Об одной линейной задаче управления при наличии помехи

Линейную задачу управления при наличии воздействия со стороны неконтролируемой помехи и с фиксированным моментом окончания с помощью линейной замены переменных [1] можно свести к виду, когда в правой части новых уравнений стоит только сумма управления и помехи, значения которых принадлежат заданным множествам, зависящим от времени. В случае, если в линейной задаче управления с помехой платой является значение в заданный момент времени модуля линейной функции, то линейная замена переменных приводит к однотипной задаче, когда множества значений управления и помехи являются отрезками, зависящими от времени. В более общем случае такие задачи характеризуются тем, что вектограммами управления и помехи являются шары, радиусы которых зависят от времени. Такую динамику имеют после замены и известные дифференциальные игры «изотропные ракеты» [2], контрольный пример Л.С. Понтрягина [3]. Для таких дифференциальных игр в случае, когда терминальное множество является шаром заданного радиуса, в [3] построен альтернированный интеграл. В [4] построены оптимальные позиционные стратегии игроков. В работе [5] построен альтернированный интеграл для однотипных игр с произвольным выпуклым замкнутым терминальным множеством и построены оптимальные позиционные управления игроков. В работе [6] первый игрок, выводя фазовую точку на круг заданного радиуса, минимизирует интегральную плату, которая задается выпуклой функцией от нормы его управления.

В настоящей работе рассматривается однотипная задача управления с помехой, в которой управление строится из условия минимизации платы, являющейся суммой как терминальной, так и интегральной составляющих. Доказана теорема существования оптимального управления с достаточно широкими ограничениями на рассматриваемый класс задач. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых допустимое управление является оптимальным.

Постановка задачи

Рассматривается управляемый процесс x = A(t)x + фВ(t)^ + n, x(to) = x0; xe Rm, t < p.                      (1)

Здесь p - заданный момент окончания процесса управления, а t о - начальный момент времени; ф е R и ^е M являются управлениями, причем множество M является связным симметричным относительно начала координат компактом в R s ; помеха n принадлежит связному компакту Q с R m ; A ( t ) и В ( t ) - непрерывные при t о <  t <  p матрицы соответствующих размерностей.

Определим допустимое управление. Для любого числа р >  1 обозначим через L p [ 1 ₀, p ] пространство измеримых функций ф :[ 1 ₀, p ] ^ R с суммируемой на отрезке [ 1 ₀, p ] степенью | ф ( r )| ^р .

Задано число q >  1. Допустимым управлением являются неотрицательная функция ф ( - ) е L_q [ 1 0 , p ] и произвольная функция £ :[ 1 0 , p ] X R m ^ M . Помеха реализуется в виде произвольной функции n :[ 1 0 , p ] X R m ^ Q .

Такое определение допустимого управления продиктовано следующим соображением. В задачах управления механическими системами переменного состава, движение в которых описывается уравнением Мещерского [7], возможен случай, когда закон изменения реактивной массы нужно задавать программным образом, а управлять можно только направлением относительной скорости ее отделения. В этом случае приходим к сформулированному выше допустимому управлению.

Следуя [1], движения системы (1), порожденные допустимыми управлением и помехой, определим с помощью ломаных.

Возьмем разбиение to отрезка [ t ₀, p ] с диаметром d ( to )

to : t о <  t 1 < ... <  t j <  t j _{+ 1} = p , d ( to ) = max( t i - t i _{+ 1}), i = 0, j .

Положим xto(tо) = xо и при ti < t < ti+1, i = 0, j хю( t) = A (t) Xto( t) + ^( t) B (t )^( ti, Xto( ti)) + П( ti, Xto( ti)).                           (2)

Можно показать, что семейство ломаных (2), определенных на отрезке [ t о , p ], является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным [4, с. 56]. По теореме Арцела [8, с. 104], из любой последовательности ломаных (2) можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [ 1 0 , p ]. Под движением, реализовавшимся при допустимых ^ ( t ), £ ( t , x ), n ( t , x ) из начального состояния x ( 1 0 ) = x 0 , будем понимать любой равномерный предел последовательности ломаных (2), у которых диаметр разбиения d ( to ) стремится к нулю.

