Об одной краевой задаче, сводящейся к уравнению с разрывным оператором

Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно неизвестной функции x : [ a , b ] ^ ( -» , +« ) .

( Lx )( t ) = - f (x ( t )), (1)

x ( a ) = x ( b ) = 0, (2)

где (Lx)(t) = d- (p(t)x(t)) - q(t)x(t); p, q, f -dt заданные вещественные функции; p(x) > 0, q(x) > 0 при x g[a,b], p', q непрерывны, f определена на (-»,+»). При этом предполагается, что функция f может быть разрывной.

В современной математической литературе встречаются различные задачи для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Такие уравнения исследуются, например, в работе [2]. В ней указано, что для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями требуется определить понятие решения. Изложены различные варианты определения решения таких урав- нений (гл. 2, с. 39–48). Но в указанной книге краевые задачи не рассматриваются.

Дадим вариант определения решения краевой задачи (1), (2) и укажем условия, при которых решение такой краевой задачи существует, и хотя бы одно из решений можно найти методом последовательных приближений.

Рассмотрим сначала более простую краевую задачу

( Lx )( t ) = - f ( t ),              (3)

x ( a ) = x ( b ) = 0,             (4)

где L – такой же дифференциальный оператор, как в уравнении (1) с указанными условиями в описании этого уравнения. Эта задача отличается от задачи (1), (2) тем, что правая часть уравнения (3) не зависит от неизвестной функции x . Если f - непрерывна на [ a,b ], то решение задачи (3), (4) известно, оно дается равенством b

x ( t ) = J G ( t , s ) f ( s ) ds   ( t e [ a , b ]),     (5)

a где G – функция Грина краевой задачи (3), (4).

Если теперь в правой части уравнения (3) вместо функции f взять композицию f ° x , то получится уравнение (1), а равенство (5) преобразуется в такое: b

x ( t ) = j G ( t, s ) f ( x ( s )) ds ( t e [ a,b ]).     (6)

a

Это – интегральное уравнение относительно неизвестной функции x . Если композиция f ° x - непрерывна, то интегральное уравнение (6) эквивалентно краевой задаче (1), (2). Данное уравнение положим в основу определения решения краевой задачи (1), (2) в случае разрывности функции f .

Функцию x , определенную на [ a; b ], будем называть решением краевой задачи (1), (2), если x – решение интегрального уравнения (6).

Укажем вариант условий, при которых решение краевой задачи существует, и одно из решений можно найти методом последовательных приближений. Идея доказательства – сведение краевой задачи с помощью функции Грина к интегральному уравнению. А для доказательства существования решения интегрального уравнения используем теорему существования неподвижной точки нелинейного интегрального оператора, которая изложена в работе [5]. Эта теорема доказана на основе обобщения части теоремы 4.1 работы М.А. Красносельского [1], в которой используется полуупорядоченность, порожденная правильным конусом. Обобщение заключается в том, что вместо непрерывности оператора предполагается его непрерывность слева или непрерывность справа, т.е. допускается вариант, когда оператор разрывен. Указанная теорема изложена в работе [4].

Напомним формулировку теоремы из работы [5] с небольшими изменениями обозначений, которую будем использовать для доказательства существования решения краевой задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть

• 1)    Q - компакт в R^J, G : QxQ^ R, функция G непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю; существует такое число в о , что

• j G(t, s)dt > вG(t, s) (t, s eQ);

Q

• 2)    существуют такие t ₀ eQ и окрестность U точки t^ , что j G ( 1 ₀ , s ) ds >  0;

U

• 3)    f : [0, +» ) ^ [0, +» ), не убывает, непрерывна слева (или справа) на [0, +» );

• 4)    f i x ) > ,» при x > + 0 , f ( x ) ^ 0 xx

при x >+» .

Тогда существует хотя бы одна ненулевая неподвижная точка оператора A , определенного равенством

( Ax )( t ) = j G ( t , s ) f ( x ( s )) ds ( t e Q ),   (7)

Q в пространстве C (Q) функций, непрерывных на множестве Q.

Замечание. Из доказательства этой тео- ремы следует возможность нахождения хотя бы одной из неподвижных точек оператора (7) методом последовательных приближений.

Вариант достаточных условий существования решения уравнения (6) дадим с помощью теоремы 1.

