Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками для трех возможных случаев расположения корней характеристического уравнения.

А. В. Дзарахохов, В. А. Елеев

Пусть Q — конечная односвязная область, ограниченная отрезками AA q , BB o и A o B o прямых x = 0 , x = l , y = h соответственно, расположенных в полуплоскости y >  0 , и характеристиками

AC : € = x - 2 „ y m ' 2 2 = 0, BC : П = x +   '2 ., y m2 2 = l, m+ 2                       m+2

оператора L _m = dy y — ( — y) ™^, m = const > 0 , выходящими из точки C ( 2 ,yj , y c = — [(m + 2)l/4] ^{2 / ( m +2)} .

Введем обозначения: Q i = Q П { y > 0 } — параболическая, а Q = Q П { y < 0 } — гиперболическая части смешанной области Q .

В области Q рассмотрим смешанное нагруженное уравнение третьего порядка

0=

n

Lu ⁺ £ k j ^{( x,}y ^{) u (} x ^j ,y) = f^(x,y⁾, j =i

n

LmU + bo(x, y)u + E bi(x, y)DpXu(x, 0) = d(x, y), i=i

y> 0, y < 0,

где Lu = u _xxx — u _y + a ₁ (x, y)u _x + a o (x, y)u , D pX — оператор дробного (в смысле Римана — Лиувилля) интегрирования порядка —р ; при pi <  0 и дробного дифференцирования при p i > 0 , который при p i < 1 задается формулой (см. [1])

D pX f =

x

1 г f ^(t)dt P( - P i ) J ( x - t ) 1+ Pi , d D O X ^{- 1} / (x).

pi < 0, pi > 0,

где r(z ) — гамма-функция Эйлера.

Предполагается, что x j , j = 1,...,n , — фиксированные точки из интервала (0,l) , причем для определенности будем считать, что 0 6 x ¹ < ... < x ⁿ < l , p i < p i - i <  . . . p 1 = p .

Задача 1. Найти функцию u(x,y) со следующими свойствами:

• 1)    u(x,y) е C (Q) n C ¹ (Q) n c X ³ y ¹⁾ (Q i ) n c X 2 y ²⁾ (Q 2 ) , u x G C (Q i ) ;

(c) 2004 Дзарахохов А. В., Елеев В. А.

• 2)    u(x,y ) — регулярное решение уравнения (1) при у = 0 ;

• 3)    u(x, у) удовлетворяют краевым условиям

• u(0,y)= ^ 1 (у), и(1,У) = ^( у), U x (0,y) - u x (l,y) = ^ з (у), 0 6 у 6 h, (3)

u(x, — x) = ^(x), 0 6 x 6 1/2,                              (4)

где ^( у) G C [0, h] П C ² ]0, h[ , i = 1,..., 3 , ^(x) G C ¹ [0,1/2] П C ³ ]0, l[ .

Случай I. Пусть a i (x,y) = 9 1 = const, a o (x,y) = 9 o = const, k j (x,y) = X j = const, j = 1,..., n , m = 0 , b i (x, y) = 0 , i = 0,..., n , f (x, у) = 0 , d(x, у) = 0 .

Переходя к пределу в уравнении (1) при у ^ 0+, получим функциональное соотношение между u(x, 0) = т(x) и uy(x, 0) = v(x), принесенное из параболической части Q1 на линию y = 0, в виде т000 (x) — V(x) + 91 т0(x) + 9от(x) + XX Xjт(xj) = 0.(5)

j =1

Функциональное соотношение, между т (x) и v (x) , принесенное из гиперболической части Q 2 на линию у = 0 , имеет вид [2]

т 0(x) — v (x) = ^0(x/2).(6)

Исключая v(x) из (5) и (6), с учетом граничных условий (3) получим для определения т(x) следующую задачу т000(x) + (91 — 1)т 0(x) + 9от (x) = — /(x/2) — XX Xj т (xj) = p(x),(7)

j =1

т (0) = П(0), т (l) = ^2(0), т 0(0) — т 0(l) = ^3(0)-

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению т000(x) + (91 — 1)т 0(x) + 9от (x) = 0,(7

имеет вид k3 + (91 — 1)k + 9o = 0.(9)

Введем обозначение s = - 4 + ( ^ 1 271)" • Известно [3], что уравнение (9) имеет один действительный и два комплексных корня, если s > 0 . Оно имеет три различных действительных корня, если s < 0 . При s = 0 все три корня уравнения (9) действительны, причем два из них равны.

