Об обратимости и спектре интегрального оператора Винера - Хопфа в счетно-нормированном пространстве функций со степенным характером поведения на бесконечности

Линейное пространство измеримых локально суммируемых на множестве M С Rⁿ функций будем обозначать L ^loc (M) .

Пусть m G Z ₊, обозначим через L { m } линейное пространство измеримых, суммируемых на R с весом ( | x | + 1) ^т вектор-функций L { m } = {^(x) : R ( | x | + 1) m | ^(x) | dx <  to} . Вводя норму ||^ (x) | m = R ( | x | + 1) m | ^(x) | n dx , превращаем L { m } в банахово пространство. Пространство, сопряженное к L { m } , обозначим через L {- m } . Из теоремы Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала вытекает, что пространство L {- m } может быть реализовано как банахово пространство измеримых на оси функций, топология в котором порождается нормой ||^ (x) | _{- m} = supess _{x e} R (хулу т • Рассмотрим линейное пространство L{to} = |"|“₌₀ L { m } и снабдим его счетно-нормированной топологией, порождаемой набором монотонных попарно согласованных норм | . | _m , m G Z ^. Сопряженное к счетно-нормированному пространству L{to} пространство обозначим L{-to} : (L{ot})* = L{-to} . Хорошо известно, L{-to} = Um=0 L {— m } (см., например, [1]). Будем рассматривать линейное пространство L{-to} как топологическое пространство с сильной топологией.

В пространствах L { m } , m G Z, определим, операторы проектирования, действующие по формулам (P ± f ) (x) = 2 (1 ± signx) f (x) . Для подпространств, порождаемых этими проекторами, будем пользоваться обозначениями L ± { m } = P ± (L { m } ) , m G Z.

Отметим, что для всех m G Z + U {то} имеет место вложение L { m } С L (R) , m G Z + U {то} , где L (R) — банахово пространство измеримых суммируемых на R функций. В частности, это означает, что для всех функций f ( x ) G L { m } определено преобразование Фурье F [f ] (А) = R e i^Xx f (x) dx . Положим C m (R) = F (L { m } ) , C m (R) = F (L ± { m } ) , m G Z + U {то} . Очевидно, операторы P ± = FP ± F ^—1 явля-

ются операторами проектирования, действующими в пространствах C ^m ( R ) , причем C ± (R) = P ± ( C ^m (R) }. Введем также следующие пространства: C ^m (R) = C ® C ^m (R) , C m (R) = C Ф C ± ( R), m G Z + и {то} . Нетрудно видеть, что функции из подпространств C _± ^m ( R ) аналитически продолжимы в области C ^± соответственно.

При любом фиксированном m G Z + пространство C ^m (R) есть банахова алгебра с единицей относительно поточечных операций и топологии, порождаемой нормой | а + F [^] | _m = | а | + | ^ | _m , m G Z +. Пространство C “ (R) является топологической алгеброй с единицей, счетно-нормированная топология которой определяется следующим набором норм |-| _m , m G Z + ; C m (R) — топологические подалгебры C^m (R) с единицей для всех m G Z ₊ U {to} .

Рассмотрим следующий оператор: C (k) : L^ {to} ^ L2 {to}, (C (k) ^) (x) = J°°cx>k (x — s) ^ (s) ds, где k (x) G L {то}. Этот оператор называют оператором свертки, а функцию k (x) называют ядром этого интегрального оператора. Хорошо известно, что необходимым и достаточным условием ограниченности оператора C (k) является заявленное выше условие k (x) G L {то}. С оператором свертки тесно связан интегральный оператор Винера — Хопфа W (a, k) = al + P+ C (k) I, W (a, k) : L+ {to} ^ L+ {to}. Символом оператора W (a, k) называют функцию (A (a, k)) (А) = a + F [k] (А) G C°° (R). Наряду с символом (A (a,k)) (А) для описания свойств оператора Винера — Хопфа используют также функцию a (€) = (A (a, k)) ii 1—0, € G Г. Для того чтобы различать эти функции первую из них будем называть λ-символом, а вторую ξ -символом оператора Винера — Хопфа (см. [2, с. 64–65]). Оператор Винера — Хопфа был подробно изучен в многочисленных оригинальных исследованиях, результаты которых были отражены в монографиях и обзорных статьях [1–5]. Для этого оператора построена полная теория Нетера в широком классе банаховых и счетно-нормированных пространств. Отметим, что критерий обратимости оператора Винера — Хопфа в пространствах суммируемых функций позволяет достаточно эффективно описать спектр этого оператора. С другой стороны, критерий обратимости оператора Винера — Хопфа в счетно-нормированных пространствах типа L+ {то} весьма громоздок и трудно проверяем (см. [1]). Видимо, в связи с этим, задача об описании спектра интегрального оператора Винера — Хопфа практически не рассматривалась. В этой работе введено и изучено понятие вырожденной гладкой факторизации типа минус. Оказалось, что обратимость рассматриваемого оператора Винера — Хопфа равносильна наличию канонической гладкой вырожденной факторизации типа минус его символа. Это позволило дать эффективный критерий обратимости в случае гладкого символа и получить описание спектра оператора Винера — Хопфа W (a, k) : L+ {то} ^ L+ {то}.

