Об оценках снизу решений и их производных линейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра

Все фигурирующие в работе функции и их производные являются непрерывными и соотношения имеют место при t >  1 0 , t >  т >  1 0 ; J = [ 1 0 , да ); ИДУ - интегро-диффе-

^∗ Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16–19 мая 2016.

ренциальное уравнение; ДУ – дифференциальное уравнение.

Рассматривается следующая

Задача. Установить достаточные условия, обеспечивающие оценки снизу и стремления к бесконечности при t ^ да решений и их производных до третьего порядка включительно линейного ИДУ четвертого порядка типа Вольтерра вида:

х (4) ( t ) + a 3 ( t ) x '"( t ) + a 2 ( t ) x "( t ) + a 1 ( t ) x 'tt ) +

+a o( t) x (t) + J [ Qo( t ,t ) x (t ) + t0                                        (1)

+ Q 1 ( t ,T ) x '( t ) + Q 2 ( t ,T ) x "( t ) +

+ Q 3 ( t,T ) x "( t )] dT = f ( t ), t > 1 0 .

Речь идет о решениях ИДУ (1) x ( t ) e C ⁴ ( J , R ) с любыми начальными данными x ⁽ k ) ( 1 ₀) ( k = 0,1,2,3). Каждое такое решение существует и единственно.

Насколько нам известно, сформулированная нами задача ранее никем не изучена. Эта задача имеет непосредственную связь с вопросом о неустойчивости (по Ляпунову) и неосцилляцией решений ИДУ вида (1) и некоторых систем ИДУ типа Вольтерра. Заметим, что достаточные условия неустойчивости решений систем линейных и нелинейных ИДУ типа Вольтерра установлены методом сравнения с решениями соответствующих невозмущенных систем линейных ДУ в работах М.И. Иманалиева и Ю.А. Ведь (см. напр., [1]); систем линейных ИДУ типа Вольтерра первым методом Ляпунова в [2], методом матричных весовых и срезывающих функций в [3]. Вопросы оценок снизу решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений исследованы в работах Н.В. Азбелева, З.Б. Цалюка [4], Ю.Н. Смолина [5], T.A. Burton’s [6], R.P. Agarwal’s, L. Berezansky, E. Braverman’s, A. Domoshnitsky [7].

Для решения поставленной задачи развивается метод работы [8], а именно метод, основанный на идеях метода нестандартного сведения к системе [9, 8], метода преобразования уравнений В. Вольтерра [10, с. 194–217], метода срезывающих функций [11, с. 41], метода интегральных неравенств [12], метода априорных оценок [13, 14], метода Лагранжа для интегрального представления решений линейного неоднородного ДУ первого порядка (см., напр., [15, с. 391–394]) и метода оценки снизу решений (см., напр., [16, 17]).

Приступим к получению основного результата. Согласно [9, 8] в ИДУ (1) осуществляем следующую замену:

x 'tt ) = 8 x ( t ) + W ( t ) y ( t ),            (2)

У 'tt)+ Ay(t) = W2( t) z(t), y'tt) = -Ay (t) + W2( t) z (t),          (3)

где 0 <  8 , A - некоторые вспомогательные параметры; 0 <  W_k ( t ) ( k = 1,2) - некоторые весовые функции; y ( t ), z ( t ) – новые неизвестные функции.

Из (2), (3) дифференцированием получаем:

x "( t ) = 8 x 't t ) + W / ( t ) y ( t ) + W 1 ( t ) y 'tt ) =

= 8 [ 8x ( t ) + W 1 ( t ) y ( t )] +

+W1'( t) y (t) + W( t)[-Ay (t) + W2( t) z (t)] = (4) = 82 x (t) + W (t) y (t) + W1 (t)W2 (t) z (t), где   W (t) = W/( t) - AW1( t) + 8W1( t);