Показателем качества управления является величина

p

G (|( ^ 0 , x ( p )} — C ) + f P q ( r ) dr .                                   (3)

t ₀

Здесь ^ 0 e R m - заданный вектор; (•,•) - скалярное произведение в R m ; C - заданное число; G : R ₊ ^ R - заданная функция.

Управление строится исходя из принципа минимизации гарантированного результата [1] показателя качества (3).

Переход к одномерной однотипной задаче

Следуя [1, с. 160], перейдем к новой управляемой системе, в уравнениях движения которой отсутствует фазовый вектор. Рассмотрим при 1 0 <  t <  p решение ^ ( t ) задачи Коши:

^ = - A *( t >, ^( 10) = ^0.(4)

Здесь A * (t) - транспонированная матрица. Положим ь-(t)=mein^(t)’П, ь+ (t)=max^(tn.(5)

Тогда из связности компакта Q следует [9, с. 333, теорема 4], что

(И t П =1 (b+ (t) + b- (t)) + b (t) V, |v| < 1, b (t) = 2 (b+ (t) - b- (t))> 0.(6)

Обозначим

a(t) = max /^(t), B(t)£).(7)

^ e M

Из связности и из симметрии компакта M следует, что a ( t ) >  0 и

• {Иt),B(t)^ = -a(t)u, |u| < 1.(8)

Отметим, что функции (5) и (7) являются непрерывными [10, лемма II.3.5]. Следовательно, непрерывной является и функция b ( t ) (6).

Перейдем к новой переменной

1p z = (Иt),x) + - f(b+ (r) + b- (r)) dr - C .                             (9)

t

Математика

Тогда из (4) и (9) следует, что z(p) = ^0,x(p)}- C, а ломаная z^(t), отвечающая ломаной (2), определяется равенствами zm(t) = -Ф(t)a(t)ui + b(t)vi, |ui| - 1 |vi|- 1-

Таким образом, получили одномерную однотипную задачу управления z = -ф(t)a(t)u + b(t)v, z(to) = z0; ф(t) > 0, |u| -1, |v| -1.                  (10)

с критерием качества

p

G (| z ( p )|)+ [ ф^ч ( r ) dr ^ min max .                              (11)

uv t 0

В этой задаче допустимым управлением являются неотрицательная функция ф0 е Lq [t0, p] и произвольная функция u(t, z) с |u(t, z)| -1. Допустимой помехой является произвольная функция v(t, z) с |v(t, z)| -1. Движение z(t) определяется как равномерный предел последовательности ломаных tt zm(t) = zm(ti)- JФ(r)a(r)dr u (ti, zm(ti))+ Jb(r)dr v(ti,z®(ti)). ti - t- ti+1 ti                                                                    ti с диаметром разбиения d(to) ^ 0.

Определение 1. Решением задачи (10), (11) называется допустимое управление ф ₀(t ), u ₀( t , z )

и число V₀ такие, что

• 1)    для любой допустимой помехи v ( t , z ) и для любого движения z ( t ) с начальным условием z ( 1 ₀) = z ₀, порожденного ф ₀( t ), u ₀( t , z ) и v ( t , z ), выполнено неравенство:

p

G (| z ( p )| ) + J ^ ( q ( r ) dr - V 0 ;

t 0

• 2)    для любого допустимого управления ф ( t ), u ( t , z ) и для любого числа V <  V ₀ найдется допустимая помеха v ( t , z ) такая, что для любого движения z ( t ) с начальным условием z ( 1 ₀) = z ₀, порожденного ф ( t ), u ( t , z ) и v ( t , z ), выполнено неравенство

p

G (| z ( p )| ) + J ф^ч ( r ) dr >  V .

t 0

Условия оптимальности в однотипной задаче

Рассмотрим задачу (10), (11) в общем случае, когда z , u , v принадлежат пространству Rⁿ , а | • | - норма в Rⁿ .

