Об обобщенных древесных структурах групп Артина
Автор: Добрынина Ирина Васильевна, Угаров Андрей Сергеевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
Основными алгоритмическими проблемами теории групп, сформулированными в начале прошлого века для конечно определенных групп, являются проблемы равенства, сопряженности слов и проблема изоморфизма групп. Исследование данных проблем привело к возникновению комбинаторной теории групп. Неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп доказана П. С. Новиковым. Это привело к рассмотрению алгоритмических проблем в конкретных группах. К. Аппелем и П. Шуппом в 1983 г. определен класс групп Артина экстрабольшого типа, где ими решены проблемы равенства и сопряженности слов. Группы Артина с древесной структурой в 2003 г. введены В. Н. Безверхним. В графе, соответствующем группе Артина, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Артина с древесной структурой. В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой решены основные алгоритмические проблемы в данном классе групп Артина. В статье рассматривается строение диаграмм над обобщенными древесными структурами групп Артина, представляющих собой древесные произведения групп Артина экстрабольшого типа и групп Артина с древесной структурой, объединенных по циклическим подгруппам, соответствующим образующим этих групп, и их применение к эффективному выписыванию образующих централизатора элемента и решению проблемы сопряженности слов в данном классе групп. В доказательстве основного результата данной статьи используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним.
Группа артина, алгоритмические проблемы, древесное произведение групп, диаграмма
Короткий адрес: https://sciup.org/143178030
IDR: 143178030 | УДК: 512.54 | DOI: 10.46698/l4033-4336-3582-u
On generalized tree structures of Artin groups
The main algorithmic problems in group theory formulated at the beginning of XX century, are the problem of words, the problem of the conjugation of words and the isomorphism problem for finitely presented groups. P. S. Novikov proved the unsolvability of the main algorithmic problems in the class of finitely presented groups. Therefore, algorithmic problems are studied in particular groups. In 1983, K. Appel and P. Schupp defined a class of Artin groups of extra-large type, in which they solved the problems of equality and conjugation of words. In 2003, V. N. Bezverkhnii introduced the class of Artin groups with a tree structure. In the graph corresponding to the Artin group, it is always possible to allocate the maximum subgraph corresponding to the Artin group with a tree structure. V. N. Bezverkhnii and O. Y. Platonova solved algorithmic problem in the class of Artin groups. The article examines the structure of diagrams over generalized tree structures of Artin groups, which are tree products of Artin groups of extra-large type and Artin groups with a tree structure, amalgamated by cyclic subgroups corresponding to the generators of these groups, and their application to the effective writing out generators of the centralizer of an element and solving the problem of conjugation of words in this class of groups. The proof of the main results uses the method of diagrams worked out by van Kampen, reopened by R. Lindon and refined by V. N. Bezverkhnii.
Список литературы Об обобщенных древесных структурах групп Артина
- Dehn M. Über Unendliche Diskontinuierliche Gruppen // Math. Ann.—1911.—Vol. 71.—P. 116-144. DOI: 10.1007/BF01456932.
- Tietze H. Über die Topologischen Invarianten Mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten // Monatsh. Math. Phys.—1908.—Vol. 19.—P. 1-118. DOI: 10.1007/BF01736688.
- Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.—М.: Наука, 1974.
- ЛиндонР., Шуп П. Комбинаторная теория групп.—М.: Мир, 1980.
- Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.—М.: Наука, 1989.
- Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Тр. МИАН СССР.—1955.—Т. 44.—C. 3-143.
- Appel К., Schupp P. Artins Groups and Infinite Coxter Groups // Ivent. Math.—1983.—Vol. 72, № 2.— P. 201-220. DOI: 10.1007/BF01389320.
- Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. V Междунар. конф.—Тула, 2003.—C. 33-34.
- Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2006.—Т. 12, № 1.—С. 67-82.
- Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос // Мат. сб.—1971.—Т. 86 (128), № 2 (10).—С. 171-179.
- Holt D. F., Rees S. Biautomatic Structures in Systolic Artin Groups // Internat. J. Algebra Comput.— 2021.—Vol. 31, № 03.—P. 365-391. DOI: 10.1142/S0218196721500193.
- Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундам. и прикл. математика.—1999.—Т. 5, № 1.—С. 1-38.
- Безверхний B. H. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.—Тула: ТГПУ, 1986.—С. 26-61.
- Безверхний В. Н., Кузнецова А. Н. Разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа // Чебышевский сб.—2008.—Т. 9, № 1.—С. 50-69.
- Безверхний B. H., Безверхняя Н. Б., Добрынина И. В., Инченко О. В., Устян А. Е. Об алгоритмических проблемах в группах Кокстера // Чебышевский сб.—2016.—Т. 17, № 4.—С. 23-50. DOI: 10.22405/2226-8383-2016-17-4-23-50.
- Добрынина И. В., Угаров А. С. О централизаторе элемента в обобщенных древесных структурах групп Артина // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, прило-жени и проблемы истории: материалы XVII Междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и 90-летию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Скубенко.—Тула: ТГПУ, 2019.—С. 42-44.
