Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи физики твердого тела

Эта задача в известной статье Лифшица [4] была сведена к интегральному уравнению первого рода, что доказывает ее некорректность.

Ввиду важности для физиков знание оценки погрешности приближенного решения данной задачи следует актуальность приведенных в статье исследований.

1. Постановка задачи. Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

^J „< е 7 е . E C( 9 )

0 ≤ θ < ∞ ,

Sn ( ε ) = S      n ( ε )    = ;

0 V 9) 9      е 9

x ² где S ( x ) =             ,

2sh ² ( x 2 )

C(θ) – теплоемкость системы, θ= kT , T– абсолютная температура, а k – константа, определяемая системой, n(ε) – спектральная плотность [4].

Обозначим через H действительное пространство измеримых на [0, ∞ ) функций f (x) с нормой, определяемой формулой

Ilf (x )iH-Jif (xf dx■(2)

0 x

Заметим, что интеграл в формуле (2) понимается в смысле Лебега.

С(9) С. (9) -. .

Предположим, что при =0   ∈H существует точное решение n0(ε)∈H уравнения (1), которое единственно и удовлетворяет соотношению n0(ε) ∈ Gr,где

Gr - Jn(е): n(е) е H, J n (E) dE + J [n'(е)]2 EdE < r2 [, l                   о E 0J

.                                                                      C n ( 9 )

где n ′ ( ε ) – производная от функции n ( ε ), но вместо точного значения правой части ⁰

Cs (9) -„ „ нения (1) известны некоторое приближение δ ∈ H и уровень погрешности δ> 0 такие, что θ

C δ ( θ ) θ

C 0 ( θ ) θ

H

Требуется определить приближенное решение n _δ ( ε ) ∈ H уравнения (1) и оценить уклонение n _δ ( ε ) - n ₀( ε ) _H от точного решения n ₀( ε )в метрике пространства H .

C ( О )

Если предположить, что     , n ( е ) е H , то уравнение (1) становится некорректной задачей.

θ

2. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Метод регуляризации А.Н. Тихонова [1] для приближенного решения уравнения (1) заключается в сведении его к вариационной задаче

2                                                                           1

∞

∞

inf И f s I ^E I ^E n ( E ) d ^ — C ^ ^ ^ ) ^j - ^j V ^О) ^О E

ε

-

θ

∞

dθ+α θ

∞

j[ n '(е )] ² E d E + a J n ²( е ) —: n ( е ) е H ¹ [0, га ) [ , 0                0        ^е

где H ¹ [0,да) - гильбертово пространство, определяемое нормой

∞

IH 'ига,    I

n ²( е )

ε

Известно из [5], что для любой функции

∞

d E + j [ n '( е )]² E d E , а a > 0.

C₈ ( О ) „

—--е H существует единственное решение ва-

θ

риационной задачи (4).

Для определения значения параметра регуляризации a в задаче (4), используется принцип невязки [2, 3], который сводится к решению уравнения

∞

∞

ε

ε

Г с _с| E I E _a d EE J J S kk n s ^{( E} )— ^— о . Г> v ^О ) ^{О E}

d E С ₅ ( О )

θ

d O „₂

=δ θ

относительно a .

∞

C 5 ( О ) θ

dO „

■ о ^> 5 , уравнение (5) имеет единст-

Известно [3], что при выполнении условия j

0 - венное решение a(С5,5).

Приближенное решение n5 (е) уравнения (1) определим формулой n5 (E) = n5(C5,5 )(E ), соответствующий метод регуляризации определим семейством операторов {R5 : 0 < 5 < 50} непрерывно отображающей H в H и определяемый формулой

R δ

C 5 ( О ) θ

n § ( E ),

C 5 ( О ) θ

H

0,

C 5 ( О ) θ

< 5 .

H

3. Оценка погрешности метода { R _g : 0 <  5 <  5 ₀} на классе решений G r . Оценку погрешности метода { R 5 :0 <  5 <  5 ₀} определим с помощью семейства функционалов { А 5 ( R 5 ): 0 <  5 <  5 ₀} определяемых формулой [6]

А 5 ( R 5 ) = sup ^ R 5

^С"^ ) — n 0 ( E ) О )

: n о( е ) е G r , ^{С 5 О )} е H , Sn о( е ) H ^θ

^^^^^^™

C 5 ( О ) θ

Обозначим через w ( 5 , r ) модуль непрерывности в нуле оператора S " ¹ на множестве S [ G _r] w ( 5 , r ) = sup{11 n( E ) | H : n ( e ) е G_r ,|| Sn ( e ) 11 < 5 }.

Для величины А 5 ( R ₆ ) в [7] получена оценка

А₈ ( R ₈ ) <  2 w ( 5 , r );0 < 5 < 5 о ,

где w(5,r) определен формулой (7), а А 5 ( R § ) формулой (6).

