Об извлечении трансвекций в надгруппах нерасщепимого максимального тора

Данная работа примыкает к направлению, связанному с описанием подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих тор. Наиболее значительные результаты в этом направлении были получены в работах З. И. Боревича, Н. А. Вавилова и их учеников. Настоящая статья продолжает работы З. И. Боревича и В. А. Койбаева и посвящена исследованию трансвекций в подгруппах полной линейной группы GL(n, к) степени n над полем k , содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением к( n d) степени n основного поля к нечетной характеристики.

Мы предполагаем, что рассматриваемые подгруппы содержат одномерное преобразование, а потому в силу [4] все такие подгруппы содержат элементарные трансвекции на всех позициях (для радикального расширения поля k ).

Сформулируем основной результат работы. Элементы матриц тора T = T (d) порождают некоторое подкольцо R(d) (см. [3]) поля к. Пусть R — промежуточное подкольцо, R(d) С R С к, d Е R, A — идеал кольца R. Через ст а обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал dA, а ниже диагонали — A. Пусть, далее, E ( ст а ) — подгруппа, порожденная всеми (общими) трансвекциями из сетевой группы G ( ct а ).

Теорема. Произведение TE ( ст а ) является группой, причем эта группа порождается тором T и корневыми подгруппами:

TE ( ct ) = h T,t ii (A) : 2 6 i 6 n ) .

Более точно, всякая трансвекция из E(ct) имеет вид ct2i(a2)tai(aa).. .tni(an)c-1

для некоторых c ∈ T , α i ∈ A.

В работе приняты следующие обозначения: e — единичная матрица порядка n; eij — матрица, у которой на позиции (i,j) стоит 1 G k, а на остальных местах нули; tij (£) = e + ^eij — элементарная трансвекция £ G k*, i = j; трансвекция — это матрица n вида (5ij + aiej), где 52 aiei = 0 (5j — символ Кронекера); [x, y] = xyx-1 y-1 — ком-i=1

мутатор элементов x, y (соответственно [X, Y] — коммутант); через (S ) ij обозначается элемент s ij матрицы S = (s ij ), стоящий на позиции (i, j); s ij — элементы обратной матрицы S ^{- 1} = (s ij ); с каждым вектором x = (x i , X 2 ,..., x n ) G k n \ 0 связана невырожденная матрица C (x), элементы которой вычисляются по формулам

<г*г_ж^ ₌ J^xi +^{1 - j,}      j ^{6 i;}

¹C ^(x); ij     |dx n+i+1-j , j >  i + 1.

С каждой матрицей C = C (x) = (c ij ) связана обратная матрица C ^{- 1} = C (y) = (c ⁰ j ), y = (y 1 , ...,y n ) G k n , где y i = iCC^ ) | , причем Cn — алгебраическое дополнение элемента c 1 i матрицы C = C (x).

В работе рассматривается унитальное подкольцо R q = R(d) поля k, порожденное элементами x i y j , dx _r y _s ,

R q = R(d) = xxy j j, dx r y _s : i + j 6 n + 1, r + s > n + 1, x G k n \ 0^>.

На протяжении всей статьи R — промежуточное подкольцо, R q С R С k, d G R.

• 2.    Элементарная сетевая группа

Пусть x n — d — неприводимый многочлен степени n над полем k, d G k. Тогда e i = 9^{г - 1} , 1 6 i 6 n, образует базис радикального расширения K = k( n d), 9 = n d, поля K = k(9) над k. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор T = T (d), который является образом мультипликативной группы поля K = k( n d) при регулярном вложении в G = GL(n, k). В выбранном базисе тор T = T (d) определяется как матричная группа

T = T (d) = { C(x) : x G k n \ 0 } .

Пусть R — унитальное подкольцо поля k, содержащее кольцо R q = R(^), d G R. Пусть, далее, A — идеал кольца R, причем через σ A обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал dA, а ниже диагонали — A. Пусть, далее, E(a A ) — подгруппа, порожденная всеми (общими) трансвекциями из сетевой группы G(a a ) [1]. Подгруппу E(a A ) мы называем элементарной сетевой подгруппой, соответствующей сети σ A .

Лемма 1 [2, предложение 2] . Справедливы следующие два утверждения:

• (1)    для любых a, в G k n \ 0 найдется x G k n \ 0 такой, что C (x)a = в;

• (2)    если a G k n — произвольная строка (столбец), то для любого i, 1 6 i 6 n, найдется x G k n такой, что i-я строка (столбец) матрицы C (x) совпадает с a.

• 3.    Сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой

Лемма 2 [3, теорема 2.7.7] . Тор T нормализует группы G(a) и E(а). Следовательно, TG(a) и TE(a) — промежуточные подгруппы, содержащие тор T.

Лемма 3 [4, лемма 3] . Пусть b = (6 ij + a i e j ) — трансвекция из TG(a). Тогда a i e j G ^σ ij ^.

C Доказательство теоремы. Пусть b = (5ij + aijeij) — трансвекция из TE(а). Согласно лемме 3 имеем b G E(а). Далее, согласно лемме 1 для некоторой матрицы c G T матрица c-1bc отличается от единичной только первым столбцом, с другой стороны по лемме 2 c-1 bc E G(a). Следовательно, матрица c-1 bc E G(a) (а потому и матрица b) принадлежит правой части доказываемого равенства. B

С промежуточной подгруппой H, T 6 H 6 G , содержащей трансвекцию, связаны модули трансвекций (i = j )

Aij = Aij(H) = {a E k : tj(a) E H, i = j} и их кольца множителей

R ij = R ij (H) = R ij (A ij ) = { A E k : XA j C A ij } .

Очевидно, что A ij являются подгруппами аддитивной группы k ⁺ поля k ( R ij -модули). Положим A i = A ii , 2 6 i 6 n. Тогда [3, лемма 2.7.1] справедлива формула

A ij = J^{Ai +1 -} j ’      j <  ^{i ;}

• [^ ^dA n+i+1- j , j > i + ^{1 -}

• Будем предполагать, далее, что все кольца Rij совпадают между собой и равны кольцу R, Ai — целые идеалы кольца R, d ∈ R, R ⊇ R0 . Будем предполагать также, что
• A = A2 = A3 = - - - = An -
• Положим A1 = dA и рассмотрим сеть a = (ста) = a(Ai, A2,---, An), которую мы называем сетью ассоциированной с подгруппой H .

Из теоремы вытекает следующее утверждение.

Предложение 1. Группа TE ( ст а ) содержится в группе H .

Рассмотрим матрицу

		1	0	0 -	-- 0
		λ 2	1	0 -	-- 0
а =		λ 3	0	1 -	-- 0
	^	... λ n	... 0	... . 0 -	.. -- 1

Предложение 2 [4, лемма 4] . Если матрица a содержится в группе H, то λ i A 2 ⊆ A i +1 для всех i, 2 6 i 6 n — 1, и dX n A n C A _{n- 1} .

Лемма 4. Если матрица а содержится в группе H, то X i E R для всех i, 2 6 i 6 n — 1, и dX n E R. Далее, если A = R, то X i E R для всех i, 2 6 i 6 n.

C Если n = 2, то X 2 E A E R. Если же n >  3, то из предложения 2 следует, что X i E R для всех i, 2 6 i 6 n — 1. Далее, dX n A C A, откуда dX n E R. Если при этом A = R, то по доказанному t ii (X i ) E H для 2 6 i 6 n — 1. Умножая матрицу а на tn ( — X i ), мы получим матрицу t _n1 (X _n ) E H , откуда X _n E R. B