Об эргодичности фазового потока для волновых уравнений в четно-мерном пространстве

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения:

^П д d V

іі(т,і) = ^( — .A , (x) j n(x,t), x е R ⁿ , t е R,

*            j=i V j          /                                                 ()

, u| t =o = n o (x), n| _f =0 = X o (x), x е R ⁿ .

Предположим, что п > 4 и четное, A , (x) - действительнозначные функции класса С ^ , и A , (x) = 0 при |x| >  R o , где R o <  то.

Обозначим У(t) = (У ⁰ (t),У 1 (t)) = (n(^, t), й( - , t)), У = (У ⁰ , У 1 ) = (u o ,v o ). Тогда уравнение (1) принимает вид

У (t) = А (У(t)),   t е R,   У (0) = У,

где через A обозначается операторнозначная матрица

A = ( A0 ) . A = Е ( Д - .A , ₍ x) ) 2 .

Обозначим через B lO_c (R ⁿ ), s Е R, локальные пространства Соболева, то есть пространства Фреше распределений и Е D'(R^n-) с конечными полунормами:

1ЫМ = ||Л® (С(ж/R)u) |L2(Rn), где С Е C0°(Rn) с С(0) = 0, Л5ж = Ғ-^х(куіук}), (к) = V|k|2 + 1, и v = Fv — преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста v. Для У Е Co^(R") определим ҒУ(к) = J exp (гкж)У(ж)^ж.

Будем считать, что начальные данные Ү о = (u o ,v o ) комплексны и принадлежат фазовому пространству В = H iOc (R ⁿ ) ф B l0_)C (R ⁿ ) с полунормами:

для любого R > 0: |Ү 0 |т? =

( У (Ь(ж)| ² + |Vu о (ж)| ² + |v o (ж)| ² )^ж )     < то.

Ы<Я

Мы предполагаем, что начальные данные Ү о — случайный элемент пространства В . Распределение Ү о обозначается через ^ о .

На начальную меру ^ о накладываются условия Ml - M4 .

Ml . Мера ^ о имеет нулевое математическое ожидание, т.е. Е(Ү 0 (ж)) = 0, ж Е R ⁿ , где E обозначает интеграл по мере ц о (йҮ о Ү

M2 . Мера ^ о обладает конечной средней плотностью энергии:

E [ |и о (ж)| ² + |Vu о (ж)| ² + |ж о (ж)| ² ] < е о < то.

Определим корреляционную матрицу Q о (ж,у') = (Qo'(ж, у))     меры ^о следующим

\ о      /ф=0,1

образом:

^Qo ^(ж,у) = E ' ^{ү ( ж ) 0 Ү} о ы) , М = ^{0 , 1}

Заметим, что мы отождествляем комплексное и действительное пространства C = R ² и через 0 обозначаем тензорное произведение действительных векторов.

M3 . Корреляционные функции Q^ (ж, у) имеют вид

^Q o ^{( ж,}у) = 9 - ^{( ж —} у)< - (^ж пК- (у п ) ⁺ q + ^{( ж —} уК + ^{( ж} пК + ⁽ у п ).

Здесь функции С ± Е С “ (R) такие, что C ± (s) = 1 при ±s > a, C ± (s) = 0 при ±s < —а, а > 0, q ± (ж — у) - корреляционные функции некоторых трансляционно-инвариантных мер ц ± с нулевым средним значением, ж = (ж і , ж ₂ ,..., ж _п ), у = (у і , у ₂ ,..., у _п ).

Определение. Мера ^ называется трансляционно-инвариантной, если ^(Т ^ В) = ^(В ) для любого В Е В(В), һ Е R¹¹, где Т ^ Ү(ж) = Ү(ж + Һ) для всех Ү Е В, и В(В) обозначает o'-алгебру борелевских множеств пространства В.

Заметим, что начальная мера ^ о не является трансляционно-инвариантной, если 9 - = 9.

