Об одной неклассической задаче для уравнения Гельмгольца

Рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения Гельмгольца

A v + 2 v = 0, x е S = { x е R n :| x | < 1},                             (1)

P m f 1 u d S = f ( ⁵ ), ⁵ еЭ S ,                                 (2)

k dv )

где Pm (t) - полином степени m над С , d / d v - производная по направлению внешней нормали к сфере радиуса |х|, а f е C(dS). Задачи такого вида были рассмотрены ранее в [1-6].

Рассмотрим функцию (см. [7])

t ^k g m ⁽ t ) = £ ^{( - 1)}          7“.

k = 0       ^(2,2) k ⁽ m ^,2) k

Очевидно, что эта функция целая при m е- 2N ₀. Используя разложение функции Бесселя первого рода J_m ( t ) в ряд, нетрудно получить формулу, связывающую g_m ( t ) и J_m ( t )

t ^m

J m ⁽ t ) = 2 ^m Г ( m + 1) g ² m ⁺ 2 ⁽ t ^2).

Пусть область    P е R n    ограничена и обладает свойством звездности

Vx е P, Vaе [0,1], ax е P . Методом нормированных систем функций был получен следующий результат.

Теорема 1 . [7, Теорема 3] Для всякой функции v е C ² (P), удовлетворяющей в P уравнению (1), найдется гармоническая в P функция u ( x ) такая, что имеет место равенство

v ( x ) = u ( x ) - 2 ^- J 1 g ₄ ( 2 (1 - a ) I x | ² ) u( a x) a n ^{/2 - 1} d a .                     (4)

Нетрудно доказать следующее следствие из этой теоремы.

d kv __

Следствие 1. Если v(x) - решение уравнения (1) обладает свойством | x |k —-е C(D) для dvk k = 0, m , то этим же свойством обладает и функция u(x), находимая из (4).

Идея представления (4) была также использована в [8, 9] для построения специальных полиномов. Перепишем формулу (4) в терминах функций Бесселя. Из (3) нетрудно получить, что g4 (t2) =—J1 (t), а поэтому формула (4) при 2 > 0 примет вид

। x । 1       ___________ а П /2 - 1

v ( x ) = u ( x ) - 2       J 1 (7 2 (1 - a ) I x | ) u ( a x ) ,     d a .

2 -¹⁰                              1 - a

• 2.    Основной результат

Исследуем разрешимость задачи (1)-(2). Решение будем искать из класса v C C ² ( S ) и k д ^k v                                                           m    [ _k ]

| x I ^k —-e C(S ) при k = 0, m . Рассмотрим полином P [ _m ] ( t ) = V p_kt ^{[ k} ] , введенныи ранее в [10] и дv ^k                                                          k = 0

зависящий от полинома P_m ( t ). Здесь p_k - коэффициенты полинома P_m ( t ), а t ^{[ k ]} = t ( t - 1) — ( t - k + 1). Предположим, что коэффициент при старшеИ степени полинома P_m ( t ) равен единице, т.е. p_m = 1. Обозначим, как обычно, однородные гармонические полиномы k -И степени через H_k ( x ) и введем функцию

~   R_m /2 i + k )

F (t;P ) = Y---m------—(-1)i.(5)

m’ V(2,2)i(n + 2k,2)i.Vv

В этих обозначениях теорема о разрешимости задачи (1)-(2) имеет вид.

Теорема 2. Решение задачи (1)-(2) существует тогда и только тогда, когда V k C N ₀,

Fk (Я;Pm) = 0 ^ VHk (x), J f (x)Hk (x) dx = 0.(6)

∂ S

Решение задачи единственно с точностью до собственных функции вида vP)(x) = gn+2k (Я I x |2)Hk (xX где числа k C N 0 такие, что Я удовлетворяет равенству Fk (Я; Pm) = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть решение задачи (1)-(2) существует. Поскольку область S обладает своИствами звездноИ области Н , то воспользуемся результатом следствия 1.

_{k ∂} k u

Функция u ( x ), находимая из (4), обладает свойством | x | ^k — pC C(S ), k = 0, m . Поэтому, в S

∂νk при k = 0, m имеет место равенство

I ^x |

∂ m

v

∂ ν ^m

m

= I x I ^m

∂ m u

∂ ν ^m

-

| x |^m _f1 m ( m А д ^{m -} i

i ) д t ^m

ii t2g4 (7(1 - a)12У)    ——ai+n 12-1 da.