x *( t ) = 8 ² x(tt ) + W'tt ) y ( t ) +

+ W ( t ) y '( t ) + ( W i ( t ) W 2 ( t )) ‘ z ( t ) +

+ W 1 ( t )W 2 ( t ) z '( t ) = 8 ²[ 8x ( t ) +

+ W ( t ) y ( t )] + W ' ( t ) y ( t ) +

+ W ( t )[ - Ay ( t ) + W ₂( t ) z ( t )] +

+ ( W ( t ) W 2 ( t )) ' z ( t ) + W i ( t )W 2 ( t ) z ' ( t ) =

= 83 x (t) + A1 (t) y (t) + A2 (t) z (t) + +Wi( t )W2( t) z 't t), где A1(t) e W(tt) + 8 2W1(t) - AW (t), A2(t) e

E ( W i t t ) W 2 ( t )) ‘ + W ( t ) W 2 ( t );

x ⁽⁴⁾ ( t ) = 8 ³ x'tt ) + A ‘ (t ) y ( t ) + A 1 ( t ) y'tt ) +

+ A 2 ( t ) z ( t ) + A 2 ( t ) z 't t ) +

+ ( W 1 ( t )W 2 ( t )) ‘ z 'tt ) + W 1 ( t )W 2 ( t ) z "( 1 ) =

= 8 ³ [ 8x ( t ) + W 1 ( t ) y ( t )] + A ‘ ( t ) y ( t ) +

+ A 1 ( t )[ - Ay ( t ) + W 2 ( t ) z ( t )] + A 2 ( t ) z ( t ) +

+ A 2 ( t ) z '( t ) + ( W 1 ( t )W 2 ( t )) ' z '( t ) +

+W (t )W2 (t) z"( t)) = 84 x (t) + A3 (t) y (t) + A4( t) z (t) + +4( t) z (tt) + W1( t )W2( t) z "(t), где     Aз( t) e A‘( t) - AA1( t) + 8 3W( t),

A 4 ( t ) e A 2 ( t ) + A 1 ( t )W 2 ( t ),

A ₅( t ) e ( W 1 ( t ) W 2 ( t )) ‘ + A 2 ( t ).

Подставляя (2)–(6) в ИДУ (1), имеем:

8 ⁴ x ( t ) + A ₃ ( t ) y ( t ) + A 4 ( t ) z ( t ) +

+ 4( t ) z ‘ ( t ) + W 1 ( t ) W 2 ( t ) z ‘‘ ( t ) +

+ a ₃( t )[8 ³ x ( t ) + A 1 ( t ) y ( t ) +

+ A 2 ( t ) z ( t ) + W ( t )W 2 ( t ) z ’ ( t )] +

+ a ₂ ( t )[ 8² x ( t ) + W ( t ) y ( t ) + W 1 ( t ) W ₂ ( t ) z ( t )] +

+ a 1 ( t )[ 8x ( t ) + W 1 ( t ) y ( t )] +

+ a o ( t ) x ( t ) + | Ш t , t ) x ( t ) + t ₀

+ Q 1 ( t ,T )[ Sx (T ) + W 1 (T ) y ( t )] +

+ Q 2 ( t ,T )[ S ² x (T ) + W (T ) y (T ) +            (

+ W 1 ( t ) W 2 ( t ) z ( t )] + Q 3 ( t , t )[ S ³ x ( t ) +

+ A 1 ( t ) y ( t ) + A 2 ( t ) z ( t ) +

+ W ( t )W 2 (T ) z ' ( t )]} dT = f ( t ), t >  1 ₀.