4. Оценка модуля непрерывности w ( д,r ), определенного формулой (7). Сделаем замену переменных

е=€? и 6 = eT; —га < t < га, —га < т < га после которой оператор S сведется к оператору A типа свертки

Математика

∞

Au ( t ) = J K ( t — t ) u ( t ) dt ; 7< t <7 , —7 <  т <7 ,                      (10)

-∞ u (t) = n (e1),

• - ^{— 3 x}

k ( x ) =------ x , 2sh² —

I 2 J кроме того u(t), Au(t)e L2(-«,«).

Заметим, что после замены (9) класс корректности G _r, определяемый формулой (3) перейдет в множество M _r

Mr = {u (t): u (t) e W21(—7, 7), J u 2( t) dt + J |u'(t )|2 dt < r2}.(11)

-∞-∞

Теперь определим модуль непрерывности в нуле оператора A ^-1 на множестве N _r= AM _r формулой

w(3,r) = sup{||u(t)||L2: u(t)e Mr,\\Au(t) ||k< 3}.(12)

Лемма 1. Пусть w ( 3 , r ) определен формулой (7), а w ( 3 , r ) формулой (12). Тогда справедливо равенство w ( 3 , r ) = w ( 3 , r ).

• 5.    Оценка модуля непрерывности w ( 3 , r ) , определенного формулой (12)

Полагая, что u ( t ) e L 1 ( —7 , 7 ) n L ₂( —^ , 7 ), определим преобразование Фурье F

F [ u ( t )] =

72 Л

∞

J u ( t ) e^ip p dt .

-∞

Из теоремы Планшереля следует изометричность преобразования F в пространстве L ₂ (-»,«). Чтобы отличать комплексное пространство от действительного, будем обозначать его L ₂ ( —7 , 7 ). Таким образом, оператор F , определяемый формулой (13) будет изометрично в метрике L ₂( —^ , 7 ) отображать множество L 1 ( —7 , 7 ) n L ₂( —^ , 7 ) в пространство L ₂( —^ , 7 ).

Ввиду того, что пространство L1(—7, 7) плотно в L2(—^, 7), расширим оператор F на все пространство L2 (—7, 7). Это расширение обозначим через F .

Теперь оператор F будет изометрично отображать пространство L ₂( —^ , 7 ) в L ₂( —^ , 7 ). В дальнейшем образ оператора F обозначим через Y и заметим, что Y будет являться подпространством L ₂( —^ , 7 ).

После преобразования F оператор A сведется к следующему

Au(p ) = K ( p ) u(p ); u(p ) e Y , а v Au(p ) e L 2 ( —^ , ~ ),                   (14)

где й(p ) = F [ u ( t )], а ввиду того, что K ( x ) e L 1 ( —^ , ~ )

2 П

∞

K C( p ) =

J K ( x ) e ^ixp dx .

-∞

Из вида K(x) будет следовать, что

A 1   7 e—(2—ip)xe—x              7 e—(2—ip)xe—e d (e—x).

K C( p ) =      J e-----— dx . = —. - J e-----—

2 П — —7 ch( e ^x ) — 1 V ⁿ —7 ( e-^{e x} — 1) ²

Сделав в последнем выражении замену z = e"^- , получим

......Л J

-∞

_z ^{— (2 —} ip ) _ez ( e z — 1) 2

dz =

_z ^{— (2 —} ip ) _ez ( e z — 1) 2

dz .

Используя свойства гамма и дзета-функций [8]

~ s - - 1

Г ( s ) Z ( s ) = J Zz , 0. e ^{- 1}

получим, что

Kp) = p(2 - ip)Г(2 - ip)Z(2 - ip) = £Г(3 - ip)Z(2 - ip), ππ где Г(z) - гамма функция Эйлера, а Z(z) — дзета-функция Римана.

Для оценки снизу поведения функции |к(p)| при p^x приведем некоторые известные свой ства гамма-функции, сформулированные в [8, стр. 16 и 19]:

Г(7+1) = 2Г(Х),(15)

_                     Г( z) = Г( z),(16)

где z сопряжено z , а Г ( z ) сопряжено Г(/) и

Г(z)Г(1 - z) = -П.(17)

sin n z

Таким образом, из (15) следует, что

I Г(3 - ip )| = TiTp2 Т4+Т2 |Г(1 - ip )|,(18)

а из (16) и (17), что

| Г(1 - ip)| =    np.(19)

sh п p

Из (18) и (19) для любого p >  2 справедлива оценка

|Г(3 - ip)| > V2ne"2p .(20)

Теперь перейдем к оценке снизу модуля дзета-функции Римана Z (2 - ip ) .