^{л 4}                'a t = x l d v i

Откуда

m

| xl m P m Ш V = lxl m X P m 1^1 U - Я x

X дv)              I дv)        4

^k ( k А д ^{k -} i

i) дt^{k -} -

( t ² g 4 — (1 - a ) t ² ) )

∂ u

I   —7 a ^{+ n 1} d a =

I t = ^{| x |} дv ^,

=1 x I ^m P m f Л ^А U - 7 f VV P mi ) ^(| x ^ ^{a )} I ^a x I i l u? ^{a /2 1 d a} , Xд v)    4 -° i = 0                    дv '

где обозначено

m k k - i

P mi ) (| x |, a ) = IxI ^{m -} i V P k I I TT7( t ² g 4 ( 7 (1 - a ) t ² ) )

Г" I i дtk i x                     7=lx| k=i

Пусть W(x) - гармоническая в S и непрерывная в S функция, удовлетворяющая условию Wqдs = f . Выпишем два своИства оператора Л . Во-первых, из гармоничности в S функции u(x) ∂ku следует гармоничность в S функции Лu(x). Во-вторых, | x Ik —г = Л[k]и [10] и значит, если ∂νk

∂ ^k u                                          ∂ ^k u

| x Ik —rC C(S) для k = 0, m , то Лku C C(S) и —т = Л[k]u на дS также для k = 0, m . Если, те-∂νk                                    ∂νk перь, воспользоваться этими своИствами оператора Л , то в силу единственности решения задачи Дирихле, из равенства (7) получим уравнение в гармонических функциях

1 ^m

W ( x ) = P [ m ] ( Л ) u ( x ) - - f V P mi ) (1, a ) Л ^[ i ^] u( a x) a ⁿ /^{2 - 1} d a ,

⁴    i = 0

где x C S . Откуда, разлагая гармонические функции W ( x ) и u ( x ) в ряды в некоторой окрестности нуля Н₀ с S и приравнивая полиномы с одинаковыми степенями, получим

1 m

W s ( x ) = ( P m ] ( s ) - 7 I Z P i ) (1, a )s [ i^] a ^{s +} n ^{/2 — 1} d a ) U s ( x ) = ⁴ i = 0

m              mk

= Zs[ i ](Pi-^ IZPk I . I717 (t2 g 4(7(1 — a) t 24 ,as+n/2—1 da) Us(x) = i=0            4 k=i    Vi 7d t m            mk

= Z s[ '](Pi + Z Pk I . 1777 ( g 2 s+n (7t2) - 4=.) us (x X i=0             k=i V i 7 d t где учтено, что

• ^{1    — 7} f t ² g 4 ( ^{7 (1 — a )} t ² ) ^a m ⁺ n ^{/2 — 1} d ^a = g 2 m + n ( ⁷ t ² ) , 4 °

  
  

W_s ( x ) и u_s ( x ) - однородные полиномы s -й степени из разложения гармонических функций W ( x ) и u ( x ) в ряд и Л ^[ i ^] u_s ( x ) = s ^[ i ^] u_s ( x ). Поэтому m m     ( k A d k — i'

W s ^{( x} ) = Z ^{s [} i ^] Z P k I • I ДТ—Г g 2 s + n ^{( 7 t 2 )} t = 1 ^u s ^{( x} )• i = 0      k = i ^{V 7} t

Вспоминая, что w g2s+n 72) = Z (—7)j j=0

t ² j

(2,2) j (2 s + n ,2) j ,

а это значит, что верно равенство dk i       ( 1 .2 X    = V л[k—i]______(—7)j_______ dtk—ig2s+n      t=1 jZ0 7      (2,2)j (2s + n,2)j ’ и используя биномиальную теорему Вандермонда, найдем

W s ^{( x} ) = ^u s ^{( x} ) Z ^{s [} i ^] Z P k I • | Z ⁽² j ) i = 0     k = i    V i 7 j = 0

w

, [ k — i ]

( — 7 ) j

(2,2) j (2 s + n ,2) j

= us (x) Z

j  mk

(TT)^ Z PkZlkls I,,(2j)1 k-', = j=0 (2,2) j (2s + n,2) j k=0   i=0 V i 7

У us (x)(—7) j   m ■ x[k]     / xy (—7)7 P[m](2 j + s)

=        -------------- 7 P_k (2 i + s )^L - u„ ( x )

j t 0 (2,2) j (2 s + n ,2) j ^Z                     ₇ t 0 (2,2) j (2 s + n ,2) j

.

