Об одной экстремальной задаче в модели "инвестиции-потребление"

Динамика фондовооруженности в модели «инвестиции–потребление» описывается законом (см. [1, с. 243])

x = sf (x) — ЦХ, где x — фондовооруженность, f — производственная функция, f (x) — произведенная в единицу времени стоимость, приходящаяся на одного работающего, 0 < s < 1 — доля произведенной стоимости, которая возвращается в производство в виде инвестиций, µ — коэффициент амортизации производственных фондов.

Производственная функция обладает свойствами: f > 0, f ‘ > 0, f ‘‘ < 0, lino f ‘(x) = +to,    lim f ‘(x) = 0.

Рассматривается фиксированный промежуток времени [0, T], фондовооруженность на момент нуль составляет величину x 0 .

(О 2022 Николенко П. В., Новикова Л. В.

Пусть поставлена цель: к моменту T достигнуть фондовооруженности x1 > x0 , но собственных инвестиций для достижения этой цели не хватает — это означает, что время достижения величиной x значения x1 по закону x = sf (x) — ^x больше T :

x 1

dx

> T.

sf (x) - ^x x0

Предположим, что для достижения этой цели выделены средства объема S , которые поступают в виде финансового потока u(t), где и — кусочно-непрерывная функция,

T

У u(t) dt = S, 0

причем

0 < u(t) < p(x(t)), величина p(x) — предельная способность к поглощению инвестиций, предполагается, что она непрерывно-дифференцируема. Тогда динамика фондовооруженности примет вид:

x = F (x) + u, где F(x) = sf (x) — ^x.

Поставим вопрос: каков минимальный объем средств S и в виде какого финансового потока они должны поступить, чтобы поставленная цель была достигнута?

Будем считать, что F положительна на отрезке [xo,xi] и x E (x0, x1), где x — точка максимума F.

Если x окажется вне интервала (xo, xi), то ответ на поставленный вопрос легко усматривается из нижеизложенного.

Отметим, что задача о наискорейшем выходе на заданный уровень фондовооруженности была в упрощенной постановке изучена ранее в работе [2].

• 2.    Задача управления

Запишем поставленную задачу как задачу теории управления:

T

J (и) = У

u(t) dt ^ min,

x = F (x) + и,

x(0) = xo,   x(T) = x1, b1(x, и) = и — p(x) < 0,   b2(x, и) = —и < 0, время T фиксировано. Исследуем эту задачу с помощью принципа максимума Понтрягина. Условия оптимальности для таких задач сформулированы Болтянским [3, с. 400]. Согласно этим условиям оптимальный процесс (x, и) доставляет максимум по и функции Понтрягина

H = фои + ф(Р (x) + u) :

o

(для всех, кроме, возможно, конечного числа моментов t), где фо < 0 — константа, ф — непрерывное решение вспомогательного уравнения

• _ dHdb ф = - ax + L pi ax :

i=i ф = —фP(x) - pip (x),(2)

где ρi — кусочно-непрерывные неотрицательные функции такие, что pi(t)bi(x(t),u(t)) = 0, i = 1, 2,(3)

и для всех, кроме конечного числа, значений t, выполняется соотношение

4-(HMtLxct),^)) = 5- (^Pi^t^bi(x(t'),u(f)H: ∂u∂u i=i фо + Ф = Pi

-

P2;

вектор (фо,ф(Т)) ненулевой.

Следует рассмотреть два случая: фо = 0, фо = —1.

• 3.    О числе переключений

• а)    Рассмотрим случай фо = 0, из условия максимума (1) следует, что

  u(t) =

  
  

p(x(t)), если ф(t) > 0,

0,         если ф(t)< 0.

Из условия (5) следует, что ф(Т) = 0. Если ф(Т) > 0, то и(Т) = p(x(T)) и из (3) получаем P2 = 0 для всех t, где ф > 0. Тогда из формулы (4) получаем, что ф = pi и, подставляя в (2), получаем ф = —ф(F ‘(x) + p (x)).

Поскольку ψ — решение однородного линейного уравнения, оно сохраняет знак, следовательно, точки переключения управления отсутствуют:

u(t) = p(x(t)) для всех t Е [0, T].