Зафиксируем неотрицательную функцию ф(-) е Lq [10, p], число Е > 0 и рассмотрим дифференциальную игру z = -ф(t)a(t)u + b(t)v, |u| -1, |v| -1                                  (12)

с условием окончания

I z ( p )| - Е .                                                   (13)

Для полноты изложения считаем, что функции a ( t ) >  0 и b ( t ) >  0 суммируемы на отрезке

[ 1 0 , p ], причем a ( • ) е L l [ 1 0 , p ]. Здесь l = ——.

ч - 1

Для такой однотипной игры Л.С. Понтрягин [3] построил альтернированный интеграл. Из его вида следует, что начальное положение z ( 1 ₀) принадлежит значению альтернированного интеграла в момент времени 1 ₀ тогда и только тогда, когда:

p fi (ф(-))=к(tо)|+ J (b(r) - ф r) a(r)) dr

tо < t< p t

Обозначим f (фО ) = max (fi (фО); f2 (фО)),

w(z) = iz при |z| > 0 и w(0) - любое с ограничением w(0)| = 1.(17)

z

Теорема 1 [4, теоремы 8.1 и 8.2]. Для начального состояния 1₀< p, z(t₀)е Rⁿ в игре (12), (13) управление и = w(z) обеспечивает выполнение неравенства \z(p)| < f (ф(-)) для любой функции |v(t, z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t). Управление v = w(z) обеспечивает выполнение неравенства |z(p)| > f (ф(-)) для любой функции |u(t,z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t).

Из этой теоремы, используя формулу (16), получим, что, если выполнены неравенства (14) и (15), то управление u = w(z) обеспечивает выполнение неравенства (13) для любой функции |v(t, z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t). Если же одно из неравенств (14) и (15) не выполнено, то управление v = w(z) обеспечивает выполнение противоположного неравенства |z(p)| > E для любой функции |u(t, z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t).

Далее будем считать, что выполнено следующее предположение.

Предположение 1. Функция G: [1₀, +^)^ R является непрерывной, строго возрастает и G(E) ^ +^ при E ^ +^ .

Рассмотрим задачу ^p f) (е,Ф(-)) = G (e ) + J ф (r) dr ^ min,                           (18)

t0

f1 (фС))< E ^f2 (ф⁽"))< E ^E > ⁰Ф⁽")е Lq^[t0,p^], Ф⁽t) > ^{0.                 (19})

Теорема 2. Пусть e₀ > 0 и ф₀(t) - решение задачи (18), (19). Тогда решением задачи (10), (11) являются функции ф₀(t),и = w(z) и число V₀ = f₀(Е₀,ф₀(-)).

Доказательство. При е0 и ф0(t) выполнены неравенства (14) и (15). Поэтому управление ф0(t) и и = w(z) обеспечивает выполнение неравенства |z(p)| < E0 для любой функции |v(t,z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t). Из условия возрастания функции G получим, что p

G(|z(p)|)+ JФ0(r)dr< f 0 (E0,^)(-)) = V0 .

t0

Допустим, что существуют число V< V₀ и допустимое управление ф(t) и и = w(z), которое обеспечивает выполнение неравенства ^p

G(|z(p)|)+ Jф^q (r)dr< V t0

для любой функции |v(t, z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t). Тогда это допустимое управление обеспечивает неравенство

Математика

| z(p)| < G^-1

^ p

V^-J Ф^4(r) dr

V      t0             V

=ε

для любой функции |v(t, z)| < 1 и для любого реализовавшегося движения z(t). Значит эти E > 0 и ф(t) удовлетворяют неравенствам (14) и (15) и, следовательно, ограничениям в задаче (18), (19).

Поэтому

p

V₀< G (e) + Jф^ч (r)dr .

t₀

Отсюда и из правой части (20) получим противоречие V₀< V .