Если теперь учесть определение функции F_s ( t ; P_m ) из (5), то будем иметь W s ^{( x} ) = F s ^{( 7} ; P m ) ^u s ^{( x} ).

Отсюда, сразу следует, что если существует решение задачи (1)-(2), то

3 s е N о , F s ( 7 ; P m ) = 0 ^ W s ( x ) = 0.

Равенство же W_s ( x ) = 0 в силу [11, Теорема 4] равносильно утверждению

V H s ( x ),( / ( x ) H s ( x ) dx = 0.

У S

Необходимость условий теоремы доказана.

Достаточность. Покажем, что при выполнении условий теоремы найдется такая гармони-dku ческая в S функция u(x), для которой Лku е C(S) при k = 0,m и значит | x |k —-е C(S), при dvk k = 0,m и которая удовлетворяет в S уравнению (8). Если такую функцию u(x) подставить в d kv         . —

• (4), то функция v ( x ), найденная оттуда, будет обладать свойствами | x | ^k —-е C ( S ) для k = 0, m dv ^k

и v е C ² ( S ), удовлетворять уравнению (1) и условиям (2), т.е. будет решением задачи (1)-(2).

Сделаем в уравнении (8) замену переменных по формуле v = (Л +1)m u . При гармонической функции u функция v тоже гармоническая. Эта замена однозначно обратима по формуле u (x) = j^ v (ax )ln m-1,!(1/ a) da, где несобственный интеграл сходится. Действительно, при m > 1

Лu(x) = j^alnm-1,!(1/a)dv(ax) = av(ax)lnm-1,!(1/a) |0 - j1 v(ax)(lnm-1,!(1/a) - lnm-2,!(1/a))da и значит

( Л + 1) u ( x ) = j 1 v ( a x )ln ^{m 2,!} (1/ a ) d a .

Поэтому

( Л + 1) m u ( x ) = ( Л + 1) j^ v ( a x ) d a = a v ( a x ) | 0 = v ( x ).

Однозначность замены следует из аналитичности функций u ( x ) и v ( x ) в S . Очевидно, что Л k u е C ( S ), k = 0, m ^ v е C ( S ) и, кроме того, в силу равенства

Л u ( x ) = j^ v ( a x ) ln ^{m 2,!} (1 / a ) d a — u ( x )

и определения функции v ( x ) верно и обратное утверждение v е C ( S ) ^ Л ^k u е C ( S ), k = 0, m .

Введем обозначения kki

Kk (a) = £ ln m- j-1Ja£ (-1)m- i-1 11 S(k), k = 0, m -1 j=0           i=j m-1

Km (a) = £ lnm- j-1-!a£ (-1)m-i-1I .1 S(m), j=0           i=jV где Si^k) - числа Стирлинга первого рода. Тогда имеем

Л k 1 u(x) = £ S^Xu(x) = £s'k' £ (-1)'-j I i I(Л + j(x) = i=0                i=0     j=0

= £ v(ax) £ lnm-j-1J(1/ a) £ (-1)i-j | i | S(k) da = £ Kk (a)v(ax) da. j=0                             V j) i-°

Аналогично вычислим

Л[m 1 u(x) = £ (Л +1)ju(x)£ (-1)i-j I i IS(m) = v(x) + j=0              i=jV

+ m £ ( Л + 1) j u ( x ) £ ( - 1) i ^{- j} I i | S ^{( m} ) = v ( x ) + j 0 K m ( a ) v ( a x ) d a .

j=0              i=j        v

Поэтому, с учетом p_m = 1 правая часть уравнения (8) приводится к виду

1 1 m1

P [m ] ^{( л )} u ⁽ x ) ^-   j 0 £ P mk ) ^{(1, a ) л [ k ]} u ^{( a x ) a} n ^{/2 - 1} d ^a = ^{v (} x ) ⁺ j 0 £ P k ^K k ^{( a ) v ( a x} ) d ^{a -}

4   k=0

1                    m1

^-7 j 0 ( P m ^{) (1, a )} v ^{( a} x ) ⁺ £ P m^{k ) (1, a )} j 0 ^K k^{( в} v ^{( a} p x ) d p^ ^{a   1} d ^a = v ⁽ x ) +

+ £ ££ ( Pk Kk ( a ) v ( a x ) - ¹ P ^{( k} ) (1, a ) Г K_k ( p / a ) v( p x ) d p - ¹ P ^{( m} ) (1, a ) v ( a x ) ) a ^{n /2 1} d a .