• 2.    Вспомогательные результаты

В пространстве L ₊ {то} рассмотрим следующий интегральный оператор (K^) (x) = f 0 ^ю k(x, s)^(s) ds , x >  0 , предполагая, что ядро k(x, s') локально суммируемо на R ^ .

Лемма 1. Оператор K : L ₊ {to} ^ L + {to} ограничен в пространстве L ₊ {то} тогда и только тогда, когда почти для любого фиксированного s G R ₊ функция k(x, s) G L ₊ {to} и для любого m G Z ₊ найдутся n _m G Z ₊ и c m G R + так, что \\ k(x, s)|| m C c m (s + 1) n m .

• < Необходимость. Хорошо известно, что линейный оператор K ограничен в счетно-нормированном пространстве с порождающей системой норм ||-||_m, m G Z + тогда и только тогда, когда по любому m G Z + найдутся n _m G Z + и c m G R + так, что IIKHI m ^C c m IMIn_m для любого н G L + {to} (см., например, [1]). Для оператора K это неравенство означает, что f^x + 1) m \ /Ю k(x,t)^(t) dt \ dx C c m ^ x + 1) n ^m Ih ( x ) I dx , где H G L + {to} . В частности, последнее неравенство имеет место для характеристической функции отрезка [s, s + As] , s G R +, As > 0 ,

  ∞

  J (x + 1) ^m

  
  

  s +A s

  У k(x,t)dt

  s

  
  

  dx C c m

  
  

  s +A s

  J (x + i) n ^m dx = c _m ^ (s + i) n ^m As + o(As) ) .

  
  

  s

  
  

Отсюда имеем / Ю (x + 1) m \A s fs ^+As k(x,t)dt \ dx C c _m ^ (s + 1) n ^m + o A s ) ). Переходя в последнем неравенстве к пределу при As ^ 0 и учитывая, что почти каждая точка из области определения измеримой функции есть точка Лебега, получим f Ю (x + 1) m | k(x,s) | dx C c m (s + 1) n ^m . Таким образом, почти для любого фиксированного s G R + k(x,s) G L + {to} и для любого m G Z + найдутся n _m G Z + и c m G R + так, что I\ k(x,s) II _m C c m (s + 1) n ^m .

Достаточность. Пусть почти для любого фиксированного s G R + , k(x,s) G L + {to} и для любого m G Z + найдутся n _m G Z + и c m G R + так, что f^x + 1) ^m | k(x,s) | dx C c m (s + 1) n ^m . Тогда, каково бы ни было н G L + {to} , имеем

∞

∞

\ KH \ m = /& + 1) m У k(x, s)^(s) ds \ dx C

о

∞∞

Ч1^"11/

о 0

о

(x + 1) ^m | k(x, s) | dx ds C c m

∞∞

I(x + 1^m f lk(x, s) | |h(s)| ds dx

∞

I (s+ 1) ^{n m} | H(s) |

^ds = c m W v W n m . >

Очевидно, оператор Винера — Хопфа является частным случаем оператора al + K , ядро которого зависит от разности аргументов: k(x,s) = k(x — s) . Положим k . (x) = (P . k)(x) , k - (x) = (P - k)(x) . Ясно, что функции k . (x) , k - (x) измеримы и локально интегрируемы вместе с k(x) . Имеет место следующее утверждение, описывающее ограниченность оператора Винера — Хопфа в пространстве L ₊ {w} .