Замечание. Поскольку функция (17) удовлетворяет условию |w(z)| = 1, то теорема 2 остается справедливой и для случая, когда ограничение на управление и в задаче (18), имеет вид равенства |и| = 1.

Теорема 3. Решение в задаче (18), (19) существует.

Доказательство. Отметим вначале, что функция G ограничена снизу, а связи (19) являются совместными. Из ограниченности снизу функции G и из условия ф(t) > 0 следует, что значения функционала f) (E,ф(•)) ограничены снизу. Обозначим через V0 значение его нижней грани при ограничениях (19). Тогда существуют последовательности Ei > 0, фi:[10,p] ^R , удовлетворяющие ограничениям (19), такие, что lim f0(^0) = V,.                             (21)

i→+∞

Из (18) следует, что G(Ei) < f0 (Ei,фi(•)). Отсюда, используя условие G(г) ^+^ при г ^ +^, получим, что последовательность чисел Ei ограничена. Переходя, если нужно к сходящейся подпоследовательности, считаем, что Ei ^ г0. Отсюда и из непрерывности функции G(г)

следует, что G(Ei) ^ G(e0). Из формулы (18), из сходимости последовательностей f} (Ei,фi(•)) и p

G(Ei) получим, что существует число D > 0 такое, что

Jф^ (r)dr < D для всех i > 1. Считаем, что t0

p существует lim ф^ (r)dr (иначе перейдем к подпоследовательности). i→∞ t0

В пространстве Lq[10,p] любой шар слабо компактен [11, с. 256]. Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательности, считаем, что существует функция ф0(-) е Lq [10, p] такая, что pp lim Jфi(r)х(r)dr = JФо(r)X(r)dr для любой функции х(") е Ll [10, p]              (22)

t0 и [11, с. 217]

t0

p

Jфoq (r) dr < t0

lim ^фjq (r) d i→∞ t0

Из последнего неравенства, используя формулы (18) и (21), получим, что f₀(E₍₎,ф₀(•)) < V₀ . Поэтому, если покажем, что E₀ и ф₀ (t) удовлетворяют связям (19), то они будут являться решением задачи (18), (19).

Поскольку фДr) > 0 при r е[10,p], то из условия (22) следует [4, с. 61], что ф0(r) > 0 для почти всех r е [10,p]. Используя неравенство Гельдера [11, с. 494-496], можно получить [4, с. 5758], что pp

j(b(r)- фi(r)a(r))dr ^ j(b(r)- ф0(r)a(r))dr tt равномерно при t e [t0, p]. Отсюда следует [4, с. 58], что pp max j (b (r) - фi (r) a (r)) dr ^ max j (b(r)- Фо( r) a(r)) d tо < t < p ]                               t0 < t < p ]

Таким образом, учитывая формулы (14) и (15), можем утверждать, что £₀ и ф₀(t) удовлетворяют связям (19).

Замечание. Если известно решение ф₀(t) в задаче (18), (19), то, подставляя его в формулу (8) при u = w(z), где z и w(z) определяются формулами (9) и (17), найдем решение £(t,x) в исходной задаче (1).

Приведем достаточные условия, при выполнении которых число £₀ и функция ф₀(t) являются решением задачи (18), (19).

Теорема 4. Пусть число £₀ и функция ф₀ :[1₀, p] ^ R удовлетворяют условиям (19). Пусть существуют число Л > 0 и неубывающая на отрезке [1₀, p] функция 0(t), такие, что ^(t₀) = 0 и:

pj^(r)(b(r)-ф0(r)a(r))dr = ^(p)£ , t0

^ p

Л j^(r) (b(r) - ф0 (r)a(r)) dr + |z(t0 )| v t0

-

)

^£0

= 0,

G (£₀)-(Л + ^( p) ) £₀< G (£)-(Л + ^( p)) £ при любом £ > 0,

ф0(t) = | —(Л + ^(t)) I^{9 1} при te[t0,p].