-10 k=0                    4a           *4

Переставляя порядок суммирования в кратном интеграле и используя равенство

P (mm ) (1, a ) = g 4 ( 1 (1 - a )), получим

где обозначено m                 1

U( a , + ) = £ ( P k К , ( a ) a n ^{/2 - 1} - - J P mk ) (1,№( a / вв ^{п /2 - 2} d e ) - -g 4 ( ^ (1 - a )) a n ^{/2 - 1} . (12) k = o                     ^{4 a                                  4}

Если в уравнении (11) разложить гармонические функции W(x) и v(x) в ряд по однородным полиномам, то получим равенство

Ws (x) = (1 + J^ U(a, +)as da)vs (x), а если применить к обеим частям равенства (10) оператор (Л +1)m, то будем иметь

( s + 1) m W ( x ) = F s ( + ; P m )( Л + 1) m U s ( x ) = F s ( + ; P m ) V s ( x ) .

Сравнивая полученные равенства, заключаем: V k е N₀

F —m- = 1 + ^ ^( a , + ) a ^k d a .                      (13)

Исследуем интегральное уравнение (11). Нетрудно видеть, что k

£ S ( ^k ) < | x ( x - 1)-( x - k + 1)l x =- 1 = k !.

i = 0

Поэтому, для функции U k ( a ) при k = 0, m - 1 имеет место неравенство k             i i                               k                                  i i

| К. (a) |< £|Sik) | £| I lnm- j-1(1/a) = £|S(k) |lnm- i-1(1/a) £| I Ini- j (1/a) = i=0 j=0 V j 7                   i=0                      j=0 V j 7

= £ S ^k ) | In ^{m -} i ^{- 1} (1/ a )(1 - ln a ) i <  (1 - ln a ) ^{m - 1} ^T S/ ^k ) <  k !(1 - In a ) ^{m - 1} <  m !(2 - In a ) ^m .

i = 0                                                                  i = 0

Аналогично найдем m-1                 m Г i             m                        i Г i A

| Um ( a ) | < £ ln ^{m -} j ^{- 1} (1/ a ) £ | , | | S< ^m ) <  £ S< ^m ) | (1 - ln a ) ^{m -} i £ | . I (1 - ln a ) i ^- j <  m !(2 - ln a ) ^m .

j = 0                 I = j V j ⁷           I = 0                       j = 0 V j ⁷

В силу этих оценок из (12) следует, что найдутся такие числа r ( + ) и p ( + ) >  0 при которых верна оценка

| U(a, +)< r(+)(2 - ln a)m + p(+).(14)

Действительно, если выбрать r 1 ( + ), удовлетворяющим неравенствам | p_k |, | P m^k ) (1, a ) | < r 1 ( + ) при a e [0,1], то тогда

| U(a, +) < m!r (+)m ((2 - ln a)m + — f(2 - ln a + ln Д)mpn/2-2 dp) + k=0

++g 4("| + D < (m +1)!(1 + T-L) Г1(+)(2 - ln a)m + ^^g 4<-| + |) 4                      2n - 44

и значит константы r ( + ) и p ( + ) можно выбрать в виде

r(+) = (m +1)!(1 + ;ДЬ)Г1 (+), p(+) = i-!g4 (-1 + |) . 2 n - 44

Предположим, что в уравнении (11) x ед S тогда, обозначая ядро интеграла Пуассона через d (x ,^)=-12-LxiL и учитывая, что v(x) = Jds D(x, ^)v(p) d^ при x e S будем иметь f (s) = V(s) + J0 JdSU(a, +)D(as,p)v(p)dpda.

