Об оценке погрешности нелинейного метода проекционной регуляризации при условии кусочной гладкости решения

Рассмот^им у^авнение д u (x, t) _ д 2 u (x, t)

-x< x , t e ( 0, T ] , T >  1,

V t e ( 0, T ] u ( x , t ) ,

д t " дx2 ’ где               u(x,t) e C{(-x,x)x[0,T]} Q C2,1 {(-x,~)x(0,T]}, u"x. (x,t)e L1 (-x,x)Ql2 (-x,x) и существует функция x(x)e L1 (-x,x) такая, что

I u ( x , t )| +

д u ( x , t ) д t

< x ( x ) ; x e ( -x , x ) .

Пусть нам дано распределение температуры f (x)e L1 (-x, x) Q L2 (-x, x) в момент времени T f (x ) = u (x, T); -x< x

a начальное ^асп^еделение u o( x) = u (x ,0)                                             (3)

т^ебуется оп^еделить.

Предположим, что при f (x) = f₀(x) существует u₀(x) такое, что производная u0(x) является четной, кусочно-непрерывной функцией и u₀(x), u0(x)e L2(-x,x)QL1 (-x,x), а также решение задачи (1), (3) при нем удовлетворяет условию u(x,T) = f₀(x), но точное значение f₀(x) нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение f₅(x) e L1 (-x, x) Q L2 (-x,x) и 5 > 0

такие, что

I f5 ( x)- f0 ( x)||L2 < 5.

Требуется, используя исходные данные (f5,5) задачи (1), (2), (4), определить приближенное решение u5(x)e L2(-x,x) и оценить величину ||u5(x)-u₀(x)||L2.

Используя для ^ешения задачи (1), (2), (4) п^еоб^азование Фу^ье F , получим й ‘(Я, t ) = -X2 й (Я, t); le(-x, x), t e( 0, T ]

u( Я, T ) = f (Я); Яe(-x, x),(6)

где й(Х, t) = F [u (x, t)], а f (Я) = F [f (x)].

Решая задачу (5), (6), сведем ее к опе^ато^ному у^авнению

Ай(И) = e—И Tu(И) = f(И); й(И), f(И)е L2(—^,).

Из условий, кото^ым удовлетво^яет функция u₀(x) , будет следовать существование числа a > 0 такого, что для любого достаточно малого числа е > 0 ^

J[1+И   ⁾ ] ^ (И²dx< е,

—^

а из (4) и тео^емы Планше^еля [3, с. 411], что

I A»0 (A — f (И)|< 3,

где /уШ = F[и0 (x)]^,а f(^И) = F[f₅(x)].

П^именяя к ^ешению задачи (7)–(9) метод п^оекционной ^егуля^изации [1], введем ^егуля-ризующее семейство операторов {P_a : a > 0}, определяемых формулой

Pa f ( И) =

еИ Tf (И); И < a 0; Al > a

.

Таким образом, приближенное решение 3 (И) в уравнении (7) определим формулой «3 ( A) = Pa f3 ( A),

а для выбора параметра регуляризации a = a( f3,3) в формуле (11) используем уравнение JАйР3 (A) — f3 (Л)|^ -163².

Из (11) и (12) определим приближенное решение г/3 (И) уравнения (7) формулой

~^a(f3^,3) / 1 \

и3 (И) = и3      (И)-

Из тео^емы, доказанной в [1], и фо^мул (7), (8), (9) следует оценка

II83 (И)—«0 (И)||< 7 ^ [a(3)],

в которой функция О_е (с), следуя (7) и (8), определяется параметрически

с = e

Ge (^)= 1 + Ri' ’

Ие (—”,~)

• 1.

• 2_,

a a(3) - уравнением

aGGe (a )a = 3.

Так как оценка (13) выполняется при любом ее (0,1], то выберем значение е(3), минимизирующее эту оценку. Ввиду непрерывности функции 7^G_e(a(3, е)) пое на полуотрезке (0,1] и стремление ее к бесконечности при е ^0 следует существование е(3)е(0,1] такого, что

⁷\^°е(3) (^{a3 е(3}))) = Д⁷11^Се^(a(3, ^е))" \| с\и )                              ^ее(0,1] у е

Тогда из (13)-(16) для £13 (И) будет справедлива оценка

Камалтдинова Т.С.

Об оценке погрешности нелинейного метода проекционной регуляризации при условии кусочной гладкости решения

Iй₈(Л)-ио(Л)||<7 Г8G_£(,)[а(8,е(8))].                       (17)

Применяя к й8 (Л) обратное преобразование Фурье F 1 и беря действительную часть, полу чим приближенное решение и5 (x) = Re| F 1 (й5 (Л)) | обратной задачи (1), (2), (4). Для этого ре- шения, ввиду тео^емы Планше^еля [3, c. 411], будет сп^аведлива оценка (17).

Для с^авнения (17) с известными, оценим п^авую часть соотношения (17) в элемента^ных функциях.

Из (14) следует, что при достаточно малых значениях с справедливо соотношение а из (18) и того, что

- (1- е) —(1-е) 1

G_e(с)<T⁴    ln ⁴    -,

с lim      '"""-----= 1,

• ■ "0 T 4’ _ln^-4 ⁽1-^е’1 с

следует, что при достаточно малых значениях с

³(1-е) ₉

T⁴   с²< сG_е(с).

Тепе^ь ^ассмот^им у^авнение

T 4⁽1^-е ’а²= 8.

Решение а(8,е’ уравнения (20) определяется формулой а (8, е ) = T" 8(1-е ’ кд ] 2 \ a

Из (15), (19) и (20) следует, что а(8, е )< а (8, е).

Таким об^азом, из (13), (18) и (22) следует, что и                  и а 3(1-е’ -3(1-е’

IIu8(x)^-uо(x)||<7^е⁴    ln⁴

Из (21) и (23) окончательно получим

II ^и8 (x)-u о (x )|<⁷^е (2T) 4 ⁽¹"^е ’ ln^{4(1 е} ’

а (8, е)

³(1-е ’

T⁴

а

е88

В оценке (24) значение е = е(8) определим формулой е (8 ) =

2a

lnln¹

Из (24) и (25) следует, что

|| ^u8 ( x )^-и 0

(x)||< |V2 ( 2T )4^lnln 8 In 4^{(1 e(8}’’

Vlnln 8

Если lnln — > V2, то при 8e (0,8₀] из (26) следует, что 8о

3            - 3(1-s(s )W us(x)-u0(x)

2           vs            V s

Так как

3a

—(1-£(s)) < 1 A — < 1 A 2lnln- < 1 A ln ⁴       — = In ⁴ — • In ^s — ,

V s J V s J V s J

а

3a

ln

ln

2lnln¹ s

3a

2lnln

s

lnln- = s

3a

2,

то из (27) следует, что

7 ^3a    3      - - 3

\           3 a 3 /       “     3

s J s 3    3

||us(x)-u0(x)||<2^2e²(2T)4 Jlnln^In ⁴