Так как ^∞

Z( s) = I -,(21)

n=1 n то из (21) следует, что

^ ip ln n

Z(2 - ip) = I -2-.(22)

n = 1 n

Учитывая, что | e ^{ip ln} k | = 1, из соотношения (22) получим

Z(2 - ip) > 1 -I   > 1.(23)

n = 2 n ³

Таким образом, из (20) и (23) следует, что при p >  2 справедлива оценка снизу

_- π _P

|Kp)| > je 2 .(24)

Теперь рассмотрим расширение Д оператора 4 , определенного формулой (14) на все пространство L ₂( -^м , ^м )

Л u(p) = K(p)u(p); u(p),Д u(p)e L2( ^.~).

Рассмотрим множество M r c L ₂ ( -^ , ~ ) и определяемое формулой

Л/ r = {ut( p): u( p), pu( p) e L2(—,-), J (1 + p 2) ^( p )|2 Zp < r2}.(26)

-∞

Тогда из (11) и (26) следует, что

F [ Mr ] c Mf r.(27)

Теперь рассмотрим модули непрерывности, в нуле определяемые формулами

Математика

Tw( 5 , r ) = sup{| u ( p ) L : zz( p ) e F [ M r ]Jplzz( p )    <  5 }, 2                                   L 2	(28)
4w ! ( 5 , r ) = sup !) u ( p ) L : u(p ) e M r J . 4 1 u(p )    <  5 } . 2                               L 2	(29)
Из унитарности преобразования F и формул (10), (12), (14) и (28) следует, что
w( 5 , r ) = w ( 5 , r ),	(30)
а из (14), (25), (27)-(29), что
iw’1( 5 , r ) >  vw( 5 , r ).	(31)

Таким образом, из (30) и (31) следует, что w (5, r) < w1(5, r).

Для удобства изложения оператор 4 , определенный формулой (25) заменим обратным

I f¹, который обозначим через T 1

T1 Л p) = 4- f( p); f( p) e R (41), T1 Д p) e L2(—, ~),(32)

где R (4) - множество значений оператора 4 1 .

Множество Ml_r , определенное формулой (27) зададим с помощью оператора B

Bu(p) = 71 + p2м(p);      u(p),Bu(p) e L2(-~,~),(33)

Mr = B 1 Sr,(34)

где S r = {t?( p ): u⁽p ) ^e L . ( -~ ^),||tz( p )|| L <  r ^}.

В пространстве L ₂( -^ , ~ ) введем множество T V r определяемое формулой

Vr = VC Mr).(35)

Тогда из (26), (29), (32)-(34), (35) следует, что w1(5,г) = sup{|Tf(p)||:f(p)e TVЦf(p)||_ < 5}.

Перейдем к оценке модуля непрерывности w ( 5 , г ).

Для этого рассмотрим оператора T, действующий из L ₂( -^ , ^ ) в L ₂( -^ , ^ ) и определяемый формулой

Tf p ) = g ( p ) f p ),                                (36)

Где

g(p ) e С(-да,да), g (- p ) = g(p ), g (0) > 0,                            (37)

lim g ( p ) = ~ и g(p ) возрастает на [0, да).

p ^^

Обозначим через w₂(5,г ) модуль непрерывности в нуле оператора T на множестве T V r = T ^{- 1} ( Ml_r ), а Ml_r определено формулой (34) и рассмотрим уравнение

^= = g ( p) 5 .                          (38)

7^{1+ p}

Если g (0) § <  г , то уравнение (38) имеет единственный положительный корень p ( 5 , г ).

Из леммы доказанной в [6] следует, что

* 2 ( 5 , г ) = ,   _r      .                                      (39)

7^{1 +} p ^{2( 5 ,} r )

Предположим, что оператор T 1 определен формулами (25) и (32), а T формулой (36).

Тогда справедлива лемма.

Лемма 2. Если g(p ) удовлетворяет (37) и существует p ₀ > 0 такое, что для любого p >  p ₀ справедливо соотношение

Kˆ(p)-1 ≤g(p), то при условии, что g(p0)δ<   r справедлива оценка

• 1    + p ₀ ²

w ˆ ₁( δ , r ) ≤ w ˆ ₂( δ , r ).

Теперь используем лемму 2 для оценки точности метода{ R _δ :0 < δ ≤ δ ₀}.

Из (24) следует, что при p ≥ 2

π

- 1          p

K ^ˆ( p ) ≤ ³ ₂ e ² .

Таким образом, из (8), (30), (31), (39), (40) и леммы 2 следует, что при

2 re ^{- π}

δ 0 = ₃₅

для метода { R _δ :0 < δ ≤ δ ₀}справедлива оценка

Δ δ ( R δ ) ≤

2 r