Рассмотрим случай когда s = 0. В этом случае имеем, что к1 = 39о/(91 — 1), к2 = кз = к = —39о/[2(91 — 1)]. Так как общее решение уравнения (70) имеет вид т (x) = C1ek1x + (c2 + C3x)ekx, то методом вариации постоянных, находим общее решение уравнения (7) в виде т (x) = Y1ek1x + (Y2 + Y3x)ekx + N (x),                        (10)

где

N(x) = — (k — k 1 ) ^{- 2} j ( e k i f x - t ) + [1 + (k — k 1 )(x + t)]e ^k < ^x - t ) W 2 ) dt 0

- (k - k i ) - 2 j ⁽ e ^{k 1 ( x-t )}

+ [1 + (k - k i )(x - t)]e ^{k ( x-t )} ) XX X j т(x j ) dt = G(x) + P(x> j , j =1

где G(x) — первое слагаемое, P (x ) — коэффициент перед суммой, обозначенной нами через ω j , последнего равенства.

Считая пока N (x) известной, подставим (10) в граничное условие (8). В результате получим систему линейных уравнений относительно Y i , i = 1, 2, 3 , которая разрешима, если ее определитель А = [k + (k ₁ - k)l]e ^kl + k[(1 - k)l - 1]e ^{2 kl} + [k ₁ (1 + (k - 1)l)]e ^{( k 1 + k ) l} - k i e ^k 1 l = 0 . Решая систему находим

Y i = А ^{- 1} ( - (G ° (0) - G 0 (l) + k(1 - e kl )^ i (0) - ^ s (0))e kl

+ ( 1 - (1 + ki)e kl ) ( G(i) + _V i (0)e ^k - <^(0) )) - A ^{- 1} ( (P 0 (0) - P 0 (l))e ^kl

+ ( 1 - (1 + kl)e kl P (l) )) ^ j = p i + p 2 W j , (11)

γ 2

= А ^{- 1} ( - ( ^ з (0) + G 0 (0) - G 0 (l) - k i (1 - e ^{k 1 l} )y i (0) ) e kl

+ (1 - (1 + ki)e k ) ( ^ 2 (0) - G(l) - ^ i (0)e ^{k 1} l )) + A ^{- 1} ( (P 0 (0) - P 0 (l))e^kl

^{- (1 - (1 + kl)}e^{klP (l))} ) ^ j = P 3 ⁺ P 4 ^ j , ⁽¹²⁾

Y 3 = A ^{- 1} ( ( ^ з (0) + G 0 (0) - G 0 (l) ) e ^kl - k(^ 2 <0) - G(l))(1 - e ^kl )

- ( ^ з (0) + G 0 (0) - G'(l))e ^k1^l + k 1 (1 - e ^k 1 ^l )(^ 2 <0) - G(l)) - ^ 1 (0)k(1 - e ^kl )e ^k 1 ^l

- k 1 (1 - e ^{k 1 l} e ^{kl )} + A ^{- 1 (} (P ⁰ (0) - P 0 (l))(e ^kl - e ^k 1 ^l ) + P (l) ⁽ k(1 - e ^kl )

+ k 1 (1 - e k ^{1 l} ) )) ^ j = P 5 + P 6 ^ш j , (13)

Подставляя (11)–(13) в (10) и заменяя ω j его значением, получим уравнение

n

т (x) + m(x) У^ X j т(x j ) = n(x), j =1

где m(x) = G(x) + p ₁ e ^k 1 ^x + (p ₃ + xp ₅ )e ^kx , n(x) = P (x) - p ₂ e ^{k 1 x} - (p ₄ + xp ₆ )e ^kx .

Полагая в равенстве (14) поочередно x = x ¹ , x = x ² ,..., x = x n , получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно т(x j ) , j = 1,..., n ,

n

τ i

+ m i У? X j T j = n i ,

i = 1,..., n,

j =1

где m j = m(x ^j ) , n j = n(x ^j ) , T j = т (x j ) .

Система (15) имеет единственное решение, если ее определитель отличен от нуля:

n

A n = 1 + X X j m j = 0.

j =1

Легко доказать, что д (i,j) = n

n

1 + E A k m k ,

<      k=1

,^—A j m j ,

i = j;

i = j,

где A^j) — алгебраические дополнения элемента i-ой строки и j-го столбца определите ля An. Так как

n

1n т (xj) = ТтТЛП^п^) An

j = 1,... ,n,

i =1

то из равенств (16) и (17) получаем (при A n = 0 )

т (x ^j )

= A j + X m i (n j A i - A jn^ .

Таким образом, подставляя (18) в (14), находим единственное решение задачи (7), (8) в виде n1

т (x) = n(x) — m(x) ^2 —— (n j + m i (n j A i — A j n i )).

An j=1 n

Легко заметить, что т (x) = 0 , если ^ i (0) = 0 , i = 1,..., 3 .

После определения функции т (x) мы приходим к задаче (3), u(x, 0) = т (x) в области Q i .

