Об индексе бисингулярного оператора с инволютивным сдвигом

В теории сингулярных операторов с инволютивным сдвигом полностью изучены вопросы нетеровости (фредгольмовости) и индекса оператора вида A+VB, где A и B - сингулярные операторы, а V - оператор инволютивного сдвига в пространстве p-суммируемых функций на простом замкнутом контуре типа Ляпунова. Вместе с оператором A+VB рассматривается соответствующий матричный сингулярный оператор без сдвига M=(ABVBVVAV). Хорошо известно, что операторы A+VB и M нетеровы или нет одновременно, а их индексы относятся как 1:2. Аналогичные вопросы об одновременной нетеровости и пропорциональности индексов возникают для бисингулярных операторов с инволютивным сдвигом A+WB и их соответствующих матричных операторов M=(ABWBWWAW), где A и B - бисингулярные операторы, а W - оператор инволютивного сдвига в пространстве p-суммируемых функций на прямом произведении простых замкнутых контуров типа Ляпунова. В настоящей работе исследованы бисингулярные операторы с инволютивным сдвигом, распадающимся на одномерные компоненты. Рассмотрены два вида таких сдвигов - покоординатный и перекрестный. В этих случаях соответствующие матричные операторы являются матричными бисингулярными операторами без сдвига. Получена одновременная нетеровость бисингулярного оператора со сдвигом и соответствующего матричного бисингулярного оператора без сдвига. Установлена пропорциональность индексов бисингулярных операторов с покоординатным сдвигом и соответствующих матричных операторов, а именно: доказано, что индексы этих операторов относятся как 1:2. В частном случае такой же результат об индексах получен и для перекрестного сдвига.