Теорема 1. Оператор W (a, k) : L . {ot} ^ L . {ot} ограничен тогда и только тогда, когда выполнены условия:

• 1)    k . (x) G L . {ot}; 2) k - ( — x) G L . {—от} .

• <1 Необходимость. В силу леммы 1 ограниченность оператора K в пространстве L . {ot} равносильна тому, что почти для любого фиксированного s G R и для любого m G Z . найдутся n _m G Z . и c m G R . так, что f^X +1) m | k(x — s) | dx C c _m (s + 1) n m . Сделав в интеграле из последнего неравенства замену переменных x — s = t , получим, что оператор K ограничен в пространстве L . {ot} тогда и только тогда, когда выполнено условие /— S (s + t + 1) m | k(t) | dt C c m (s + 1) n m , s G R .. Ясно, что последнее неравенство равносильно выполнению двух следующих:

∞

• а)    ^(s + 1 + 1) m | k(t) I dt C C m (s + 1) n m , s G R . ;

о

о

• б)    У (s + 1 + 1) m | k(t) | dt C C m (s + 1) n m , s G R ₊ .

  -s

При s = 0 из а) получаем f^tt + 1) m | k(t) | dt C c m , m G Z ., что и означает 1). Для завершения доказательства необходимости осталось убедиться в том, что условие б) влечет условие 2). Действительно, если имеет место б), то при m = 0 получаем / ⁰ s | k(t) | dt C c o (s + 1) n ⁰ , s G R .. Выполнив в интеграле замену переменного t = — в и переобозначив переменные, получим fX | k - ( — s) | ds C c o (x + 1) n ⁰ , x G R . . Покажем, что последнее неравенство имеет место тогда и только тогда, когда k - ( — x) G L . {—от} . В самом деле, если выполнено условие fX | k - ( — s) | ds C c(x + 1) n ⁰ , x G R ., то

∞∞∞ f Ik- (—s)L      Kt f dt

I г---т— ds = ni |k_(—s)| ds -——-t

J (s + 1) n 1         1J ^{v л} J (t + 1) ⁿ 1 + ¹

0                           0

∞t dtdt

= nL    г-----;--- / Ik- (—s)| ds C nic / г-----;-------т < от,

• 1J (t + i)ni.iJ 1 v              1 0 (t + i)ni-no.1

|k(s) I если П1 > nj + 1. Обратно, если J (s.1)n1 ds < от, то при x G R. справедлива следующая цепочка неравенств:

xx

1                                   | k ( — s ) |               | k ( — s ) |

• -----—— / |k(—s)| ds C г---т— ds C    г---т— ds = cq.

(x + 1)n1 J n   71      J (s + 1)n1       J (s + 1)n1

ooo

Но это и означает выполнение условия 2).

Достаточность. Пусть k . (x) G L . {от} , тогда f^ tt + 1) m | k(t) | dt C cm , s G R . для всех m G Z .. Поскольку t + s + 1 C (s + 1) (t + 1) , имеем ^(t + s + 1) m | k(t) | dt C (s + 1) m / ^ (t + 1) m | k(t) | dt = C m (s + 1) m , s G R ., где C m = /“(t + 1) m | k(t) | dt .

Для доказательства того, что из 2) следует б) воспользуемся методом математической индукции по числу m G Z ₊ . Действительно, если выполнено 2), то имеет место и неравенство f - S | k(t) | dt С c m (s + 1) n 0 , s G R + , означающее справедливость б) при m = 0 . Предположим, что б) имеет место при m = к и рассмотрим интеграл f ⁰ s (s + 1 + 1) ^k+1 | k(t) | dt , s G R +. Очевидно, справедливы следующие соотношения:

о

J (s + t + 1) ^k+1

-s

о

о

| k(t) | dt = (s + 1) ^ (s + t + 1) ^k | k(t) | dt + J t(s + t + 1) k | k(t) l dt

-s

-s

о

С (s + 1) !(s + t + 1) ^k | k(t) | dt С c k (s + 1) n ^{k +1} ,    s G R₊. >

-s

Лемма 2. Если Х-символ оператора Винера — Хопфа W (а, к) допускает представление A (а, к) = A (a i , к - ) A (а₂, к о ) A (а з , к + ), где A (a j , к ± ) G C ± (R), то имеет место представление W (а, к) = W (а 1 , к - ) W (а ₂ , к о ) W (а з , к + ).

Свойство, сформулированное в лемме 3, называют частичной мультипликативностью (см. [4, 6]).

