Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка

1. Постановка задачи. В области D рассматривается система квазилинейных дифференциальных уравнений вида

^ u + A 1 ( t , x , u = f 1 ( t , x , u, ^ , o (t ) ) , u = u ( t , x ),

< d t                 dx(1)

+ A 2 ( t , x , u , ^ )     = f 2 ( t , x , u , ^ , n ( t ) ) , ^ = ^ ( t , x )

l d td с начальными u (t, x)| , = Ф1( x),(2)

t t 0

^( t , x )|;==Ф Ф2( x)

t t 0

и дополнительными условиями u (t,x )| x=x0 = ¥i( t),

^( t, x )|     =^2( t),(5)

xxo где      Ai (t,x,u,^)e C(DxR2), fi (t,x,u,^,to(t))e C(DxR2 x^10;TJ),      to(t) = (^(t),n(t)), dL = 1,dx = a 1 (t,x,u,^), dt- = 1,dx = A2(t,x,u,У). т i = 1,2,          (7(t),n(t)e CГ10;T1, ат dT               dT    dT                                                 L J

D = Г 1 0 ; T Jx R , 0 <  1 0 <  T <^to , x 0 e R , R = ( —^ ; ^ ) .

Системы уравнений вида (1) встречаются при решении многих задач механики. Стандартные методы позволяют найти точные (частные) решения квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка при конкретных случаях нелинейных функций, входящих в данное уравнение [1]. Для нахождения общих решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с общими нелинейными функциями эффективным является метод, который позволяет заменить поставленную задачу эквивалентным ей нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

В данной работе изучается обратная задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений, где восстанавливаемые функции с т ( t ), п ( t ) находятся в нелинейной правой части данной системы уравнений. При решении обратной задачи (1)–(5) относительно восстанавливаемых функций получаем систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которую с помощью нелинейного интегрального преобразования сводим к специальному виду системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Отметим, что изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Библиография основных публикаций, посвященных теории линейных обратных задач, приведена в [2, 3].

Определение. Решением обратной задачи (1)-(5) называется четверка непрерывных функций { u ( t , x ), д ( t , x ); с т ( t ), n ( t ) } , удовлетворяющая систему уравнений (1) и условиям (2)-(5).

• 2.    Сведение задачи Коши (1)–(3) к системе нелинейных интегральных уравнений

Рассмотрим параметрическое задание характеристик как решения систем:

dtdx

— = 1, — = л, t,x,и ,ш, dT     dT    1()

dtdx

— = 1, — = A₇ t , x , и , ш .

dT    dT    2 ()

Изменение переменной т перемещает точку с координатами t , x по характеристике. Интегрируя уравнения в (6) и (7) по т , получаем:

x = p 1 (т, t, x, и ,д), x = p 2 (т, t, x, и ,д), где pi(i = 1,2) определяются из следующих систем:

tt p 1 (т, t,x, и ,д) = x - j A1 (s, p 1, и ,д) ds, p 2 (t, t, x, и , д) = x - j A2 (s, p 2, и, д) ds;

T                                                      T и = и (т, t,x) = и (т, t,p 1 (т, t,x,и, д)),    д = д (т, t,x) = д (т, t,p2 (т, t,x, и , д)) .

и ( т , t , x )| _t = _T = ₁ 0 = Ф 1 (x ), _

Отсюда очевидно, что

.                  ^{д (} t , t , ^x ) = ^{д (} t , ^x ).

^{д ( T} , t , ^x ), _T , = ^ 2^{( x} ).

_                i t = ^T = t о

Положим f (t,x, ил)-, opt))|              - = f (T, t,pi, й, д, m(t)),i = 1,2.

x = p i ( ^T , t , x , ^и , ^д )

Тогда имеем du du

dT dT

( д и dt д и dx

= I---1--- x=p 1(т, t,x,и ,д)    X дt dT дx dT

x = p 1 ( т , t , x , и , д )

dd = dд dT dT

x x = p 1 ( t , t , x , и , д )

(дд dt дд dx x=p2(t,t,x,и ,д)   v дt dT дx dT

т , t , p 1 , и , д , о (t ) ) ,

x = p 2 ( т , t , x , и , д )

( дд дд             1

^X x                  ^x x = p ₂( t , t , x , и д )

т.е. мы получаем следующую систему уравнений:

dp- = f_x ( т , t , p_x ( т , t , x , и , д ), и , д , ^ ( t ) ) dT ^х                                      '

dT ₌ f 2 ( t , t , p 2 ( t , t , x , и , д ), и , д , П (t ) )

,

с начальными условиями

"^{и ( T} , t , ^x )| t=т = 1 ₀ = ^ 1 ^{( x} ), ^{д ( т} , t , ^x )| t =т = 1 ₀ = Ф 2 ^{( x} ).

