t)x(a -S,a)) •

Пусть, например, i - r_o . Имеем

II^f(t, ^yi, xn ) L_P ((o,T)x( a, a + S)) ^{- c}141Ifi'⁽t,^x ) Ws (fi; L_p (( o,t)x( a, a + S))) = J,^s >^{(n -1)}/^p, ⁽⁵⁸⁾

в силу теорем вложения (см. следствие 4.3 и соотношения (3.1)–(3.12) в [19]). Далее используем неравенства, вытекающие из соответствующих интерполяционных теорем (см. следствие 4.3 и соотношение (3.7) в [19]).

J^-c¹⁵1Ifi-⁽t,^x)|W1 (fi;L_p ((o,t) x (a,a + S))) IIfi'⁽t,^x)IWp^!(fi;L_p ((o,t) x (a,a + S))),^{26 -1}= ^{s. (59)}

Ввиду замечания 5.3 (c) в [19] норма в последнем пространстве может быть определена как

II fiV-1( fi; L, (( o,t)x( a, a + S))) =    ,     ^suP          |(?i ,ф)|, ¹⁷P⁺¹⁷q =¹,

^P V      ^{PVV 7 V}                  Ф^Уд(fi;Lq((o,T)x(a,a+S)))'         ¹

где скобки обозначают продолжение скалярного произведения в L2 до отношения двойственности между соответствующими пространствами. Исходя из определения fi и условий на коэффи- циенты имеем

I f'i\W_p-1₍fi; L_p (( o,t)x( a, a + S))) ^{- c}16 ^fl® Lp ( o,t; WP (G1 ))⁺l® Lp ( o,t; WP (G2 )))^-

C17T^1/2 fl ® Wp.2 ₍Q^T ) + Ы Wp-2 ₍Q₂^T)^,                            (60)

где постоянная c1 не зависит от т . Последняя оценка получается, если мы применим интерполяционное неравенство и (            л г                       II1/2                            II 1|1/2

У ^{( 0т}Wp⁽Gj)<      ( 0Т wp (Mlp ( 0,_r. Lp ( _Q^

и оценку ML^(0,_T;L_p (Q.)) < T|^VJ|_£(q г* L (G )) , вытекающую из формулы Ньютона-Лейбница, а затем оценим полученные нормы через норму в Wp’² (QT). Оценки (59), (60) влекут, что

Ifi⁽t• xi,x,)|Lp((0,г)х(a,a + 5))<^c1^T " ' l^vX»™⁽‘,^x)Wp.2,_e;) ⁺

IIvx^t.x)|W 1.2,Q) + (Itilwp\Q)+1^Wp2(Q^9(^WtiQx)+1 ^!wp’2(QtFe- p X ^2                       Г             PP где c19 - постоянная не зависящая от т . Как вытекает из неравенства (53), неравенство (61)

можно переписать в виде

If(t,X,xn)| 1^((0,т)х (а,а + 5)) < С20т(1"У)/21If I Wp0(о.т), i < ro-

Очевидно, что такая же оценка имеет место и в случае i > r^ . Из (57), (62) вытекает неравен ство r0

r

В частности, отсюда вытекает оценка ^r

§К⁽t^{, а} )Iwp0 (0т) < ^Ст " И4° (^0,т)^-

Оценим ||^(a_x) - R(а₂)||^0⁸о^  . Из (37) вытекает оценка

Рассмотрим первое слагаемое в координате Fi (а1) - Fi (а2) . Пусть, например, i < r0 . Оно за- писывается в виде

J1 = ^а+ (t^,yi')(^toiX_n^{- to}iX_n)(t^{, а}) / ⁽y_i^(t)^+(w+^{- w}"^)(t,yf))

В силу леммы 2 и неравенства (63) имеем

IJ1IWs0(0т) <^С. h>Zn - ^£,1^)0₍, .    ^cT !“■" ^а21 Wp(' ■ ,

где все постоянные не зависят от т , в1 - положительная постоянная. Рассмотрим второе слагае- мое

J2 = ^-в0 (w+^-w")(t^,yi') / ⁽Wi^(t)⁺⁽w+ ^-w"^)(t,Ух D).