Лемма 3. Оператор Винера — Хопфа W (1, к) : L ₊ {то} ^ L + {то} с Х-символом A (1, к) = Ц у =1 ^^x~j^ j , Re X j = 0 , j = 1, 2,..., n, обратим.

<1 Рассмотрим элементарный оператор Винера — Хопфа W (1,k j ) с Х -символом - — j , Re X j = 0 . Поскольку ^— j = 1 — (1 + iX j ) F [ e -i ] (X) G C °° (R) , где e - = j (1 + sign x) e x , то в силу свойства частичной мультипликативности W (1, к) = Hn=i W (1, к j ) ■ Поэтому для доказательства обратимости оператора W (1, к) : L ₊ {то} ^ L + {то} достаточно доказать, что обратим элементарный оператор W (1,k j ) ■ Очевидно,

∞

(W ^кз) ^) ^(x) = ^

(x) — ( 1+ iX j ) I

e

x

s

^ (s) ds,

x >  0.

x

Рассмотрим оператор W ¹ (1, k j ) : L + {то} ^ L + {то} , действующий по правилу

∞

(W ¹ (1, k j ) ^ ) (x) = ^ (x) + (1 + iX j

)

e ^{- -}(x ^{- s)} ^ (s) ds,

x >  0 .

где сомножители правой части удовлетворяют условиям 1) B ± (A) g C “ (R) , 2) операторы Винера — Хопфа с A -символами B ± (A) обратимы в пространстве L ₊ {от} .

Число к g Z будем называть индексом гладкой вырожденной факторизации типа минус в алгебре C “ (R) . Гладкую вырожденную факторизацию типа минус с нулевым индексом будем называть канонической.

Замечание. Из лемм 2, 3 следует, что условия 1) и 2) в определении вырожденной гладкой факторизации типа минус означают, что функция B - (A) , вообще говоря, может иметь нули на вещественной оси, а функция B + (A ) — нет. Это объясняет термин «вырожденная факторизация типа минус».

Теорема 2. Оператор Винера — Хопфа W (a, k) : L {от} ^ L {от} обратим тогда и только тогда, когда его A-символ (A (a, k)) (A) = a + F [k] (A) g C “ (R) допускает каноническую вырожденную факторизацию типа минус в а.лгебре C “ (R) .

⊳ Достаточность утверждения немедленно вытекает из свойства частичной мультипликативности и определения гладкой вырожденной факторизации типа минус. Если оператор W (a, k) обратим, то согласно теореме Зильберманна его символ имеет на вещественной оси не более чем конечное число нулей конечных порядков (см. [1, 7]). Пусть Ak — все нули A-символа кратностей nk, k = 1, 2,... , s, соответственно. Рассмотрим функ цию (Ai (a,k))(A) = Пк=1 (“->)

-

n _k

(A (a,k))(A) . Ясно, что (A _i (a,k))(A) g C “ (R) и

(A i (a,k))(A) = 0 , A g R . Как известно, тогда функция (A i (a,k))(A) допускает стандартную факторизацию Винера — Хопфа A i (a, k) = A ^- (a, k) (“ + }j A ⁺ (a, k) , где к = ind ^gR A _i (a, k) , а A ± (a, k) = exp p ± ( In ( j + i j A _i (a, k) jj g GC ± (R) . В силу свойства частичной мультипликативности W (a, k) = Hn =i W (1, k j ) W (1, k - ) DW (a, k + ) , где Пs=i (W (1, k j )) n ^k , W (1, k - ) , D , W (a, k . ) — операторы Винера — Хопфа с A -символами s     λ-λ ^{n k                       κ}

П k =i ( “-“ k) , A (a,k) , (д-7 I , A ⁺ (a, k) соответственно. Все операторы в последнем равенстве обратимы, что влечет за собой обратимость оператора D . Последнее, как известно, справедливо тогда и только тогда, когда к = 0 (см. [2, 4]). Таким образом, имеет место следующее представление λ -символа рассматриваемого оператора s     λ-λ ^{n k}

A (a, k) = Hk =i ( \-k ) A (1, k) A ⁺ (a, k) . Пользуясь леммами 3, 4 нетрудно убедиться в том, что это представление является гладкой вырожденной канонической факторизацией λ -символа рассматриваемого оператора. ⊲

Пусть a (£) , £ g Г, — гладкая функция, определенная на единичной окружности (a(£) g C “ (Г)) . Предположим, что эта функция имеет на Г конечное число нулей конечных порядков и пусть Z k все нули a (£) порядков n k , k = 1, 2,... , s, соответственно. Назовем число n (a) = £k =i n k суммарным числом нулей этой функции.

