Об одной модельной сингулярной задаче

Пермский государственный технический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Рассматривается задача для сингулярного дифференциального уравнения, возникающая при изучении некоторых процессов, протекающих в химическом реакторе. Систематизируются известные свойства рассматриваемой задачи и формулируются условия нетеровости и фред-гольмовости, которые ранее оставались без должного внимания исследователей. Перечисленные свойства позволяют использовать рассматриваемую задачу как модельную в теории функционально-дифференциальных уравнений.

В теории функционально-дифференциальных уравнений важную роль играет понятие модельной краевой задачи. Модельной называется простейшая задача, решение которой может быть найдено в явном виде. Свойства модельной задачи тщательно изучаются для того, чтобы в дальнейшем можно было выделить класс задач, обладающих аналогичными свойствами.

При изучении сингулярных уравнений, заданных на конечном отрезке и имеющих особенность в левом конце отрезка, в качестве модельной часто используется задача Коши для уравнения X ( t ) + kx ( t ) = 0, t e [ 0; b ] ..

Среди работ, входящих в обширный библиографический список статей, посвященных этой задаче, отметим, например, работы [1], [2].

В предлагаемой статье сформулированы важные с точки зрения теории функционально-дифференциальных уравнений свойства изучаемой задачи, в том числе свойства нетеровости и фредгольмовости, которые ранее оставались вне сферы интересов других исследователей. Пусть Lp, 1 < p < w - про- странство функций

суммируемых с p -й z: [0;b]^ R      с степенью нормой

II ^Z II l p = fl z ⁽ t ) p ^dt

. Обозначим

D^p про-

странство абсолютно непрерывных функций x: [0;b]^ R, производная которых является элементом пространства Lp , с нормой IIXL =|XI|lp +|x(0)|, где |-| - норма в про- странстве R ; Dp - подпространство функций x: [0;b] ^ R, принадлежащих пространству Dp и удовлетворяющих условию X (0) = 0.

Пусть оператор 8: Dp ^ Lp определяется равенством (8x)(t) = X(t) + kx(t), t e [0; b]; функционал r: Dp ^ R имеет вид rx = x (0).

Рассмотрим задачу Коши

k

(8x)(t) = x(t) + -x(t) = f(t)     ^

rx = x (0) = a

Задачу (1) можно записать также в виде операторного уравнения [ 8 , r ] ( x ) = { f ,a } , где

[ 8 , r ] : D^p ^ L^p x R ,

[ 8 , r ] x = col { 8 x , rx } .

Задача (1) возникает при изучении уравнения химических реакций.

Лемма 1. Необходимым условием действия оператора 8 с областью определения

D ( 8 ) о D^p в пространстве L^p является вы

полнение условия x (0) = 0 для всех x e D ( 8 ).

Доказательство. Так как функции f и х являются элементами пространства L^p , то, в силу свойства линейности, пространству L^p принадлежит также и функция

x(t). В силу непрерывности x(t) это воз-t можно только при х (0) = 0.

Следствие 1. Область определения D ( 8 ) оператора 8 является строгим подпространством пространства D^p .

Следствие 2. Областью определения D (8 ) оператора 8 является подпространство D^p пространства D^p .

Таким образом, будем рассматривать оператор 8 как оператор, определенный на пространстве D^p .

Лемма 2. Пространство Dp изоморфно прямому произведению пространств Lp х R, где Ro ={0}.

Доказательство. Изоморфизм установим [1, с.18] следующим образом:

( ⁸ 0 ^х ) ⁽ t ) = ^х(t ) = z ⁽ t)           (2)

r_ox = х (0) = а = 0

Обратное преобразование определяется равенством

t

х ( t) = J z ( s)ds + а .          (3)

Здесь х е D^ , z g L^p , а = 0 g R .

С помощью изоморфизма (2) задача (1) сводится к интегральному уравнению z (t) + — J z (s ) ds = f (t), t0

ГТ 7      p - 1

ние единственно. При k < _——--- уравнение

p

• (4)    также разрешимо при любой правой части f g L^p , но решение не обладает свойством p - 1

единственности. При k = ——--- множество значений оператора I + kA не является замкнутым, но замыкание этого множества совпадает со всем пространством Lp . Таким

• -              . p — 1

образом, при k = ——--- уравнение (4) раз- p решимо не при любой правой части.