Интегрируя (8) по т и используя начальные условия (9), получаем:

u ( t , t , x ) = 0 1 ( t , t , x ; u , 0 ) , 0 ( t , t , x ) = 0 ₂ ( t , t , x ; u , 0 ) ,

где

t

0 i ( t , t , x ; u , 0 ) = ф - ( p i ( 1 ₀, t , x , u , 0 ) ) + J f ( 0 , t , p i ( 0 ,t , x , u ,0), u , 0 , to (0) ) d 0 , i = 1,2.

t 0

При t = t из (10) получаем следующую систему нелинейных интегральных уравнений (СНИУ):

u ( t , x ) = 0 1 ( t , x ; u , 0 ) , 0 (t , x ) = 0 ₂ ( t , x ; u , 0 ) ,

где

t

0 i ( t , x ; u, 0 ) = ф _i ( p i ( t ₀, t , x , u , 0 ) ) + J f ( s , x , u ( s , x ), 0 ( s , x), ю ( s ) ) ds , i = 1,2.

t 0

Теперь покажем, что СНИУ (11) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1) и начальным условиям (2)-(3).

Действительно, функции

ф^P i (0, t , x , u , 0 ) ) , i = 1,2 являются первыми интегралами системы

— + A] (t,x,u,0)—= 0 , < д tд д0д

— + A 2 ( t , x , u , 0 )—= 0

l д tд

и они постоянны вдоль решений системы (13). Производные решений системы (13) вдоль характеристик равны нулю и функции (12) удовлетворяют системе (13). В самом деле, любые достаточно гладкие функции Ф i ( x ), i = 1,2, постоянные вдоль характеристик системы (13), удовлетворяют ей.

СНИУ (11) удовлетворяет начальным условиям (2) и (3). Из этой СНИУ (11) получаем ^du — = f 1 ( t , ^x , ^{u, 0 ,} o ⁽ t ) ) , dt d 0

"df = f 2 ( t , x , u , 0 , n (t ) ) .

С другой стороны, справедливо соотношение

du дu дu dx dt дt дx dt

d0 д0 д0dx dt дt дx dt

•

Так как

dx

— = A, t , x , u , 0) dt ^{1 (}             )

dx

, dt⁼ A 2 ( t , x , u , 0 ) ,

то из последних четырех соотношений следует, что система уравнений (11) удовлетворяет системе уравнений (1).

Итак, мы доказали, что задача Коши (1)-(3) и система нелинейных интегральных уравнений (11) эквивалентны.

• 3.    Сведение обратной задачи (1)–(5) к нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода

Используя условия (4) и (5) из системы (11) получаем два нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода относительно неизвестных функций с г ( t ), n ( t ):

t

J h i ( s , a ( s ) ) ds = g i ( t ), t ₀

t

J h 2 ( s , П ⁽ s ) ) ds = g 2⁽ t ) , t ₀

t

где h i ( ^s M ^s ) ) = f i ( ^s , x 0 , У 1^{( s} ), У 2^{( s} ), ® ( ^s ) ) , g , ( t ) = y , ( t ) - у x 0 <

^- J A i ( ^s , ^x 0 , t ₀

У 1 ( s ), У 2 ( s ) ) ds . )

Кроме того, g i ( t ₀) = 0, так как y i ( t ₀) = y i ( x ₀), i = 1,2.

Уравнения (14) и (15) с помощью классических методов невозможно свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, к которому мы могли бы применять метод последовательных приближений и метод сжимающих отображений. Поэтому здесь применяем другую методику. Уравнение (14) запишем в виде

0 <  M ₀₁ = const,

где 0 <  L ₀₁( t ) e C [ 1 ₀; T ] ; произвольная функция такая, что р ₀₁ = max { P 1 ( t ) • Q ( t ) } < 1 .