Сингулярным индексом функции a(£) g C“(Г), имеющей конечное число нулей ко нечных кратностей, будем называть число кс(а) = П^v.p. Jr aajjfy d£.

Теорема 3. λ-символ оператора Винера — Хопфа допускает гладкую вырожденную каноническую факторизацию типа минус тогда и только тогда, когда соответствующий £-символ a (£) = (A (a, k)) (i | — |^ , £ g Г, удовлетворяет условиям:

• 1)    имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков;

• 2)    суммарное число нулей и сингулярный индекс £-символа связаны соотношением K _c (a) + n(a) = 0 .

• 4. Спектр оператора Винера — Хопфа

<1 Пусть выполнены условия 1), 2) и £k — все нули функции a (£) , £ g Г, кратностей n k , k = 1,2,...,s . Тогда функция a i (£) = H s =o ( £ ^-i - £k^ n^kk a (£) g

C ^ж (Г) не обращается в нуль на Г и поэтому допускает факторизацию Винера — Хопфа. Тогда а (£) = n S =₀ ( £ - 1 - £ k ¹ ) n ^k a - (£) £ ^к a ⁺ (£) , где к = ind ^ _e r a i (£) , а а ± (£) = exp (P ± ((ln£ ^-к ) a i (£))) . Вычисляя сингулярный индекс функции а (£) = a = к ^-1 — £ k 1) n k a i (£) , получим к _с (a) = — n (a) + 2к . Отсюда с учетом 2) получаем 2к = K c (a) + n(a) = 0 . Таким образом, a (£) = П у =о ( £ - 1 - £ ^—1 ) n k a - (£) a ⁺ (£) . Тогда ⁽A ^(a,^k))(A) = ^a ( X +) = ^{a (£)} = ⁿ s =o ((^) ^— ( X — i )) k ^a - ( X +) ^{a +} ( ^ + i ), ^где A k = i 1 — ^ k , k = 1,2,...,s . Нетрудно видеть, пользуясь леммами 3, 4, что последнее представление является канонической гладкой вырожденной факторизацией типа минус λ -символа оператора Винера — Хопфа. Обратно, если оператор Винера — Хопфа W (a, k) : L ₊ {w} ^ L ₊ {го} обратим, то по теореме Зильберманна [1, 7] его £ -символ имеет не более чем конечное число нулей конечных порядков. Выделяя эти нули, как и выше, получим представление a (£) = n S =o ( £ ¹ — £ _k ¹ ) n k a (£) £ ^K a ⁺ (£) . Из этого представления следует, что λ -символа оператора Винера — Хопфа допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус с индексом факторизации κ . В силу того, что факторизация каноническая к = 0 . Но, как и выше, к _с (a) = — n (a) + 2к , поэтому условие 2) выполняется. ⊲

Следствие. Оператор Винера — Хопфа W (a, k) : L ₊ {w} ^ L ₊ {w} обратим тогда и только тогда, когда его £ -символ удовлетворяет условиям 1) , 2) .

Теорема 3 позволяет описать резольвентное множество оператора W (a, k) : L {w} ^ L {w} с £-символом a (£) следующим образом. Резольвентное множество оператора W (a, k) состоит из тех и только тех д G C, которые удовлетворяют условиям: 1) n (a (£) — д) < w, 2) кс (n (a (£) — д)) + n (a (£) — д) = 0. Следовательно, спектр оператора W (a, k) состоит из всех тех д G C, для которых нарушается либо условие 1), либо условие 2).

Пусть a (£) = (A (a, k)) ( i |+ | ), £ G Г . Если a (£) G C » (Г)

, то эта функция порожда-

ет ограниченные операторы Винера — Хопфа, и в пространстве L+ {w} и в простран стве L+ (R). Условимся каждый из этих операторов обозначать, по-прежнему, W (a, k), а их резольвентные множества и спектры р» (W (a,k)a), a» (W (a,k)); р2 (W (a,k)), ^2 (W (a, k)) соответственно.