Согласно теории, изложенной, например, в работе [3], функция Грина определяет- ся равенством

G ( t , s )

I ¹ м - Щ⁽ t ) u ₂ ⁽ s ), ^c

- u1( s ) u 2( t), „ c t < s, t > s,

где щ , u₂ - линейно независимая система из двух решений однородного дифференциального уравнения ( Lx)(t ) = 0, L - дифференциальный оператор из уравнения (1), c – некоторая константа.

Лемма 1. Пусть u:[a; b] > R ; u, u' - непрерывны на [a; b]; u(a) = 0; u'(a) > 0; u (t) > 0 при t e (a, b]. Тогда существуют такие константы k > 0, A > 0 ,       что k(t - a) < u (t) < A(t - a) при t e [a; b].

Доказательство. Так как u ' - непрерывна, и u '( a ) >  0, то найдется такое 5 >  0 , что u '( t ) >  0 при t e [ a , a + 5 ]. Положим k = min u '( t ) , A = max u '( t ) , t e [ a , a + 5 ]                     t e [ a , a + 5 ]

Очевидно, k > 0, A > 0 • По теореме Лагранжа    u (t) = u (t) - u (a) = u '(%)(t - a), где % e (a, a + 5).

Поэтому k ( t — a ) <  u ( t ) <  Д ( t — a ) при t e [ a, a + 8} .

Положим

,           ■     u ( t )    □                 u ( 11)

k₂ = min ---- , А = max ----.

t e [ a , a + ⁸ ] t — a           t e [ a , a + 8 ] t — a

Тогда k₂ (t — a ) <  u(t) <  А ( t — a) при t e [ a + 8 ; b ]. Отсюда и из предыдущих неравенств вытекает утверждение леммы.

Лемма 2. Пусть u :[a; b] ^ R; u, u' -непрерывны на [a;b]; u(b) = 0; u'(b) < 0; u (t) > 0 при t e [a, b). Тогда существуют такие константы      к > 0, А > 0, что к(b — t) < u(t) < А(b — t) при t e [a;b].

Доказательство аналогично  доказа тельству леммы 1.

Теперь докажем теорему существования решения краевой задачи (1), (2).

Теорема 2. Пусть

• 1)    L - линейный дифференциальный оператор краевой задачи (1), (2) со всеми условиями, указанными выше при описании этой задачи; среди решений однородного дифференциального уравнения ( Lx )( t ) = 0 найдутся такие решения u , u , что u ( a ) = 0, u₂ (b ) = 0; u‘< a ) >  0, u ‘ ( b ) <  0 ;

u ( t ) >  0 при t e ( a ; b ]; u ₂ ( t ) >  0 при t e [ a ; b ); Д ( t ) = u ‘ \t)u₂ (t ) — u ( t ) u ‘ ( t ) >  0 в какой-нибудь точке t e ( a ; b ) ;

• 2)    f : [0, +да ) ^ [0, +^ ), не убывает, непрерывна слева на [0, +^ ) ;

система u ,u - линейно независима, и c = Д(t)p(t) > 0 ([3], с. 194).

bs

J G ( t , s ) dt = — ( J u ( t ) u₂ ( s ) dt +

a

a

b

+ J u ( s ) u₂ ( t ) dt =

s

b

( s ) J u₂ ( t ) dt ) .

s

= — ( u ₂ ( s ) J щ ( t ) dt + u₂ c_a

Из лемм 1 и 2 следует существование таких констант k^, k2 > 0, что ii (s) > k (s — a),   u2 (s) > k2 (b — s)

при s e [ a , b ].

Кроме того, функции z1 и z2, определенные равенствами sb

Z j ( s ) = J u ( t ) dt , z ₂ ( s ) = J u₂ ( t ) dt , as

(s e [a, b]), удовлетворяют условиям лемм 1 и 2, соответственно. Поэтому найдутся такие константы k3, k4 > 0, что z1(s) > k3(s — a), z2(s) > k4(b — s) (s e [a, b]).

Из предыдущих соотношений следует неравенство bs  b

J G ( t , s ) dt = - ( J u ( t ) u₂ ( s ) dt + J u ( s ) u₂ ( t ) dt ) =

a

a

s

= - ⁽ u 2⁽ s ) ^Z 1⁽ s ) ⁺ u 1⁽ s ) ^Z 2⁽ s )) >  c

f ( x )

x

→ +∞

при

x —^ + 0 ,

> —( k ₂ ( b — s ) k ₃ ( s — a ) + k ( s — a ) k ₄ ( b — s )) = c

f ^{( x} )

^ 0

x

при x — +х .

k ² k ^{3 +} k ¹ k ⁴ ( s — a )( b — s ). c

Тогда существует хотя бы одно решение краевой задачи (1), (2) в пространстве C[ a,b ].