Применяя к (16) интегральное преобразование из [4, гл. 1], получаем

t a (t) = 11(t;a) = < a(t) + J[K(s) a(s)-h 1(s,a(s)) ]ds + g 1(t) >x t0

t

X exp ( - д ( t ) ) + J K ( s ) • exp ( - д ( t , s ) ) • { a ( t ) - a ( s ) + g 1 ( t ) - g i ( s ) + t ₀

t

s

t ₀

t ₀

где д ( t , s ) = J k ( 9 ) d 9 , д ( t , 1 ₀) = ^ ( t ). s

Аналогичным путем из (15) приходим к следующему уравнению:

t n (t) = 12(tn) = 1 n(t) + J[ K(s )n(s) - h 2 (s, n(s)) ] ds + g 2(t) ^X t0

t

X exp ( - д ( t ) ) + J K ( s ) • exp ( - д ( t , s ) ) • { n ( t ) - n ( s ) + g 2 ( t ) - g 2 ( s ) + t ₀

t

s

t ₀

t ₀

Уравнения (14) и (17) являются эквивалентными. Аналогично уравнения (15) и (18) также являются эквивалентными.

( t

\

^а ₍₁ ( t ) = J h i ( ^{s ,0} ) ds ⁺ g 1⁽ t ) • exP ( ^- A ⁽ t ) ) ,

V t 0

[ a * +i ( t ) = 1 1 ( t; a ), k = 0,1,2,... .

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

• 1.    h 1 ( t , о ( t ) ) e Bnd ( M ₀₁) n Lip ( L ₀₁( t ) ° ) , где 0 <  M ₀₁ = const, 0 <  L ₀₁( t ) e C | t ₀; T J ;

• 2.    p ₀₁ = max { P 1 ( t ) • Q ( t ) } < 1, где

t                                                                                          t

P 1 ( t ) = 1 + ^ ( t ) + j L ₀₁( s ) ds , Q ( t ) = exp ( - д ( t ) ) • <  1 + 2 j K ( s ) • exp ( ^ ( s ) ) ds • .

t 0                                                                        t 0

Тогда нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода (14) имеет единственное решение на отрезке [ 1 ₀; T ].

Доказательство. Для произвольной непрерывной на отрезке It 0; T I функции a (t) примем норму следующим образом: II a (t) 11 = max la (t) I.

10 < t < T ус                     Юо( t )| <( M 01T + 1 S 1( t )|l)-exp Ы t ))< 1.                          (20)

Тогда для разности

t

°1(t)- °o(t) =' °o(t)+ j [K(s) °o(s)+ h1(s ,0) - h1( s ,Oo(s))]ds ' exP ( Яt))+ tt

+ j K (s) exp (-^ (t, s)) { о 0 (t) - o0 (s) + j [K(s) o0 (s) + h1(s ,0) - h (s, o0 (s)) ] ds - t0                                                                 t0

s

- j [ K ( 6 ) ° ( 6 ) + h ( 6 ,0) - h ( 6 , ° ( 6 )) ] d 6

> ds ,

t ₀

в силу первого условия теоремы и оценки (20), получаем оценку

II о 1 ( t ) - о о ( t )| |<|| о о ( t )|| P 1 ( t ) Q ( t ) <  m t ax { P i ( t ) • Q ( t ) } = p 01 <  1,

t

Q ( t ) = exp ( - д ( t ) ) • a + 2

t j K (s) • exp (^(s)) ds >.

где P 1(t) = 1 + д(t) + jL01 (s)ds , t 0

Аналогично для произвольной разности приближения (19) имеем оценку

II ° к +1⁽ t ) ^- ° к ⁽ t ) |1 <  p 011| ° k ⁽ t ) ^- ° k -1 ⁽ t ) 11 <|| ° k ⁽ t ) ^- ° k -1 ⁽ t ) II .

Отсюда и из (21) следует, что оператор в правой части (17) является сжимающим и, следовательно, уравнение (14) имеет единственное решение на отрезке [ 1 ₀; T ].

Из интегрального уравнения (18) аналогично можно доказать, что справедлива и следующая

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

• 1.    h ₂ ( t , n ( t ) ) e Bnd ( M ₀₂) n Lip ( L ₀₂( t ) ^ ) , где 0 <  M^ 02 — Const, 0 <  L 02 ( t ) e C ^ t о ; T ^J ;

• 2.    p 02 = max { P 2 ( t ) • Q ( t ) } < 1, где P , ( t ) = 1 + ^ ( t ) + Г L 02 ( s ) ds . t                                                                                t o 0

Тогда нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода (15) имеет единственное решение на отрезке [ 1 ₀; T ].