Введем следующие обозначения:

Ьз(t) - aз(t) + 4(t)(W(t)W2(t))-1 (коэффициент z'(t)), b2 (t) = a 2 (t) + [ a 3 (t) A 2 (t) +

+ A 4 ( t )]( W 1 ( t ) W 2 ( t )) - 1

(коэффициент z(t)), bi (t) = a1 (t)(W2 (t ))-i + [ a 2 (t )W (t) +

+a з( t) Ai( t) + Аз( t )](Wi( t )W2( t ))-1 (коэффициент y(t)), b0 (t) = [ a 0 (t) + Sai (t) + S2 a 2 (t) + +S3 a 3( t) + S 4](W1( t )W2( t ))-i (коэффициент x(t) ),

P o ( t , t ) = ( W i ( t ) W 2 ( t )) ^{- i} [ Q o ( t , t ) + + SQ i ( t , t ) + S ² Q 2 ( t , t ) + S ³ Q 3 ( t , t )]

(ядро с x ( τ ) ),

P i ( t , t ) = ( W i ( t W 2 ( t )) ^{- 1} [ Q i ( t , t ) W i ( t ) +

+ Q 2 ( t , t ) W ( t ) + Q 3 ( t , t ) A 1 ( T )] (ядро с y ( τ ) ),

P 2 ( t , t ) = ( W i ( t ) W 2 ( t )) ^{- 1} [ Q 2 ( t , t ) W i ( t ) W 2 ( t ) + ^{+ Q} 3 ⁽ t^,T ) A 2 ^{( t )]}

(ядро с z ( τ ) ),

K ( t , t ) = ( W i ( t ) W 2 ( t )) ^{- i} Q 3 ( t , t ) W i ( t ) W 2 ( t ) (ядро с z '( t ) ),

F ( t ) = ( W ( t ) W 2 ( t )) ^{- i} f ( t ) (новый свободный член).

Деля обе части (7) на W ₁ ( t ) W ₂ ( t ) и учитывая введенные обозначения, получаем ИДУ второго порядка типа Вольтерра для новой неизвестной функции z ( t ) .

Объединяя это ИДУ для z ( t ) с заменами (2), (3), т.е. с ДУ первого порядка (2), (3), для

ИДУ четвертого порядка (1) будем иметь следующую эквивалентную систему:

' x'(t) = Sx(t) + W( t) y( t ), y ‘(t) + Ay (t) = W2( t) z (t), z"(t) + Ьз( t) z ‘(t) + b2( t) z (t) +

• ⁺ b i ⁽ t ) y ⁽ t ) ⁺ b o ⁽ t ) ^{x (} t ) ⁺

t

⁺ J ^{[ P} o ⁽ t^{, T} ) ^{x ( t} ) ^{+ P (} t^{, T} ) y ^{( t} ) ⁺ t ⁰

+ P ₂( t , t ) z ( t ) + K ( t , t ) z ' ( t )] d T = F ( t ), t >  1 ₀. (8)

Отметим, что по сравнению с исходным ИДУ четвертого порядка (1) полученная система (8) легко исследуется, так как мы заданное ИДУ (1) расщепили на систему из трех простейших уравнений. Идея получения простейшей системы (8) вместо сложного ИДУ четвертого порядка (1) заимствована из идей методов расщепления операторов из монографии академика Г.И. Марчука [18].

Отметим также, что идея введения некоторой весовой функции типа W ( t ) для исследования устойчивости решений ДУ с последействием содержится в монографии академика Н.Н. Красовского [19, с. 199] и в монографии Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной [13, с. 96–99].

Пусть [11]:

K ( t , t ) = ZK( t , t ),             (К)

i = 0

n

F ( t ) = £ F ( t ),                (F)

i = 0

W i ( t ) ( i = i.. n ) - некоторые срезывающие функции,

R i ( t ,T ) =

= Ki ⁽ t , ^{T )(} W i ⁽ t)W i ^{( t )) - i} , Ei ⁽ t ) =

= F -( t )( W i ( t )) ^{- i} ( i = i.. n ),

R i (t , 1 0 ) = A .( t ) + В_г .( t ) ( i = i.. n ),      (R)

c i ( t ) ( i = i.. n ) - некоторые функции.

К системе (8) применяем метод преобразования уравнений В. Вольтерра [10, с. 194– 217] и метод срезывающих функций [11, с. 41].

