Об одной гипотезе С. Ленга
Автор: Тасоев Ботаз Георгиевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Короткий адрес: https://sciup.org/14318054
IDR: 14318054
Текст краткого сообщения Об одной гипотезе С. Ленга
Начало теории приближения алгебраических чисел рациональными числами положил Ж. Лиувилль в 1844 г., который опубликовал первую теорему, дающую некоторый необходимый признак алгебраичности числа и, следовательно, достаточный признак трансцендентности [1, 2]. Усиления теоремы Лиувилля в дальнейшем получили А. Туэ, К. Зигель, Ф. Дайсон, А. О. Гельфонд. Существенное продвижение в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными получил К. Рот в 1955 г. Им доказана следующая теорема.
Теорема Рота. Пусть а Е A, deg а = п ^ 3, а 5 — любое положительное число. Тогда неравенство
a
^^^^^^^™
Р
q
имеет лишь конечное число решений в числах р Е Z, q Е N.
Долгое время в теореме Рота не удается заменить функцию q8 на функцию, растущую медленнее, чем q8. С. Ленг в 1965 г. заметил, что «очень трудной является гипотеза, состоящая в том, что для числа а степени п ^ 3 неравенство р 1
- < -^---г-q Q2(ln q^K имеет лишь конечное число решений при к > 1 или, по крайней мере, при к > «о(а)» (см. [3], стр. 98).
В настоящей заметке аннотируется следующий результат, подтверждающий гипотезу С. Ленга.
Теорема. Пусть а Е A, deg а = n, п > 3, а 6 — любое положительное число. Тогда неравенство
____________1____________
(n-2)x+V ln1+5Q
a
^^^^^^^™
Р
q
имеет только лишь конечное число решений в числах р Е Z, q Е N.
Доказательство будет опубликовано в одном из следующих выпусков журнала.
Список литературы Об одной гипотезе С. Ленга
- Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел.-М.: Изд-во МГУ, 1982.
- Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трасцендентные числа.-М.: Изд-во МГУ, 1982.
- Шмидт В. Диофантовы приближения.-М.: Мир, 1982.