Рассмотрим полуоднородную задачу

( 8 х ) ( t ) = х ( t ) + — х ( t ) = z ( t )

гх = х (0) = 0

Лемма 3. Задача (5) в пространстве Dp нетерова тогда и только тогда, когда

• 7 p — 1                 7 p — 1

k ^ — —---, причем при k <——--- ее ин- pp декс равен 1. Задача (5) фредгольмова тогда и z p — 1

только тогда, когда k > — — ---.

p

Т                    ГТ„ 7      p — 1

Доказательство. При k = ——-- из свойств спектра оператора Чезаро следует, что оператор [8, r] не является нормально разрешимым, следовательно, не является и нетеровым.

При k ^— p—1 оператор [8, r] нор-p мально разрешим. Следуя схеме [1, с.22], запишем однородное сопряженное уравнение, соответствующее задаче (1). Это уравнение имеет следующий вид:

содержащему       оператор

A : L^p ^ L^p , определяемый

1 ^t

( A z ) ( t ) = - [ z ( s ) ds .

t ₀

Чезаро равенством

b

ш ( t ) + k J

t kA

0 ^s

*) ds = 0

s

ds + у = 0

Из широко цитируемой статьи [2] о свойствах спектра оператора Чезаро следует, что при k >-p—1 уравнение (4) разрешимо p при любой правой части f g Lp и это реше-

Первое уравнение системы (6) имеет только тривиальное решение. Действительно, ® ( t )

если —— = y ( t ), то это уравнение принимает

вид

ty ( t ) - ky ( t ) + ky ( b ) = 0           (7)

и имеет решение y ( t ) = const . Отсюда следует, что ^ ( t ) = ty ( t ) = 0. Значит, система (6) имеет также только тривиальное решение при всех значениях k , поэтому dim ker [ 5 , r ] * = 0, где [ 5, r ] * — оператор, сопряженный оператору [ 5 , r ] .

Р — 1

При k < ——--- однородная задача, со- p ответствующая задаче (5), имеет нетривиальное решение x(t) = t—k . Следовательно [1, с.12], ind [5, r ] = dim ker [5, r ] — dim ker [5, r ] = 1 — 0 = 1

и оператор [ 5 , r ] является нетеровым оператором, индекс которого равен 1.

p — 1

При k > ——--- однородная задача, со- p ответствующая задаче (5), очевидно имеет только тривиальное решение. Значит, ind [5, r ] = 0. Таким образом, оператор [5, r ] является фредгольмовым.

Следствие 1 . Оператор [ 5 , r ] обратим i Р — 1 тогда и только тогда, когда k > _— —--- .

p

Следствие 2. Задача (7) имеет решение в пространстве D^p при любой правой части { z ,0 } , z е L^p , тогда и только тогда, когда ,     Р — 1

k ^ — —--- . Решение задачи (5) единственно

p

/ х Р — 1 тогда и только тогда, когда k > _— —---.

p

Р — 1

Лемма 4. При k > — —-- решение за- p дачи (5) представимо в виде x (t) = (Лz) (t),                (8)

где Л : D ^ L^p - линейный интегральный вольтерра оператор ( Л z ) ( t ) = j Л ( t ; s ) z ( s ) ds с 0

ядром Л( t; s ), определяемым равенством t—k

Л ( t ; s ) = — .            (9)

s

Доказательство.    Воспользуемся представлением [2] решения уравнения (4):

z ( t ) = f ( t ) — kt ^{— 1 — k}\s^kf ( s ) ds .   (10)

Так как в

t x (t) = j z (s) ds , то силу равенства (3)

t

x ( t ) = j f ( t ) — kt ^{1 k} j s^kf ( s ) ds dt .(12)

0 k

Как показано в

[2], при k >— p —^{1 p}

функция x0( t) = t-1-k

t

J s k f ^{( s} )| ^ds

является элементом пространства Lp и в силу теоремы Фубини равенство (12) можно запи- сать в виде

^ т ^{1 k}dz

x (t) = j 1 — ksk J 0 k         s f (s)ds ,

t /—k откуда следует, что x(t) =      f (s ) ds .

0 s “ р — 1

При k < — —-- оператор Л : L^p ^ D p

p не является ограниченным, поэтому решение задачи (5) не может быть записано с помощью этого оператора.

Р — 1

Лемма 5. При k < -     решение за- p дачи (5) представимо в виде b ,— k x (t) = —j—z (s) ds + ct ~k.      (10)

Здесь c – произвольная постоянная.