Для произвольно фиксированного решения (x(t), y(t), z(t)) аналогично [10, с. 194–217] первое уравнение системы (8) умножаем на x(t), второе - на y(t), а третье - на z'(t), полученные соотношения сложим, затем интег- рируем в пределах от t0 до t, в том числе по частям, при этом аналогично [11] вводим условия (K), (F), функции ψi (t), Ri (t,τ), условие (R), функции Ei (t), ci (t), используем леммы 1.4, 1.5 [20].

В результате получаем следующее тождество:

t

( x ( t )) ² + ( y ( t )) ² + 2 Z f ( y ( s )) ² ds + ( z'tt )) ² + t ₀

t

+2f b3 (s)(z'(s))2 ds + b2 (t)(z(t))2 + t0

+ £ { A ( t )( Z i ( t , 1 0 ))² + B i (t )( Z , ( t , 1 0 ))² - i = 1

- 2 E i ( t ) Z i ( t , t o ) + _G( t ) -

- f [ B i (s )( Z i ( s , t o ))² - 2 E i ( s ) Z i ( s , t o ) + t ₀

t

+ c i ( s )] ds + f R T ( t , t ) ( Z i ( t , t ) ) 2 d T } = t ₀

- c* + 2S f (x (s ))2 ds + 2 f [ W1 (s) x (s) + t0                       t0

+ W ₂ ( s ) z ( s )] y ( s ) ds + f b 2 ( s )( z ( s )) ² ds + t ₀

+E f [ A’ (s)(Zi( s, to))2 + i=1 t 0

+fRT (sT)(Zi( sT ))2 dT ] ds - t0

-2 fz’ (s){F0 (s) + b( s) y (s) + bo(s) x(s) + t0

s

+f[ P0(s T ) x T ) + P(t,T) y (t )+ t0

+P2( t t ) z T) + K 0( s T) z'(t )] dTf ds, где

Z i ( tT )4 V i n ) z ( n ) dn ( i = 1.. n ), c * = ( x ( t o )) ² + ( y ( t o )) ² + ( z' ( t o )) ² + + b 2 ( t o )( z ( t o )) ² + £>( t o ).

i = 1

Из тождества (9), переходя к интегральному неравенству, аналогично теореме 1 [21], применением леммы [12] об интегральном неравенстве, устанавливается

Теорема 1. Пусть

1) S >  o, Z >  o, W k ( t ) >  o ( k = 1,2), выполняются условия

( K ),( F ), ( R ); 2) Ь з ( t ) >  o; 3) b 2 ( t ) >  b 2o >  o, существует функция b * ( t ) >  o такая, что b 2 ( t ) < b 2* ( t ) b 2 ( t ); 4) A i ( t ) >  0, B i ( t ) >  0, B i ( t ) <  0, R T ( t , t ) >  0, существуют функции A * ( t ) >  0, c i ( t ), R i * ( t ) >  0 такие, что

A ’ ( t ) <  A * ( t ) A i ( t ), ( E i^k ) ( t )) ² <

< B (^k ) ( t ) c ( ^k ) ( t ), R ' T ( tT ) <  R * ( t ) R T ( tT ) ( i = 1.. n ; k = 0,1).

Тогда для любого решения ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) системы (8) справедливы следующие оценки:

t

^{( x (} t ^{)) 2 + (} y ⁽ t ^{)) 2 + Z} f ⁽ y ^{( s )) 2 ds + ( z}' ⁽ t ^{)) 2 +} t ₀

t

+ f b3 (s)(z'(s))2 ds + b2 (t)(z(t))2 + t0

nt

+DA(t)(Zi(t,to))2 +f RT(tT)(Zi(tT)) dT] < i =1                                      t0

t

< { д/ c * + f F _o( s )| exp( - S s + St ₀ - t ₀

- f c ( t ) dT ) ds } 2 exp{2 St -                  (10)

t ₀

- 2 St ₀ + 2 f c ( s ) ds ), t ₀

|x ⁽ t )|^, | y ⁽ t )| ^{, ( b} 20 ⁾² | z ⁽ t )| J z' ⁽ t )| <  ^E * ⁽ t ^{),          (11)}