Подинтегральная функция в полученном уравнении, в силу оценки (14), равенства

J^lnk,!(1/a)da = 1 и положительности функции D(x,р), при x,^е S является абсолютно интег- рируемой. Поэтому, воспользовавшись теоремой Фубини [12], изменим порядок интегрирования в равенстве (15). Обозначая

∂ S

Итак, функция v(s) - след решения v(x) уравнения (11) на дS должна удовлетворять урав нению (16). Верно и обратное: если v(s) - решение уравнения (16), то функция

v(x) = D(x,s)v(s)ds является решением уравнения (11). Действительно, умножая обе части ∂S уравнения (16) на D(x, s) и интегрируя по дS (обе части уравнения - непрерывные функции на дS), найдем

W ( x ) = v ( x ) + j$ D ( x , s ) fo j^ ^( a , Я ) D ( a s , £ ) v ( £ ) d a d ^ ds .

Меняя порядок интегрирования, вынося внутренний интеграл наружу, а внешний - внося вовнутрь и используя равенство

D ( a x , £ ) =    D ( x , s ) D ( a s , ^ ) ds , ^ед S , a e [0,1),

∂S получим (11). Проведем аналогичные преобразования и с уравнением, союзным к (16) - f(s) = v *(s) + J Q *( s, £Я) v *(£) d^,                              (17)

∂S ядро которого имеет вид

4—

Q ( s , £Я ) = [^( a , Я ) D( a^ ,s ) d a .

Умножая обе части уравнения (17) на D ( x , s ), интегрируя по д S и используя равенство

1 1 - a ² = 1         1 - a ²         = 1 1 - a a

Ш_п | a s - ^" " ^ ( a ² - 2 a ( s , £ + 1) n ^/2 "    | a^ - s ^

в котором s , £ ед S найдем

W (x) = v *( x) +   D (x, s)     ^(a, Я)D (as, ^) v *(^) dad^ds = дs         дs о.....

J^ ^(a, Я) js ( js D (x, s) D (as, £) ds) v *(^) d^da = v * (x) + j^ ^(a, Я) js D (ax, ^) v * (£) d^da и значит

W ( x ) = v *( x ) + j^ ^( a , Я ) v *( a x ) d a .                             (18)

Предположим, что ядро Q(s, ^;Я) - полярное. Тогда, для уравнения (16) имеют место альтернативы Фредгольма [12] и значит, его решение существует, если jSf (s) v *( s) ds = 0,                                       (19)

где v ( x ) - произвольное решение уравнения (17) при f ( x ) = 0. Для нахождения v ( x ) достаточно решить однородное уравнение (18), а затем взять его след на д S . Поскольку v ( x ) - гармоническая в S функция, то она разложима в ряд в некоторой окрестности нуля - Р_о. Поэтому, используя равенство (13), приведем однородное уравнение (18) в Р_о к виду

∞

F k ^{( Я} ; P m ) vk^{( x} ).

k = 0

Отсюда сразу следует, что если при заданном Я выполняется неравенство Fk (Я; Pm) 5= 0, то тогда vk (x) = 0. Значит, функция v (x) представляет собой сумму произвольных однородных гармонических полиномов, степени которых Fk (Я; Pm) = 0.

—

k таковы, что выполняется равенство

Возьмем, найденную таким образом функцию v * ( s ). Подставляя ее в условие (18) существования решения уравнения (16), убеждаемся в его эквивалентности условию теоремы.

Итак, если выполнены условия теоремы, то выполнены условия альтернативы Фредгольма, а значит решение уравнения (16) существует. Из наличия же решения уравнения (16) вытекает существование решения уравнения (8), а следовательно, в силу формулы (4) и задачи (1)-(2).

Для окончательного доказательства существования решения остается показать полярность ядра Q (s , f; Я), т.е. непрерывность функции Q (s , f; Я) на д S хд S везде, кроме s = f , и справед ливость неравенства

| Q ( s , f ; Я )| < A | s - f | ^a , а <  n - 1.

Непрерывность ядра Q ( s , f ; Я ) попеременным s , f ед S при s 5= f следует из непрерывности по этим переменным функции D( a s , f ), где a e [0,1], s 5= f и неравенства j^^( a , Я ) | d a <^ .

Для доказательства оценки (20) возьмем некоторое Е е (0,1) и выпишем равенство

Q ( s , f ; Я ) = j E^Е ^( а , Я ) D ( a s , f ) d a + J¹ ^( а , Я ) D ( a s , f ) d a .

