Об инвариантах Лапласа гиперболического уравнения со смешанной производной и квадратичными нелинейностями
Автор: Рахмелевич Игорь Владимирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
Исследуется двумерное нелинейное гиперболическое уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которого содержит квадратичные нелинейности по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям, инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. При этом рассмотрен как общий случай, так и случаи, когда некоторые коэффициенты уравнения равны нулю. Доказана основная теорема, согласно которой два нелинейных гиперболических уравнения рассматриваемого вида могут быть связаны с помощью линейного мультипликативного преобразования искомой функции в том и только в том случае, если инварианты Лапласа для обоих этих уравнений имеют одни и те же значения. Для рассматриваемого уравнения найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа, в общем случае и в случае, когда некоторые коэффициенты уравнения равны нулю. Получены дополнительные условия на инварианты Лапласа и коэффициенты уравнения, при выполнении которых может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах.
Дифференциальное уравнение в частных производных, гиперболическое уравнение, инвариант лапласа, линейное мультипликативное преобразование, квадратичная нелинейность
Короткий адрес: https://sciup.org/143182541
IDR: 143182541 | УДК: 517.956 | DOI: 10.46698/m1855-1369-1428-v
On Laplace invariants of two-dimensional hyperbolic equation with mixed derivative and quadratic nonlinearities
We study two-dimensional nonlinear hyperbolic equation of the second order with variable coefficients. The left side of this equation contains quadratic nonlinearities on unknown function and its derivatives. We consider a set of linear multiplicative transformations of unknown function which keep a form of initial equation. By analogy with linear equations, the Laplace invariants are determined as the invariants of this transformation. Expressions for the Laplace invariants over the coefficients of the equation and their first derivatives are obtained. We consider both the general case and the case when some coefficients of the equation equals to zero. The main theorem about Laplace invariants is proved. According to this theorem, two nonlinear hyperbolic equations of the considering form can be connected with the help of linear multiplicative transformation if only if the Laplace invariants for both equations have the same values. We have found the equivalent systems of the first order equations, containing the Laplace invariants, for considering equation in general case and in the case when some coefficients of the equation equals to zero. It is shown that the solution of the initial equation can be received in quadratures if some additional conditions on the coefficients and on the Laplace invariants are fulfilled.
Список литературы Об инвариантах Лапласа гиперболического уравнения со смешанной производной и квадратичными нелинейностями
- Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, ч. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1933.
- Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957.
- Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 58-68.
- Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными // Матем. заметки. 2016. Т. 99, № 1. С. 89-96. DOI: 10.4213/mzm10613
- Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными // Изв. вузов. Математика. 2014. № 10. С. 27-34.
- Миронов А. Н., Миронова Л. Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 1. С. 67-73. DOI: 10.1134/S0374064119010072
- Кузнецова М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский матем. журн. 2009. Т. 1, № 3. С. 87-96.
- Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи матем. наук. 2001. Т. 56, № 1(337). С. 63-106. DOI: 10.4213/rm357
- Старцев С. Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 237-247. DOI: 10.4213/tmf772
