Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом
Автор: Митрохин Сергей Иванович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В работе изучается функционально-дифференциальный оператор восьмого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия являются разделенными. Функционально-дифференциальные операторы такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Чтобы решить функционально-дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, применяется метод вариации постоянных. Решение исходного функционально-дифференциального уравнения сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Получившееся интегральное уравнение Вольтерры решается методом последовательных приближений Пикара. В результате исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений функционально-дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, определяющего дифференциальный оператор. Аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими и кусочно-гладкими коэффициентами устанавливаются асимптотические оценки решений исходного функционально-дифференциального уравнения...
Функционально-дифференциальный оператор, краевая задача, суммируемый потенциал, граничные условия, спектральный параметр, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений
Короткий адрес: https://sciup.org/143168797
IDR: 143168797 | УДК: 517.927 | DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32116
On the study of the spectrum of a functional-differential operator with a summable potential
The paper deals with a functional-differential operator of the eighth order with a summable potential. The boundary conditions are separated. Functional-differential operators of this kind arise in the study of vibrations of beams and bridges made up of materials of different density. To solve the functional-differential equation that defines a differential operator, the method of variation of constants is applied. The solution of the initial functional-differential equation is reduced to the solution of the Volterra integral equation. The resulting Volterra integral equation is solved by Picard's method of successive approximations. As a result of the investigation of the integral equation, asymptotic formulas and estimates for the solutions of the functional-differential equation that defines the differential operator are obtained. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equation defining the differential operator is derived...
Список литературы Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 528 с.
- Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций//Мат. сб. 1968. Т. 75(117), № 4. С. 558-566.
- Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков//Мат. сб. 1967. Т. 72(114), № 2. С. 293-317.
- Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций//Функцион. анализ и его прил. 1967. Т. 1, № 2. С. 52-59.
- Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами//Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1986. № 6. С. 3-6.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами//Диф. уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.
- Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией//Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.
- Мартинович М. Об одной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения//Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 239-245.
- Мартинович М. Дзета-функция и формулы следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением//Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 3. С. 537-540.
- Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом//Диф. уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927-931.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом//Изв. РАН. Сер. Математика. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-106
- DOI: 10.4213/im295
- Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма Лиувилля с сингулярными потенциалами//Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912
- DOI: 10.4213/mzm1234
- Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма Лиувилля с δ-потенциалом//Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 6(336). С. 155-156
- DOI: 10.4213/rm352
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четверного порядка с суммируемыми коэффициентами//Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 2009. № 3. С. 102-104.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом//Диф. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1808-1811.
- Митрохин С. И. Об исследовании дифференциального оператора с суммируемым потенциалом с разрывной весовой функцией//Уфимский мат. журн. 2017. Т. 9, № 4. С. 74-86.
- Митрохин С. И. Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом//Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 4. С. 35-49
- DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9166
- Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией//Изв. вузов. Математика. 2018. № 6. С. 31-47.
- Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса//Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.
- Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов//Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.