Если ф(Т) < 0, то u(T) = 0 и, следовательно, pi = 0 на промежутке, содержащем T. Подставляя pi = 0 в (2), получаем фф = —cP ‘(x), и, в силу сохранения величиной ф знака, u(t) = 0 для всех t Е [0, Т].

• б)    Рассмотрим случай фо = —1. Тогда H = —и + ф(F(x) + u), из условия (1) получаем

_ Г p(x), если ф > 1, [ 0,     если ф < 1.

Если для всех t из некоторого промежутка u(t) < p(x(t)), то в силу (3), (2) pi = 0 и ф = — фF ‘(x).

Поскольку, в силу уравнения динамики, x монотонно возрастает и F^′ обращается в нуль лишь в одной точке, равенство ф = 1 может выполняться не более, чем в двух точках и на указанном промежутке u = 0.

Пусть [а, в] — промежуток максимальной длины, на котором и = 0. Это означает, что либо а = 0, либо а — точка переключения и, следовательно, ф(а) = 1 (если а > 0). Аналогично, ф(в) = 1 (если в < T)•

Если а > 0, то из условий ф = —фF‘(x), ф(а) = 1, ф < 1

следует, что

F‘(x(а)) > 0, т. е. x(а) < X. Аналогично, х(в) > X.

Таким образом, управление u содержит не более двух точек переключения. Причем, если т — момент переключения с и = p(x) на и = 0, то x(т) < X; если с и = 0 на и = p(x), то x(т) > X.

• 4.    Нахождение точек переключения

Точки переключения определяются из условия x(T) = xi. Величина x монотонно возрастает, поэтому управление u является также функцией x.

Если имеется одна точка переключения с p(x) на 0 в момент т‘, причем

x(т ) = x < x, то x меняется по закону

J F (x) + p(x), при 0 < t<т ‘, [ F(x),         при т‘ < t ^ T.

Тогда

x^′

T = т ‘ + (T — т ‘) = j x0

x1

dx          dx

F(x) + p(x) ⁺J F(x) *

x^′

Функция от x^′в правой части равенства (6) является монотонной, поэтому x^′из (6) является монотонной, поэтому x^′из (6) определяется однозначно (в случае разрешимости уравнения). В случае разрешимости (6) будем обозначать x1 через x^′′.

Аналогично, если имеется одна точка переключения с 0 на p(x) в момент т‘‘ (x(т‘‘) = x′′ > x), то x′′ dxdx

У F(x) ⁺ У F(x) + p(x) *

x0

Из (7) (в случае разрешимости) x^′′определяется однозначно. В случае разрешимости (7) переобозначим x0 через x^′.

Если имеются две точки переключения: с р(х) на 0 в момент т‘ (х(т‘) = х‘), с 0 на р(х) в момент т‘‘ (х(т‘‘) = х’’), то на промежутке от т‘ до т‘‘

( х = F(х),

I V = -^F‘(х), причем ^(т‘) = ^(т‘‘) = 1.

Данная система является гамильтоновой с функцией H = vF(х), поэтому

W ‘)F (х(т ‘)) = <т ")Е (х(т ‘‘)).

Следовательно, F(х‘) = F(х’’).

Тогда x′ , x′′ однозначно определены из соотношений xx′′

T Г dx       Г dx

J F(х) + р(х) ⁺J F(х)

x0                       x^′

x1

dx

F(х) + р(х), _x′′

F (х‘) = F (х"\

Запишем значение функционала

T

J(u)= [ u(t) dt =    [   р(х(1)) dt =     [       ^p(z)dz .            (9)

J                J                        J F ^{(z) + p(z)}

0                [0,T]\[t ‘,T ‘‘]                  [xo,xi]\(x',x")

Таким образом, установлена

Теорема. Если процесс (х, u) оптимальный, то динамика х описывается законом

. _ ( F(х),         при х Е (х,х‘),

[ F(х) + р(х), при х Е [хо,х1] \ (х‘,х’’), где х, х‘ удовлетворяют одной из формула (6)-(8). Значение J(u) определяет формула (9).

Выводы. Минимальная сумма, которая обеспечит достижение фондовооруженностью значения х1 к моменту T, определяется из формулы (9). При этом рост фондовооруженности от значения x^′до значения x^′′обеспечивают собственные инвестиции, в остальное время, кроме собственных инвестиций, в максимальном темпе используются привлеченные средства.