Оценим первый интеграл. В силу неравенства (14), при s , f е д S получим

| jEЕ^(a,Я)D(as, f)da |< maxae[0,E] D(as, f) j^a,Я) | da < C1, где E е (0,1). Далее, нетрудно видеть, что tonD (as, f) =

и значит при    C ₃ = 2/ to n

1 - a ²

имеем

< ₂ I ^f I^-1 ^a s I < ₂ I ^{f - a} s I =       ²

I a s - f | n      | f - a s | n | f - a s | n ^{- 1}

D( a s , f ) <  C ₃ I a s - f | ^{1 -} n . Теперь, учитывая, что

sup | ^( a , Я ) |< C ₂ ( e ), а также пользуясь неравенством a e [ E ,1]

(-da ^ <       ,                        (21)

■° | as - f I k I s - f I где s, f е дS и k > 2 оценим второй интеграл. Имеем

Щ U(a, ^Я ) ^D ( a s , f ) d a < С 3 C ₂( e ){    ^da , < C^CC- ■

^{JE                                        E} I a s - f I ^{n 1} I f - s I ^{n 2}

Таким образом, при n >  2 будем иметь

С 1 1 f - s I n ^{- 2} + C 2 ( e ) С з C 4 C 1 2 n ^{- 2} + C 2 ( e ) С з C 4

| Q ( s , f ; Я ) |< ----------------------"----------- < ------------------"-------.

I f - s\^{n - 2}                      I f - s | n ^{- 2}

Отсюда, полагая A = C 1 2 n ^{- 2} + C ₂ ( e ) C ₃ C ₄, получим оценку (20) при a = n - 2. Осталось доказать справедливость неравенства (21). Пусть k >  2. Обозначим to = ( s , f ) и будем считать, что s ^ f , а значит to <  1. Предположим сначала, что to >  0. Тогда

1 d a

⁰ | a s - f | ^k

4       d a

⁰ (1 + a ² - 2 toa ) ^{k /2}

1        d a

⁰ (( a - to ) ² + 1 - to ² ) ^{k /2}

_     1      p1       d a      _      1 b    d a

= (1 - to ² ) ^{k /2 j 0} ( ₁ + ( a - to ) ² ) k /2’ = (1 - to ² ) ^{( k - 1)/2 j} a (1 + a ² ) ^{k /2} , 1 - to ²

где a = -to / V1 - to ² , b = (1 - to ) /(1 + to ) Так как I s - f | = ( 2(1 - to ) ) ^1/2 , то

1 - to ² = 2 ^{- 1} | s - f | ² (1 + to ) >  2 ^{- 1} | s - f | ² и значит, будем иметь

1-1    d a    < 2^{( k - 1)/2} ~      d a

-*⁰ 1 a s - f | ^k " I s - f | ^{k - 1} J- (1 + a ² ) ^{k /2}"

Если ю <  0, то тогда | a s - £ | ² = 1 + a ² - 2 ma >  1 + a ² и поэтому

1  dα  ≤ ∞

•”| as - § | ^k "" *-~ (1 + a ² ) ^k / ²

Поскольку | s - £ | < 2 , то 2 /1 s - £ | > 1 и значит можно записать

1 dα ≤  2k-1

⁰ 1 a s - ^^k " | s - ^^{k - 1} ^ ~ (1 + a ² ) ^{k /2 .}

Объединяя два полученных выше неравенства в одно выбором большей константы, получим (21) при

C = 2k-1 ∞

4         J -~ (1 + a ² ) ^{k /2 .}

Существование решения задачи (1)-(2) полностью доказано.

Для исследования единственности решения задачи (1)-(2) следует исследовать единственность решения уравнения (8), а следовательно и уравнения (11). Последнее же имеет единственное решение с точностью до однородных гармонических полиномов H_k ( x ), степени которых - k удовлетворяют уравнению F_k ( Д ; P m ) = 0. Подставляя их в формулу (4) и учитывая равенство (9), получим

v ( x ) = ( 1 - λ ^{| x | 2 1} g λ (1 - α )| x | ² α ^{k + n /2 - 1} d α ) H ( x ) = g      λ | x | ² H ( x ),

• 4 0 4                                             n + 2

т.е. v ( x ) = v k ^{Д )} ( x ). Итак, если решение задачи (1)-(2) существует, то оно единственно с точностью до функций v k ^ ) ( x ), где числа k е N ₀ такие, что F_k ( Д ; P m ) = 0 . Теорема полностью доказана.