V q 7

Тогда число £₀ и функция ф₀(t) являются решением задачи (18), (19).

Доказательство. Возьмем произвольные число £ > 0 и функцию ф(-) e Lq [t0, p],ф(t) > 0. Запишем функцию Лагранжа p            p                                         (p                                    '

Л(£,ф(-))=G (£) + j ф9 (r) dr + j 0( r) (b (r)-ф( r) a (r)) dr-0( p )£+Л j (b (r)-ф( r) a (r)) dr +| z (p )| - £ = t0                t0                                                       V t0                                               7

p

= G (£) - (Л + 0( p)) £ + j (ф9 (r) - (Л + 0( r) + Л)ф( r) a (r) + (Л + 0( r)) b (r)) dr + Л z (p )| t0

Минимальное значение функции Лагранжа по ф(-) e Lq [10, p],ф(t) > 0 находится из условия минимума подинтегрального выражения

в(ф) = ф9 -(0(r) + Л)ф ^ min,ф > 0.

Функция в(ф) является выпуклой. Приравнивая к нулю ее производную, получим, что мини мальное значение функции Лагранжа доставляет неотрицательная функция (26). Далее, можно показать [4, с. 63], что функция (26) принадлежит пространству Lq [10,p].

Возьмем число £ и функцию ф(t), которые удовлетворяют условиям (19). Тогда, используя формулу интегрирования по частям в интеграле Римана-Стилтьеса [12, с. 134], получим, что p                                    p ( p

)

- £ d0(r) < 0.

j^(r) (b(r) - ф(r)a(r)) dr - ^(p)£ = j j(b(r) - ф(r)a(r)) dr t0                                                           t0 V t

Следовательно,

Математика

p

Л(е,ф(-))< G(е) + Jфч (r)dr .

t0

Отсюда и из формул (23), (24) и (25) получим, что pp

G (Ео) + J ф0 (r) dr = Л(ео,Фо(") ) <Л(е,ф(-))< G (е ) + J ф⁹ (r) dr . t₀                                                                                  t₀

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3 и, дополнительно, функция G :[0, +~) ^ R является выпуклой. Тогда существует решение Е₀,ф₀(t) задачи (18), (19), для которого найдутся число X > о и неубывающая функция 9:[t_о, р] ^ R с 9(t_о) = 0, которые удовлетворяют условиям (23)-(26).

Доказательство. Поскольку b(t) > о при t е [t_о, р], то выполнено неравенство ^p

I z (tо)| + Jb (r) dr > о.                                             (27)

tо

Пусть в (27) стоит знак равенства. Тогда |z(t_о)| = о и b(t) = о для почти всех tе[t_о,р]. Из формул (14) и (15) получим, что Е_о= о и ф₀(t) = о удовлетворяют ограничением (19). Стало быть, они и будут являться решением задачи (18), (19). В этом случае, условия (23)-(26) выполнены при X = о и 9(t) = о.

Рассмотрим случай, когда в (27) стоит знак строгого неравенства. Возьмем последовательность разбиений

⁽i) ⁽ii)             ⁽ii) tii)

^i : tо tо < t1 < ... < tk, < tkj +1 P , диаметры d(toi) которых стремятся к нулю. Рассмотрим оптимизационную задачу fо (е,ф(-)) = G (Е) + |ф9 (r) dr ^ min,                           (28)

tо

А (ф(-) )< е; J (b (r) - ф( r) a (r)) dr< Е, j = 1, k, ; tji i

(3о)

Е > 0,ф(-)е L_q[tо,p],ф(t) > 0 при te[tо,p].