Теорема 4. Имеют место вложения р » (W (a, k) _a ) Э р ₂ (W (a, k)) , a » (W (a, k)) C CT 2 (W (a, k)) .

• <1 В самом деле, если a (£) — д = 0 , £ G Г , то условие 2) означает, что к _с (a (£) — д) = 0 . Поскольку к _с (a (£) — д) = 2ind ^ _e r (a (£) — д) , то ind ^ _e r (a (£) — д) = 0 . Однако, хорошо известно (см., например, [4]), что выполнение условий a (£) — д = 0 , £ G Г , ind g _e r (a (£) — д) = 0 являются необходимыми и достаточными условиями обратимости оператора W (a, k) в пространстве L + (R) , что и доказывает утверждение. >

Отметим, что иногда удается наверняка утверждать, что имеют место строгие вло- жения резольвентных множеств и спектров или строгие равенства.

Теорема 5. Пусть функция a (£) G C “ (Г) осуществляет конформное отображение области, содержащей единичную окружность Г, и является £ -символом интегрального оператора Винера — Хопфа W (a, k) . Тогда возможны следующие ситуации:

• 1)    Р » (W (a, k) _a ) = р 2 (W (a, k)) U a (Г), a _№ (W (a, k)) = a 2 (W (a, k)) \ a (Г) , если найдется, хотя бы одна точка д = a (£ о ) G р » , £ о G Г;

• 2)    Р ю (W (a, k) _a ) = р ₂ (W (а, k)) , а _ж (W (а, k)) = а ₂ (W (а, k)) , если найдется, хотя бы одна точка р = a (£ q ) / р _ж (W (a, k)), £ q G Г .

• <1    Заметим, прежде всего, что для любого р = a (£ q ) , £ q G Г, функция a (£) — р = a (£) — a (£ q ) имеет в точке £ q G Г нуль. При этом в силу конформности, (a (£) — р) = a' (£) = 0 , £ G Г , поэтому это обязательно нуль первого порядка, т. е. n(a (£) — р) = 1 для любых р G a (Г) . Таким образом, для р = a (£ q ) G р _ж (T a ) , £ q G Г выполнение условия 2) описания резольвентного множества означает, что K c (a (£) — р) = — 1 , р = a (£ q ) . Но, тогда, пользуясь определением сингулярного индекса, имеем K c (a (£) — р) = n1i v.p. Г aa^ ) — ^ d£ = - 1 , р = a (£ q ) . С другой стороны, хорошо известно, что Пр v.p . ^ aag — Д d£ есть непрерывная функция параметра р G a (Г) , принимающая целочисленные значения (см., например, [3]). Поэтому условие K c (a (£) — р) = — 1 выполняется для любого р = a (£ q ) G a (Г) , т. е. оператор T _a_\ : С + Ю (Г) ^ С + Ю (Г) обратим при всех р = a (£ q ) G a (Г) . Следовательно, a (Г) С р _ж (W (a,k)) , что и доказывает утверждение 1). Утверждение 2) доказывается аналогично. >

Следующие примеры показывают, что могут реализовываться обе ситуации, указанные в теореме 5, а при нарушении условий теоремы возможна ситуация, при которой непустая часть множества a (Г) содержится в спектре оператора W ( а, k ) и непустая часть — в резольвентном множестве этого оператора.

Пример 1. Пусть A -символ оператора Винера — Хопфа имеет вид A (1,k) = y - i , тогда а ^ (W (1, k)) = а ₂ (W (1, k)) = D ⁺ .

Пример 2. Пусть A -символ оператора Винера — Хопфа имеет вид A (1, k) = у— , тогда а ж (W (1, k)) = а ₂ (W (1, k)) \ Г = D ⁺ .

Утверждения, приведенные в примерах 1, 2 вытекают из лемм 3, 4.

*

Пример 3. Пусть A -символ оператора Винера — Хопфа имеет вид A (0, k) =

Нетрудно видеть, что £-символ этого оператора имеет вид a (£) = (£-1 — 1) n и в точке £ = 1 отображение £ н (£-1 — 1) n не является конформным. Простые вычисления показывают, что

• 1)    точка р = 0 является точкой резольвентного множества и является граничной точкой спектра, если n = 1, 2, 3 . При этом оба множества а _ж (W (1,k)) Qa (Г) и Р ю (W (1, k)) П a (Г) непусты.

• 2)    точка р = 0 является изолированной точкой резольвентного множества, если n ^ 4 .