Таким образом, мы определили функции о (t ), n ( t ) в правой части системы уравнений (1) из нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода (14) и (15) соответственно.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

• 1)    Ф ₁ ( x ) G Bnd( Ф 0 i ) n Lip ( L ₁ д_и , _p ) , где 0 <  ф 0 ₁ , L 1 ₁ = const,

• ²⁾    fi ^{( x} , u , ^p , to ) ^{G Bnd (} f 0 i ) ⁿ Lip ( ^L 2 Ди , p ) , где 0 <  f ₀ i , L ₂ i 3) A i ( x , и , P ) g Lip ( L ₃ д_и, _p ) , где 0 <  L ₃ i = const, i = 1,2;

  i = 1,2;

  
  

  = const, i = 1,2;

  
  

  4) p ₁ <  1 , где p ₁ = max ^ L ₁₁ "

  
  

  t

  
  

  J L з ₁( s ) ds + J L ₂₁( s ) ds > + max < L ₁₂ • J L ₃₂( s ) ds + J L ₂₂( s ) ds > .

  
  

  t

  
  

  t

  
  

  t

  
  

  t

  
  

  t ₀

  
  

  t ₀

  
  

  t ₀

  
  

  t ₀

  
  

Тогда система нелинейных интегральных уравнений (11) имеет единственное решение в области D .

Доказательство. Итерационный процесс Пикара для системы уравнений (14) определим следующим образом:

u ₀( t , x ) = 0, u k _{+ 1} ( t , x ) = 0 ₁ ( t , x ; u k , P _k ) ,

P 0 ( t , x ) = 0, P k + 1 ( t , x ) = 0 2 ( t , x ; U k , P k ) , k = 0,1,2,... .

Для произвольной функции w ( t , x ) в пространстве непрерывных функций норму определим следующим образом:

II w(t,x)|It = max | w(t,x)|, t o- t- T где x играет роль параметра.

В силу первого условия теоремы для первого приближения из (22) имеем оценку

u 1

u o|| t ^{- Ф} 01 ⁺ f 01 "  T ,

|| ^P 1    ^p o|| t ^- Ф 02 ⁺ f 02 "  T .

С учетом (23) и (24), в силу условий теоремы, для второго приближения из (22) получаем оценку u2

t u 1 It -L11" J L31(s)"(Ilu 1

t ₀

u 0I I t ⁺l| ^P 1 - ^P 0 I | _t ) ds ⁺ J ^L 21⁽ s ) " (| ^U 1

t ₀

^- ( ф 01 ⁺ Ф 02 ^{+ (} f 01 ⁺ f 02 ) "  T ) " ^L 11 "  J ^L 31^{( s} ) ^{ds +} J ^L 21^{( s} ) ^ds < ( Ф 01 ⁺ Ф 02 ^{+ (} f 01 ⁺ f 02 ) "  T ) , ⁽²⁵⁾

t

t ₀

t

t

^ t 0

u ₁

t ₀

J

u 0I I t ⁺l| ^P 1 ^{- P} 0|| t ) ds ⁺ J ^L 22^{( s} ) "(|| u 1

t ₀

u 0I I t ⁺l И - ^ o IL) ds ^-

^- ( ф 01 ⁺ Ф 02 ^{+ (} f 01 ⁺ f 02 ) "  T ) " ^L 12 "  J ^L 32^{( s} ) ^{ds +} J ^L 22^{( s} ) ^ds < ( Ф 01 ⁺ Ф 02 ^{+ (} f 01 ⁺ f 02 ) "  T ) • ⁽²⁶⁾

t

t

V t 0

t ₀

В силу условий теоремы для произвольного натурального числа к >  1 из (15) получим оценку

II u k + 1

t uk\ - L11 J L31( s) (| | uk

t ₀

t

|| Pk+1 - Pk||x - L12 J L32(s) (|| uk t0

Отсюда получаем, что

u k - 1 | _t ⁺ | | ^p k ^{- P} k - 1

t

u _k

t ₀

Uk-11+1 P -P-,1I)ds + Jms)(IIUk t0

u k - 1 | t ⁺ || ^p k ^{- P} k - 1 | t ) ds ,

u k - 1 | t ⁺ | ^{P - P} k - 1| t ) ds ,

II W + 1 ( t , x ) - W k ( t , x )| I t <  p j| W k ( t , x ) - W k - 1 ( t , x )|| _z <|| W k ( t , x ) - W k - 1 ( t , x )| I t ,       (27)

где ||Wk - Wk-i||x = max {|uuk - uk—J |x ;||^k - ^k—J |x}, tt

P i

= max <  t

L 11 " j L 3i ( ⁵ ) ds + J L 2i ( s ) ds t ₀                         t ₀

t

tt

L12 " J L32(s) ds + J L22(s) ds t0                        t0

В силу оценок (25)–(27) следует, что согласно принципу Шаудера оператор в правой части (11) имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, система нелинейных интегральных уравнений (11) имеет единственное решение в области D .