Наконец, мы предполагаем, что мера ^ о удовлетворяет условию перемешивания типа Ибрагимова. Чтобы сформулировать это условие (см. определение 17.2.2 в [1]), введем следующие обозначения. Для любого множества Л С R ⁿ обозначим через о (Л) наименьшую o'-алгебру борелевских множеств из В, относительно которой измеримы линейные функционалы Ү ^ (Ү, Ф) на В:

(Ү, Ф) = /

(Ү0(ж)Ф0(ж) + Ү 1(ж)Ф1(ж))^ж, Ү = (Ү0,Ү1), Ф = (Ф0, Ф1), где Ү ЕВ, Ф Е Со"(Rn) ф Со"(Rn), причем supp Ф С Л.

Определение. Мера ц о удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания Ибрагимова, если

₍ \        ^{| ц} о ^{( А} П В ) ^{- ц} о ^(А)ц о ^{( В )|}

^(г) = sup-----------—---> 0 при г ^ то,

Ц о ^{( В )}

где верхняя грань берется по всем множествам А Е ст(Л), В Е ^( В ), для которых Ц о (В ) > 0, и всем открытым выпуклым множествам Л , В С R ” , для которых р( Л , В^-) >  г >  0.

M4 . Мера ц о удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания типа

Ибрагимова, причем

о

г П ^- 1 ^ п/ (2( п +2)) (г)^г < то

Обозначим через p _t , t Е R, меру на В , которая является распределением случайного решения У (t) задачи (2). Основная цель статьи - доказать слабую сходимость мер p _t ,

P t ^ Ц ^ при t ^ то,

к предельной мере ц ^ , которая является трансляционно-инвариантной гауссовской мерой.

По определению, это означает сходимость

У f (У)ц t (dУ ) ^ j f (У)ц ^ (dУ )

при t ^ то

для любого ограниченного непрерывного функционала f (У) на соответствующем пространстве.

Для уравнения (1) сходимость (3) была доказана Комечем, Копыловой и Маузером [2] в случае пространственно-однородных начальных мер ц о . Для неоднородных начальных мер этот результат был получен для волнового уравнения в R ³ в работе [3], для уравнений Клейна–Гордона и гармонических кристаллов в работах [4] и [5] соответственно. В данной статье мы обобщаем эти результаты на случай волнового уравнения в R ” , где п > 4 и четно.

• 2.    Основные результаты

Следующая лемма вытекает из [6, теоремы V.3.1, V.3.2].

Лемма 1. Для любого У о Е В существует и притом единственное решение У (t) Е С (R, В ) задачи Коши (2) . Более того, оператор U (t) : У о ^ У (t) непрерывен на В для любого t Е R .

Мы предполагаем, что У о в уравнении (2) - измеримая случайная функция со значениями в (В, В ( В )). Поэтому решение У (t) = U (t)У о также является измеримой случайной функцией со значениями в (В, В (В)) в силу леммы 1.

Пусть p _t обозначает борелевскую вероятностную меру на В, которая является распределением У (t):

ц t (В) = ц о (и(-t)В), В Е В ( В ), t Е R.

Определим корреляционные функции меры p _t как R ² 0 R ² -значные обобщенные функции:

Qt (ж,У) = E ( У 4^x,t) 0 У ³ <У,*) ) , ij = 0,1, x,y Е R ” .

Прежде чем сформулировать основной результат, введем корреляционную матрицу предельной меры в случае постоянных коэффициентов (т.е. A j (ж) = 0). Определим для почти всех ж,у Е R ” матричнозначную функцию Q ^ (x,y) следующим образом:

^Q ^ ⁽ ^^,y ⁾ = (^{Q j ( ж,}У ⁾) _і , _{3 =о} , ₁ = Ч ^ ^{(ж -} У), ^ж,У ^Е R ” ,                    ⁽⁴⁾

где в преобразовании Фурье q _ro (k) = q ⁺ (к) + q-,(к), и

С (к) = 2 ( q ⁺ (к) + C(k)q ⁺ (k)C^T (к) ) ,

9-,(^к) = sign(fe _n )| CCXkq - (к)

- q ^- (к) с ^т (к))

с матрицей С (к) вида

С (к) = (

о

|к| ^-

-|к|

). Здесь q+ = ⁽q + + q - ^{) / 2 ,} q = ⁽q + - q — ^{) / 2} .