где

E * ( t ) - [T c * + f F _o( s )|exp( - Ss + St ₀ - t ₀

- f G ( t ) dT ) ds ]exp( St - St ₀ + f G ( s ) ds ), t ₀                                                 t ₀

G ( t ) - W ( t ) + W 2 ( t ) + - b 2 ( t ) +

n

+ ¹ D A i -( t ) + R i ( t )] + 2 i = 1

t

+ lb i ( t )\ + \ b o ( t )| + f [| P _o( t , t )| + P 1 ( t , t )| + t 0

_ 1

+ | P 2 ( t ,T )|( b 2o ) ^{_ 2} + K 0 o ( t ,T )|] dT.

Отметим, что оценки (11) называются априорными.

Далее используя априорные оценки (11), будем заниматься оценками снизу решений x ( t ) и их x ⁽ k ) ( t ) ( k = 1,2,3) ИДУ (1).

Из ДУ (2) методом Лагранжа [15, с. 391– 394] имеем следующее интегральное представление для x ( t ) :

x ( t ) = e ^{s (} t ^_ t ^o) [ x ( 1 0 ) + j e ^{_ s (} s ^_ t ^o) W 1 ( s ) y ( s ) ds ]. (12) t ₀

Отсюда аналогично [16, 17] получаем оценку снизу для | x ( t ) | :

\ x ( t )\ > e ^{5 (} t - t ⁰⁾ [\ x ( t o )\ _

t

• - j e - ^{5 (} s - t ⁰ W 1 ( s )\ y ( s )\ ds ].      (13)

t ₀

С учетом оценки (11) для y ( t ) из (13) имеем оценку:

\ x ( t )\ > e ^{5 (} t - t ⁰⁾ [\ x ( t o )\ _

• - j W 1 ( s )exp( j s G ( t ) dT ){ JC * +

t 0                       ⁰

s

+j | F o ( t )|exp( - 5T + 5t o -       (14)

t ₀

τ

• - j G (n ) dn ) dT} ds ].

t ₀

Далее, используя оценки (11) для y ( t ), z '( t ), из замены (3) получаем следующую априорную оценку для у '( t ):

- 1

\ у '( t ) < [ Л + ( b 2 ₀) ^{- 2} W 2 ( t )] E * ( t ).     (15)

Из (3) дифференцированием имеем

У '( t ) = - Лу'tt ) + W{( t ) z ( t ) + W ₂( t ) z (tt ). (16)

С учетом оценок (13) и (11) для z ( t ), z'tt ) получаем априорную оценку

- 1

\ у "( t ) <  [Л + ( b 2 ₀) ² \ W 2 ( t ) \ + W 2 ( t )] E * ( t ). (17)

Из (16) имеем у w( t) = -Лу \ t) + W2(t) z (t) +

+ 2 W ₂'( t ) z (tt ) + W ₂( t ) z "( t ).         (18)

Из третьего уравнения, т.е. из ИДУ второго порядка для z ( t ) системы (8), учитывая оценки (11), получаем априорную оценку для z " t t ):

\ z "( t ) < \F ( t )| + [ b 3 ( t )| +

+ ( b 2o ) ^{- 2} b 2 ( t )| + b 1 ( t )| + | b o ( t )|] E * t t ) +

+ j [| P o t t , T )| + P t , T )| + ( b 2o ) ² p 2 ( t , T )| + (19) t ₀

+ | K ( t , t )|] E * ( t ) dT .