Доказательство. В силу леммы 7 за Р — 1

дача (5) при k < — —--- имеет множество

p решений, оператор 5: Dp ^ Lp не имеет ограниченного обратного оператора, но имеет правый обратный оператор.

Отметим, что оператор B г 1 называется правым обратным к оператору B , если ББГ1 = I , а Br1B = I - Xl , где X — фундаментальное решение уравнения Bx = 0 ; l -такой функционал, что det ( IX ) / 0. Здесь Б : E ^ E - произвольный оператор, действующий в нормированном пространстве E , I - тождественный оператор. В качестве правого обратного оператора рассмотрим оператор Грина G : Lp >  Dp краевой задачи ( БХ ) ( t ) = z ( t ) (11) lx = x ( b ) = 0

Запишем функцию x ( t ) = ( Gz ) ( t ) в виде - k - Р - 1 — bt   2 p    1 x ( t ) = t2 p J    к PG ’   p - 1 z ( s ) ds . (14) t „    2 p   2 p p ss i     p - 1 Поскольку       k < --,      то p - k - ' - k - p ^1 >  p ^i >  0 и 0 <  t     <  1. 2 p   2 p       - / k - pp" В силу неравенства Гельдера b J p - 1 z ( s ) ds <

Решение задачи (11) имеет вид b x ( t ) = ( Gz ) ( t) = J G ( t ; s) z ( s ) ds , 0 где G ( t ; s ) - функция Грина задачи (11). Как показано в [1, с.27], функции Грина G ( t ; s ) и Л ( t ; s ) двух краевых задач (5) и (11) для одного и того же уравнения ( dx ) ( t ) = z ( t ) связаны равенством G ( t ; s ) = Л ( t ; s ) - X ( t )( IX ) - 1 U ( s ) , (12) где X ( t ) = t - k - решение уравнения 8 x = 0 , функционал l : D p ^ R определяется равенством lx = x ( b ), U ( s ) - ядро функционала l Л . Так как ядро оператора Л : Lp ^ D p определяется равенством (9), то G ( t ; s ) = G *t - s ) - 1 - k ( b - k ) - 1 • bd , ss | 1, если t >  s где 0(t - s ) = ^                   . [ 0,   если t <  s Поэтому оператор Грина задачи (11) имеет вид b   k ( Gz ) ( t ) = -J— z ( s ) ds .      (13) t s t - k Так как 0 < —p <  1 при 0 <  t <  s <  b и k <  - P —1, то в силу абсолютной непрерыв- p ности    интеграла    Лебега    функция x ( t ) = ( Gz ) ( t ) абсолютно непрерывна.

t v 2 p s 1    Г Л            ^ p ^ p bb    1      p - 1 < J z ( s)\P ds    J —^-    ds    = v 0          J    0 ^T p k s J J k              J p - 1 = ( 2 Gb )“ И, . „ p - 1 Так как —--- > 0 , то из представления p (14) следует равенство x (0) = ( Gz ) (0) = 0. Следовательно, функция x ( t ) = ( Gz ) ( t ) является элементом пространства D p и оператор G : Lp ^ D^ является линейным ограниченным оператором. Так как решение задачи (5) при k < - p—- не является единственным и функ- p ция t k есть решение уравнения B x = 0 , то решение этой задачи имеет вид (10). p - 1 Пусть k = - —--- . В этом случае задача (5) имеет решение не при любой правой части. Определим понятие квазирешения задачи (5). Зафиксируем произвольное положительное число £ >  0 . Определим оператор Б : Di p ^ Lp следующим образом: 0     nput e [ 0; £ ) ' ) ( t ) = С k             M-(15) x ( t ) + — x ( t ) при t e [ £ ; b ] Рассмотрим задачу

&х ) ( t ) = А ( t ) x (0) = 0     .

Тогда для любого s >  0 при любой правой части f g L^p задача (5) имеет квазирешение x _s ( t ) .

Здесь f _s ( t ) = f (t) 0 (t — s ) . Решение задачи

(16) имеет вид

, t e [ 0; s )

x s ⁽ t ) = '

t —k k j ~ffs (s)ds + ct~k0(t — s), t g[s;b]

^ s

Функцию x_£ ( t) G Dq будем называть квазирешением задачи (5).

Р — 1

Лемма 6. Пусть k = ——---.

p