Об одной гипотезе С. Ленга

Начало теории приближения алгебраических чисел рациональными числами положил Ж. Лиувилль в 1844 г., который опубликовал первую теорему, дающую некоторый необходимый признак алгебраичности числа и, следовательно, достаточный признак трансцендентности [1, 2]. Усиления теоремы Лиувилля в дальнейшем получили А. Туэ, К. Зигель, Ф. Дайсон, А. О. Гельфонд. Существенное продвижение в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными получил К. Рот в 1955 г. Им доказана следующая теорема.

Теорема Рота. Пусть а Е A, deg а = п ^ 3, а 5 — любое положительное число. Тогда неравенство

a

^^^^^^^™

Р

q

имеет лишь конечное число решений в числах р Е Z, q Е N.

Долгое время в теореме Рота не удается заменить функцию q8 на функцию, растущую медленнее, чем q8. С. Ленг в 1965 г. заметил, что «очень трудной является гипотеза, состоящая в том, что для числа а степени п ^ 3 неравенство р         1

- < -^---г-q Q2(ln q^K имеет лишь конечное число решений при к > 1 или, по крайней мере, при к > «о(а)» (см. [3], стр. 98).

В настоящей заметке аннотируется следующий результат, подтверждающий гипотезу С. Ленга.

Теорема. Пусть а Е A, deg а = n, п > 3, а 6 — любое положительное число. Тогда неравенство

____________1____________

(n-2)x+V ln1+5Q

a

^^^^^^^™

Р

q

имеет только лишь конечное число решений в числах р Е Z, q Е N.

Доказательство будет опубликовано в одном из следующих выпусков журнала.