Тогда, используя оценки (11) для z ( t ), z '( t ) и (17), (19), имеем следующую априорную оценку:

\ у 7 1 ) < [ Л ² + (2 + Л ( b 2o ) ^{- 2} ) W 2 ( t )| +

+ AW 2 ( t ) + ( b 2o ) ^{- 2} W 2( t )|] E * ( t ) + W 2 ( t )[ b 3 ( t )| +

+ ( b 2o ) ^-2 | b 2 ( t )| + b 1 ( t )| + | b o ( t )|] E * ( t ) +

+ 1 F ( t )| W 2 ( t ) + W 2 ( t ) j [| P o t t , t )| + P t t , t )| + (2o) t ₀

+ ( b 2o ) ^{- 2} P 2 ( t , T )| + K ( t , T )] E * ( t ) dT ^ D ( t ).

Из (4) имеем x''(t) = 5x'(t) + W1'(t)у(t) + W1(t)у '(t). (*) Рассматривая это соотношение как ДУ для x' (t), получаем следующее интегральное представление:

x' (t) = e5 (t- to) {x' (to) + j e - 5 (s - to)W7( s) у (s) + t0

+ W ( s ) у '( s )] ds }.             (21)

Отсюда с учетом оценок (11) для y ( t ) , (15) и обозначение E _*( t ) имеем оценку снизу для x' ( t ) аналогично (13), (14):

\ x' ( t ) \ > e ^{5 (} t ^- t ^o){| x' ( t o) \ - j e - ^{5 ( s -} t ^o)[| W /( s )| + ЛW 2( s ) + t ₀

+ ( b 2o ) - ²( W 2 ( s ))²] E * ( s ) ds } =

= e5 (t- t0){|x '(toH-j [| W'ts ) + ЛW2( s) + t0

+(b2o)- 2 (W2 (s))2 ] exp( f s G(t)dT){4C* + t0

+ j| F _o( T )|exp( - 5T + 5t _o - j G ( n ) dn ) dT ] ds }. (22) t ₀                                            t ₀

Теперь из (*) дифференцированием имеем:

x ′′′ ( t ) = δx ′′ ( t ) + W ₁ ′′ ( t ) y ( t ) + + 2 W 1 ′ ( t ) y ′ ( t ) + W 1 ( t ) y ′′ ( t ) .           (**)

Рассматривая (**) как ДУ для x ′′ ( t ) , получаем интегральное представление аналогично (12), (21):

x ′′ ( t ) = e ^{δ ( t - t 0)} { x ′′ ( t ₀) + ∫ ^t e ^{- δ ( s - t 0)} [ W ₁ ′′ ( s ) y ( s ) + t ₀

+ 2 W ₁ ′ ( s ) y ′ ( s ) + W ₁( s ) y ′′ ( s )] ds }.

Отсюда с учетом оценок (11) для y ( t ) , (15), (17) аналогично (13), (14), (22) получаем следующую оценку снизу:

| x ′′ ( t )| ≥ e ^{δ ( t - t 0)} [| x ′′ ( t 0 )| - ∫ ^t e ^{- δ ( s - t 0)} { W 1 ′′ ( s ) + t ₀

+ 2[ λ + ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ( s )] W 1 ′ ( s ) +

+ [ λ + ( b ₂₀) ^{- 12} W ₂ ′ ( s ) + W ₂( s )] W ₁( s )} E _*( s ) ds ] =

=eδ(t-t0)[|x′′(t0) |-∫t{W1′′(s) +2[λ+ t0

+ ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ( s )] W 1 ′ ( s ) +

+ [ λ + ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ′ ( s ) +

+ W ₂( s )] W ₁( s )}exp( ^s G ( τ ) dτ ){ c _* + t ₀

s

+ ∫ F 0 ( τ ) I exp( - δτ + δt ₀ -            (23)

t ₀

τ

- ∫ G ( η ) dη ) dτ } ds ].

t ₀

Теперь из (**) дифференцированием имеем x ⁽⁴⁾ ( t ) = δx ′′′ ( t ) + W ₁ ′′′ ( t ) y ( t ) + 3 W ₁ ′′ ( t ) y ′ ( t ) +