Ограничения (29), (30) являются совместными. Аналогично теореме 3 доказывается, что в задаче (28)-(30) существует решение Е,,ф,(t). Эта задача является задачей выпуклого програм мирования, связи в которой удовлетворяют условию Слейтера. По теореме Куна-Таккера [13, с. 90-91] существует набор множителей Лагранжа X1) > 0,Xj) > 0, j = 1, ki, такой, что выполнены условия дополняющей нежесткости f p                                 )

(

p

л

X⁽i) J (b (r) - ф,( r) a (r)) dr - Е+| z (tо)| = 0, Xj) J (b (r) - ф,( r) a (r)) dr - Е,

= 0, j = 1, ki     (31)

V tо

t< ‘) V tj

и условие минимума функции Лагранжа Лi (Ег-,фг-(-))<Лi (е,ф(-)) для любых Е и ф(-), которые удовлетворяют (30). Здесь

Лi (е,ф()) = G(Е) + {ф9(r)dr +X(i)

tо

f p

J (^{b (r})^-ф^{( r}) a^(r))^{dr +}1^{z (}P )|

V t0

-Е

+

ki

Ё X() J (b (r) - ф( r) a(r))dr - Е j=1

V tj

С помощью функции

'^ + - + ^i\ ^,) < t< P,

A<i) +... + kk -_ptk\ < t< tk),

e,( t) = ^

запишем равенство

ki

p

A(1),

0,

A

Z ^kj) J (b⁽r) - ф⁽r) a⁽r)) dr^-г

j=1

t (i) k tj

V

tj¹) < t< 12¹), tо < t< tj⁽i)

= pe, (r) (b(r) - ф(r)a(r)) dr - ге(p)

tо

Тогда функция Лагранжа принимает вид

A

+

k tо

Л, (г,ф(-)) = G(г)-(k⁽') + е,(p))г + Jp(r)-ф(r)a(r)(k⁽') tо

Минимизируя по г функцию Лi (г, ф(-)) получим неравенство g (г) - (k (i)+е, (p)) г, < g (г) - (k (1) + е, (p)) г для любого г > 0.(33)

Минимизируя по ф > 0 подынтегральное выражение в формуле для функции Лагранжа, получим ф,(t)=(at)(k<о + е,(t)) |q-1.(34)

k q xу

Покажем, что k(^,)+ e, (p) > 0 . В самом деле, в противном случае из неотрицательности множителей Лагранжа и из формулы (32) получим, что k(^,)+ е,(t) = 0 для всех t е [t₀, p]. Отсюда и из формул (33) и (34) следует, что решением задачи (28)-(30) являются г, = 0 и ф,(t) = 0. Стало быть, они удовлетворяют ограничением (19). Это значит, что в (27) стоит знак равенства, что противоречит допущению.

Если г и ф(t) удовлетворяют связям (19), то они удовлетворяют связям (29), (30). Поэтому выполнено неравенство f_}(г,,ф,(-)) < V₀ , где V₀ - минимальное значение целевой функции в задаче (18), (19). Из этого неравенства получим, что G(г,) < V₀. Рассуждая как при доказательстве теоремы 3 и переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем считать, что г,^ г₀ > 0.

Покажем, что существует число B > 0 такое, что k(,) < B, е, (p) < B для всех i > 1.                              (35)

По условию теоремы функция G: [0, +~) ^ R является непрерывной и выпуклой. Поэтому [10, с. 61] существуют числа B₀> 0 и 5 > 0 такие, что

| G (г) - G (г₀)| < B₀ |г - г₀| длявсех |г - г₀| < 35, г > 0.                     (36)

Поскольку г, ^ г₀, то |г, - г₀| < 5 для всех i, начиная с некоторого номера. Производя пе-ренумеровку, считаем, что неравенство |г, - г₀| < 5 выполнено для всех i > 1. Возьмем г = г₀+ 25. Тогда из неравенств (33) и (36) получим, что

( ^{k (1}) ^{+ е},⁽p) )( ^{г - г}, ) < G^(г) ^-G^(г,) < | G^(г) ^-G^(г0)| ⁺ | G^(г,) ^-G^(г0 )| < B0 (|^{г - г}01 ⁺ |^г,^{- г}01) < ³B0⁵ . Поскольку г - г, > 5, то из предыдущего неравенства получим, что k(i) + ei (p) < 3B₀. Отсюда и из того, что k(^,) > 0 и е, (p) > 0, получим неравенства (35) с B = 3B₀ .