Доказательство. Покажем существование такого числа в, что b

J G(t, s)dt > вG(t, s) (t, s e [a, b]), (9) a где G - функция Грина, определенная равенством (8). Из условий теоремы следует, что

Положим k ₀ = k₂k ₃ + kA . Тогда

b

J G ( t , s ) dt > —( s — a )( b — s ) ,   (10)

ac где (s e [a,b]).

Оценим теперь G(t, s) сверху. Из лемм 1 и 2 следует существование таких констант А > 0, А > 0, что u (t) < А (t — a), u2 (t) < А (b — t) (t e [a, b]) .

Пусть 0 <  t <  s .

Тогда

G ( t , s ) = U(t ( t ) u ₂ ( s ) <  c

• <    A ²^t - a )( b - s) <  ² 1 ² 2 ( s - a )( b - s ). cc

Пусть теперь s <  t <  b. Тогда

G ( t , s ) = — u ( s ) u₂ ( t ) <  c

• <    ^ i ^ 2 ( s - a)(ь - 1 ) <  ^{22 2} ( s - a)(ь _ s ).

cc

Итак, при любых t , s G [ a , b ] выполняется неравенство

G ( t , s ) < ^2 ( s - a )( b - s ).    (11)

c

k

Положим в = —“ . Тогда из нера- ⁰    2 1 ^ 2

венств (10) и (11) следует неравенство (9).

Итак, выполнено условие 1) теоремы 1 при Q = [ a , b ] .

. a + b

Если положить t0 = —-—, U = (a, b), то условие 2) тоже выполнено. Очевидно, выполнено и условие 3). Поэтому существует хотя бы одна неподвижная точка оператора A , определенного равенством (7), в пространстве C[ a, b ]. Это означает, что существует хотя бы одно решение краевой задачи (1), (2). Теорема доказана.

Из замечания к теореме 1 следует возможность нахождения хотя бы одного из решений методом последовательных приближений.

Пример. Рассмотрим краевую задачу x" + f (x) = 0, x (0) = x (10) = 0,

где

f ⁽ x ) = ’

'2,   x <  50,

10, x >  50.

Ее можно рассматривать как задачу о движении материальной точки под действием силы, которая изменяется скачкообразно.

В соответствии с определением решения такой задачи, которое принято в настоящей работе, решением задачи (12), (13) будем считать решение интегрального уравнения

x ( t ) = J G ( t , s ) f ( x ( s )) ds ( t g [0; 10 ]) , 0

где G – функция Грина, которая определяется равенством

G ( t , s ) =

10 ( ¹⁰ - s ) t ■ i⁽¹ ° - t ) s ,

0 <  t <  s , s <  t <  10.

Легко проверяется, что для этого интегрального уравнения выполняются все условия теоремы 2. Поэтому существует хотя бы одно решение этого уравнения и, следовательно, краевой задачи (12), (13) в пространстве C[0; 10]. Кроме того, некоторые из ре- шений можно найти методом последовательных приближений.

Задача (12), (13) легко решается аналитически. Ее решением будем считать функцию x :[0; 10] ^ R , удовлетворяющую условиям (13), которая является решением дифференциального уравнения (12) в точках непрерывности x при дополнительных условиях непрерывности x и x на [0; 10]. Выяснилось, что эта задача имеет 3 решения (см. таблицу).

Приближенные значения решений задачи

t	x 1 ( t )	x 2 (t )	x 3( t )
0	0	0	0
1	9	15,0	38,5
2	16	28,0	73,2
3	21	39,1	98,2
4	24	48,1	113,2
5	35	52,8	118,2
6	24	48,1	113,2
7	21	39,1	98,2
8	16	28,0	73,2
9	9	15,0	38,5
10	0	0	0

Если взять в качестве начального приближения x ₀ ( t ) = 0 , то последовательные приближения для указанного интегрального уравнения сходятся к решению x . Если взять, например, начальное приближение x ₀( t ) = - 2.08( t - 5)² + 52 , то последовательные приближения сходятся к решению x ₃.

К решению x последовательные приближения, по-видимому, не сходятся.

Заключение

Указан метод доказательства существования решений краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Метод обоснован с помощью теоремы существования неподвижной точки нелинейного оператора, который преобразует в себя конусный отрезок банахова пространства.

Показано, что в рассмотренных условиях метод последовательных приближений сходится к какому-нибудь решению краевой задачи. Результаты проиллюстрированы примером.