+ 3 W ₁ ′ ( t ) y ′′ ( t ) + W ₁( t ) y ′′′ ( t ) .     (***)

Рассматривая (***) как ДУ для x ′′′ ( t ) , аналогично (12), (21) получаем следующее интегральное представление:

x ′′′ ( t ) = e ^{δ ( t - t 0)} { x ′′′ ( t ₀) + ∫ ^t e ^{- δ ( s - t 0)} [ W ₁ ′′′ ( s ) y ( s ) + t 0

+ 3 W ₁ ′′ ( s ) y ′ ( s ) + 3 W ₁ ′ ( s ) y ′′ ( s ) +

+ W 1 ( s ) y ′′′ ( s )] ds }.               (24)

Из (24) в силу оценок (11) для y ( t ), y ′ ( t ) , (17), (20) аналогично (13), (14), (22), (23) приходим к следующей оценке снизу: | x ′′′ ( t )| ≥ e ^{δ ( t - t 0)} [| x ′′′ ( t ₀)| - ∫ ^t e ^{- δ ( s - t 0)} { W ₁ ′′′ ( s ) + t 0

+ 3 W 1 ′′ ( s ) [ λ + ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ( s )] +

+ 3 W 1 ′ ( s )[ λ + ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ′ ( s ) +               (25)

+ W ₂( s )]} E _*( s ) ds - ∫ ^t e ^{- δ ( s - t 0)} W ₁( s ) D ( s ) ds ]. t ₀

Введем следующие обозначения: M 0 [ x ( t 0 ), x ′ ( t 0 ), x ′′ ( t 0 ), x ′′′ ( t 0 )] ≡ ≡ | x ( t 0 )| -^∞ ∫ W 1 ( s )exp( ∫ ^s G ( τ ) dτ ){ c * + t 0                       ⁰

s

+ ∫ F 0 ( τ )Iexp( - δτ + δt ₀ -               (26)

t ₀ τ

• - ∫ G ( η ) dη ) dτ } ds ,

t ₀

M 1 [ x ( t 0 ), x ′ ( t 0 ), x ′′ ( t 0 ), x ′′′ ( t 0 )] ≡ ≡ | x ′ ( t 0 )| -^∞ ∫ [ W 1 ′ ( s ) + λW 2 ( s ) + t 0

+ ( b 20 ) ^{- 12} ( W 2 ( s )) ² ]exp( ^s G ( τ ) dτ ){ c * + t ₀

+ ∫ ^s F ₀( τ ) exp( - δτ + δt ₀ - ^τ ∫ G ( η ) dη ) dτ } ds , (27) t ₀                                            t ₀

M 2 [ x ( t 0 ), x ′ ( t 0 ), x ′′ ( t 0 ), x ′′′ ( t 0 )] ≡

≡|x′′(t0) |-∞∫{W1′′(s) +2[λ+ t0

+ ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ( s )] W 1 ′ ( s ) +

+ [ λ + ( b 20 ) ^{- 12} W 2 ′ ( s ) +

+ W ₂( s )] W ₁( s )}exp( ∫ ^s G ( τ ) dτ ){ c _* +

s

+ ∫ F 0 ( τ )Iexp( - δτ + δt ₀ -               (28)

t ₀ τ

• - ∫ G ( η ) dη ) dτ } ds ,

t ₀

M ₃[ x ( 1 0 ), x '( 1 0 ), x "( 1 0 ), x 7 1 0 )] -

Hx'"(10)|-j e - s(s - to){| WJs )| + t0                                        (29)

+ 3 W ( s )\[A + ( b 20 ) — ² W 2 ( s )] +

+ 3 | w / ( s )|[ A + ( b 20 ) ^{- 2} W ' ( s )| +

+ W ₂( s )]} E * ( s ) ds - j e - ^{s ( s -} ‘ ⁰⁾ W 1 ( s ) D ( s ) ds .