В силу леммы 2 имеем

II^J2II ^S0(0, r) < ^c25 § ||^{(to+ -}®"⁾⁽t, У oil ^S0(O,r)-^p                ;=1                           ^p v 2 /

Справедливы очевидные оценки (лемма 1, (53) и теоремы вложения (см. [19]))

I^w±⁽t,yi ’>1 W^0(0,r) < ^c1 kw±⁽t,^x')lWp₍Q; Wp0 (0,t))<

^С26

II^vx^{kw (}t^,x’)|L^(q;wp⁰(0,t))⁺I^kw⁽t^,x')lL_p(q; Wp⁰(0,t))<

1/2

^С27^т

I^VX ^w⁽t, ^X)W1,2(Q ) + I^w⁽t, ^X ’)|W1,2₍Q^T )

< c29т¹/² ||a1 - a2IIwjo₍0,т),

11/2

С28т где i > r0 и k = 1 в случае функции го и k = 2 и i < r0 в случае функции го . Таким образом, справедлива оценка

IIJ2IIwso(0,Т) < С30тШ1 la1 -a2Wp0(0,т) • для некоторой не зависящей от τ постоянной c . Оценка последней разности

J3 =(a1Vf (t, x) - a2v2- (t, Xi.)) / (y (t) + (w+ - w- )(t, xi (0))) получается аналогично, и имеем, что найдутся постоянные в₃> 0 и с₈ такие, что

II^Jз1 W^0₍₀,_т)< ^с31^твU1 ^{- a}2Wp0(0,т) .

Окончательная оценка, как вытекает из (65), (66), (67) имеет вид

IR^(a)-R^(a2)|^₍₀,_т)<^т" ^{a1 -a2}W(0,т),

где показатель в минимальный из полученных в доказательстве и постоянная с31 не зависит от т . Возьмем в качестве т0 число со свойством т0 < т2 , СуГ^0 < 1/2 . В этом случае оператор R переводит шар BR в себя и является в нем сжимающим. Следовательно, уравнение (36) имеет решение a е Wps0 (0,т0). Найдем решение задачи сопряжения v . Покажем, что мы нашли решение нашей обратной задачи. Достаточно показать, что у нас выполнены условия переопределения (24). Мы имеем равенства (32), (33) и равенства (34), (35), откуда вытекает, что a+n(t, у, D wxn (t, a)- Р0(v+ - v - )(t, у, D=a(^i(t)- v-)(t, yt D)+a(w+ - w-)(t, yt D, при i < r0 и при i > r0 имеем a+n (t, yi) Wixn (t,a) - Mv+ - v- )(t, yi D = a( v+ (t, y^-yi( t)) + a( w+ - w- )(t, yiD

Вычитая (32) и (69), соответственно, (33) и (70), получим a+n(t,yi')(v+n (t,y')-wxn (t,a)) = a(v + -^i(t)) = a(v + (t,у, ')-w(t,a)), i = 1,2,^,r0, a-n (t, У')(v- (t, У,') - wtxn (t, a)) = a(^t(t) - v" ) = a(wt, a) - v" )» i = r0 +1—,M,

Функция w₀i = ф_iv удовлетворяет уравнению (26). Возьмем в этом уравнении х’= у' и вычтем его из равенства (27) при i< r₀ и из (28) при i > r₀ . Получим равенство

( wit ( t, Xn )-w0 it (t, yi', Xn ))-ann (t, yt', Xn )( wtxnxn - w0ixnxn (t, Xi, Xn )) = 0(73)

где i = 1,2,^,r. Функции wi = wi (t,Xn)-w0i (t,Xi,Xn) удовлетворяют уравнению (73), начальному условию wil^ = 0 и в силу (71), (72) граничным условиям ann (t, Xi ) wtXn (t, a ) = -awi (t, a ), wi (t, a + ^) = 0, i = 1,2, —, r0, a-n (t, yt') wiX„ (t, a ) = awt (t, a ), wi (t, a - ^) = 0 i = r0 +1,—, r.

В силу единственности решений смешанной начально-краевой задачи wi (t, X_n ) = w₀i (t, yi ’, X_n ). Следовательно, выполнены равенства w₀i (t, yi ’, a + 0) = yi для всех i< r₀

и w₀i (t, yi', a - 0) = yi для всех i > r₀ . Поскольку локально по времени задача сводится к уравнению со сжимающим оператором, то утверждение о единственности решений здесь очевидно.

Замечание. Все результаты справедливы и в случае более сложной задачи когда вместо одного условия сопряжения мы рассматриваем несколько условий, скажем в точках x_n = ^,l₂ ,...,l_m и неизвестными являются несколько коэффициентов теплопередачи. На каждом из сечений xn = l, в некотором наборе точек у нас, как и ранее, заданы значения решения в качестве условий переопределения. Соответствующие условия на данные легко формулируются.