Обозначим через 2 ^ (Ф, Ф) действительную квадратичную форму на пространстве

С 0 ^ (R ⁿ ) ф C^R " ), определенную следующим образом:

С х ^(ф , ^ф) = ^ ( (Q ^ ^(ж,у), ФФ п ^{0 ф j (} у) ) <Ыу,               (5)

M=0,1 J где Qoo(ж, у) определены в уравнении (4), (•, •) обозначает действительное скалярное произведение в R2 х R2 = R4.

Основным результатом данной статьи является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть п > 4 , четное, и выполнены условия Ml - M4 на меру ц о . Тогда меры ц ₁ слабо сходятся в пространстве И ^- = Н 1 ^{- £} (R ⁿ ) ф H - c⁰⁰ " ) с любым е > 0 :

х ц1     ^ цго

при t ^ тс.

Предельная мера ц _го является гауссовой на пространстве И . Более того, поток U (t) удовлетворяет условию перемешивания относительно меры ц ^ , т.е. для любых f , g Е L^ W , ц ^ ) справедлива следующая сходимость:

Вт У /(U (t)Y)g(Y ) ц ^ (ҮҮ ) = ^ /(У) ц^Ү ) ^ g(Y ) ц^Ү ).

В частности, фазовый поток U (t) - эргодический, т.е. для любых / Е L2(' H , ц ^ )

1 г'

-im -    /(U(t)Y)dt = т >^ 1 0q

j /(Y) Ц ro (dY ) (mod ц ^ ).

Объясним основные шаги доказательства теоремы 2.

В случае постоянных коэффициентов, т.е. A j (ж) = 0, доказательство сходимости (6) разбивается на три этапа, используя общую стратегию работ [2] – [5].

• I.    Семейство мер { ц t ,t Е R} является слабо компактным на пространстве И ^-е , е >  0.

• II.    Корреляционные матрицы сходятся к пределу: для г, у = 0,1,

^Qt^{3 ( ж,}у)= / (^Y Ч^{ж ) 0 Y j (} у)) цt^(dү ) ^^Q ro ^{( ж,}у),   ^t ^ ^тс .

• III.    Характеристические функционалы мер ц ₁ сходятся к гауссовскому характеристическому функционалу:

  ц і ( ^ф ) = j

  
  

  exp(i(Y, Ф))ц t (dY) ^ exp

  
  

  { - 2 2 го (Ф, ф) } ,

  
  

  t ^ тс,

  
  

где квадратичная форма Q _ro определена соотношением (5).

Свойство I следует из теоремы Прохорова о компактности с использованием методов Вишика и Фурсикова [7], разработанных ими для задач статистической гидромеханики. Из явного выражения для корреляционных матриц Q^(ж, у) выводится равномерная оценка для средней локальной энергии по мере ц1. Из этой оценки вытекает выполнение условий теоремы Прохорова в силу теоремы вложения Соболева. Свойство II выводится из явного выражения для корреляционных матриц Q^(ж, у) так же, как и в работе [3] для волнового уравнения в R3 . Отметим различия в доказательствах в случае четной и нечетной размерности пространства R". В случае нечетного п формула Герглотца-Петровского позволяет выразить корреляционные функции Q^ (ж, у) через интегралы по сферам радиуса t. В пределе при t ^ то сферы становятся плоскостями. Поэтому доказательства свойств I и II в случае нечетного п проводятся в координатном пространстве (см. [3]). В случае четного п корреляционные функции Q^ (ж, у) выражаются через интегралы по шару радиуса t, и метод доказательства [3] уже не работает. Поэтому в этом случае свойства I и II проверяются в пространстве Фурье, используя методы работ [4, 5]. Наконец, свойство III проверяется, используя метод «комнат – коридоров» Бернштейна, который был развит в работах [2, 3].

Все результаты допускают обобщение на случай переменных коэффициентов, которые являются постоянными вне конечной области. Это обобщение вытекает из результата для постоянных коэффициентов с использованием теории рассеяния для решений с бесконечной энергией, которая была построена Комечем, Копыловой и Маузером [2].

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ-15-01-03587.