t ₀

Из (14), (22), (23), (25) с учетом обозначений (26)–(29) непосредственно следует

Теорема 2. Пусть

• 1)    выполняются все условия теоремы 1;

• 2)    M k [ x ( t 0 ), x ‘ ( t 0 ), x "( t 0 ), x '"( t 0 )] >  0

( k = 0,1,2,3) .               (30)

Тогда для любого решения x ( t ) и их x ^{( k} ) ( t ) ( k = 1,2,3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно справедливы следующие оценки снизу:

|x ^{( k} ) ( t )| >  e ^{s (} t ^- t ⁰⁾ M k [ x ( 1 0 ), x ‘ ( 1 0 ), x "( 1 0 ), x ^w( 1 0 )]

( k = 0,1,2,3).             (31)

Из теоремы 2, т.е. из оценок (31) вытекает

Следствие. Если выполняются все условия теоремы 2, то для любого решения x ( t ) и их x ^{( k} ) ( t ) ( k = 1,2,3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно справедливы следующие утверждения:

liml x ^{( k} ) ( t )| = « ( k = 0,1,2,3). t >w

Замечание 1. Из теорем 1, 2 и следствия можно получить решение вышепоставленной задачи и для соответствующего ДУ (в ИДУ (1) Q k ( t , t ) - 0 ( k = 0,1,2,3)):

x ⁽⁴⁾ ( t ) + a ₃ ( t ) x "( t ) + a 2 ( t ) x " ( t ) +

+ a ( t ) x ‘ ( t ) + a 0 ( t ) x ( t ) = f ( t ), t >  1 0 .     (1 o )

Насколько нам известно, и такая задача для (1 0 ) тоже никем ранее не решена.

Замечание 2. С учетом соотношений

c * = ( x ( 1 0 )) ² + ( y ( 1 0 )) ² + ( z' ( 1 0 )) ² +

+b2( to)( z (10))2 +Yc( 10), i=1

^x' ⁽ t 0 ) = ^{Sx (} t 0 ) + W 1 ⁽ t 0 ) y ⁽ t 0 ), y' ⁽ t 0 ) + Ay ⁽ t 0 ) =

= W2( 10) z (10), x''(10) = S2 x (10) + W (10) y (10) +

+ W1( to)W2( 10) z (10), x'" (10) = S3 x (10) + 4( 10) y (10) +

+ A 2 ( 1 0 ) z ( 1 0 ) + W 1 ( t o ) W 2 ( 1 0 ) z' ( 1 0 )

определяются многообразия начальных данных (30), т.е.

M k [ x ( 1 0 ), x ‘ ( 1 0 ), x " ( 1 0 ), x "‘ ( 1 0 )] >  0 ( k = 0,1,2,3).

Таким образом, доказано, что любое решение x ( t ) и их x ^{( k} ) ( t ) ( k = 1,2,3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно стремятся к бесконечности при t > ^ , значит, любое решение x ( t ) ИДУ (1) неустойчиво по Ляпунову. Следует добавить, что такие решения x ( t ) ИДУ (1) не имеют нулей на полуинтервале J , т.е. неосциллируют.

Заметим также, что ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) не имеют особенных точек [22, с. 27], а именно: при любых x ^{( k} ) ( t 1 ) ( k = 0,1,2,3; t 1 >  1 0 ) из многообразий (30) ИДУ (1) имеет единственное решение x ( t ) e C ⁴( J , R ).

В заключение отметим, что изучение оценок снизу решений ИДУ высоких порядков типа Вольтерра является одним из трудных вопросов асимптотической теории таких уравнений на полуоси. Нами же показана принципиальная возможность исследования этого вопроса на примере ИДУ четвертого порядка (1), кроме того, разработанный нами метод решения поставленной задачи может быть применен для других классов ИДУ высоких порядков.