Математика

Каждая из функций (32) не убывает на отрезке [t₀,p] и удовлетворяет равенству 0i(0^) = 0 .

Отсюда и из второго неравенства (35) получим, что 0 < 0i(t) < B для всех tе [t0,p]. Далее, пол ная вариация [8, с. 318] функции (32) равна 0i (p) - 0i (t0) < B . Согласно второй теореме Хелли [8, с. 346], из последовательности функций (32) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [t0, p] к некоторой функции 0(t). Предельная функция не убыва ет и удовлетворяет равенству 00(t0) = 0.

Поскольку 0 < Я( 1) < B , то из последовательности чисел Я( 1) можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не вводя новых обозначений, считаем, что lim 0i(t) = 0(t) для всех tе[t0,p] и lim Я( 1) = Я > 0.                    (37)

i→∞                              i→∞

Из формулы (34) получим, что lim ф1 (t) = ф0 (t) для любого t е [t0, p], i→∞ где предельная функция ф0(t) задается формулой (26). Поэтому она принадлежит пространству

Lq^[t0, p^].

Из формул (34) и (35) следует, что

Г 2B Р-q ,

0 < a(t)ф(t) < I— I a (t) при всех tе[t₀,p].

I q)

Зафиксируем число t е [1₀,p]. Пусть tj)< t< tj+1. Тогда из второго неравенства (29) получим, что

Ei > J (b (r) - ф^ r) a (r)) dr = J (b (r) - ф₁( r) a (r)) dr + J ф₁( r) a (r) dr - J b (r) d

p

p

t

t

tji)

t

tji)

4i)

Далее, учитывая, что диаметры d(щ) ^ 0, получим „                                    ,        . 1     .

tr                 Г 2 B )q^-1

0 <   ф1 (r) a (r) dr < I — I t (1)                     Iq)

tj

t

t

J a (t) dr ^ 0, J b (r) dr ^ 0.

6i)

6 1)

Здесь использованы неравенство (38) и теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега [8, с. 282]. По теореме Лебега [8, с. 284], pp

J (b (r) - ф₁( r) a (r)) dr ^ J (b (r) - ф₀( r) a (r)) dr.

tt

Поэтому из неравенства (39) следует, что p

J(b⁽г)^-ф0⁽r)a⁽r))dr< E) при любом t е [1₀, p].

t

Стало быть, E0 и ф0(t) удовлетворяют неравенству (15). Аналогично из теоремы Лебега получим, что они удовлетворяют неравенству (14). Таким образом, число Е0 и функция ф0 :[10, p] ^ R удовлетворяют условиям (19).

Перейдем к пределу в первом равенстве (31). Получим равенство (24). Просуммируем по j вторые равенства в (31) и учтем вид функции (32). Будем иметь

p[01 (r) (b(r) - ф1 (r)a(r)) dr - 01 (p)E = 0 .

t0

Из формулы (34) следует, что

0 < ф₁(t)a(t)0i(t) < a¹ (t)

r ^Mtt) Iq^-1

I q I

7     (        ⁴-1

0i( t) < a¹ (t )I — I B.

I q)

Поэтому, переходя в равенстве (40) к пределу и применяя теорему Лебега, получим равенство (23). Аналогично, переходя в первом равенстве (31) к пределу и учитывая второе соотношение в (37), получим равенство (24). Зафиксируем число Е > 0 и перейдем к пределу в неравенстве (33). Получим неравенство (25).

Отметим, что по теореме 4 найденные Е₀ и ^₀(t) являются решением задачи (18), (19).

Работа выполнена при поддержке гранта Фонда перспективных научных исследований ФГБОУ ВО «ЧелГУ» (2017 г.).