Рассмотрим однородную задачу, т. е. задачу с нулевыми данными ( ^ i = 0 , i = 1,..., 3 , т (x) = 0 ). Допустим, что однородная задача имеет нетривиальное решение u(x,y) .

Положим

u(x,y)= u(x,y)e ^{Ax +} ^y ,                               (19)

где A и ^ — некоторые постоянные. Для функции и(х, у) получим уравнение

L(u) — U xxx + 3^U xx + (0 1 + 3^)u x + (0 0 + 0 i ^ + ^³ — A)u

+ X A j u(x j ^Vx^-x> — U y = 0

j =1

и краевые условия

^u(0,y)=^0, ^У^ ^{0 U}x ^{(0 ,}y) ^{— U} x ^(1,y⁾=^0,                 , _x

(20) 0 6 у 6 h, u(x, 0) = 0, 0 6 x 6 1.

По предположению, и в силу (19), эта задача имеет нетривиальное решение u(x, у) .

Рассмотрим тождество

2 uX + 3ции х + 2(0 i + 3^)u ² j

-

ULU = UU xx

^— |^(u 2 " у ^{— 3}^^и Х x ²

+ (0 0 — 0 1 ^ + ^ ³ — A)u ² + ^X A j U(x j ,y)u(x, y)e ^(x-x) ^ = 0.

j =1

Интегрируя это тождество по области Q i и учитывая однородные граничные условия (20), имеем

l

У u 2 (x,KW -Ц

^{( 9}o + 9 1 /../ + ^ 3

— А) и — 3^U x

+ XX A j u(x ^j , y)u(x, y)e ^{(x - X}H dxdy = 0.

j =1

Полагая в равенстве (21) x = xj, получим l          hn

2u ² (x j , h) — l X (( 9 o + 9 i ^ + ^ 3 — A + A j )u ² (x j , y) — 3^u X (x j ,y)} dy = 0.

₀ j =1

Выберем А и ^ так, чтобы ^ < 0 , 9 o + 9 ₁ ^ + ^ 3 — A + A j < 0 .

При таком выборе λ и µ левая часть равенства (22) становится строго положительной, что невозможно, если u(x j , y) = 0 . Следовательно, u(x j , y) = 0 . Учитывая это в равенстве (21), будем иметь, что u(x,y) = 0 для любого (x,y) G Q i и, согласно (19), u(x,y) = 0 для любого (x, y) G Q i . В области Q 2 однородная задача Дарбу u(x, 0) = 0 , u(x, — x) = 0 для уравнения L o u = 0 имеет только тривиальное решение u(x, y) = 0 для любого (x, y) G Q 2 • Следовательно, u(x, y) = 0 в Q .

Существование решения задачи (3), u(x, 0) = т(x) доказывается опираясь на методы используемые в работах [4-6]. В области Q 2 решение задачи 1 можно найти как решение задачи Дарбу.

Случай II. Пусть s = 0 , коэффициенты уравнения (1) при y > 0 такие, как и для случая I. При y < 0 положим m = 0 , b o (x,y) = A o = const, b i (x,y) = 0 , i = 1,...,n , d(x, y) = 0 .

Решение задачи 1 в области Q 2 ищется в виде [7, 8]

x + y x - y

^u(x,y⁾= F^{(x +} У⁾⁺Ф^{(x —} y) ⁺ у J d^e J ^т (Нр) dn,

где F(t) и Ф(z) — дважды непрерывно дифференцируемые функции и подлежат определению. Учитывая условие (4), из (23) находим Ф(x) = ^( X ) — F(0) , 0 6 x 6 l , после чего равенство (23) примет вид

u(x,y) = F (x + y) + ^

(4y)

x + y   x - y

+ F(0) + A ⁰ J' de J' r^)dn

0 l

Из равенства (24) найдем u _x - u _y , а затем в полученном равенстве перейдем к пределу при y ^ 0 — , после чего получим интегро-дифференциальное соотношение между функциями т(x) и v(x) , принесенное на линию y = 0 из гиперболической части Q 2

x v (x) —т 0(x) = —^( x) — A0 ут (^у^-) de. 0

Исключая v(x) из уравнений (7) и (25) и учитывая (24), получим задачу для нагруженного интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором типа Вольтерра

т ⁰⁰⁰ (x) + (0 i — 1)t ⁰ (x) + 0_ot (x) = p(x),

^T(0) = П⁽⁰⁾,   ^T(l) = ^ 2 ⁽⁰⁾,   ^T 0 ^{(0) — T} 0 ^(l) = ^ 3 ⁽⁰⁾,

где

p^(x) = ^—/( x ) - 4 J ^{T(£) d£} - j ^ X j ^T(x j ).

Поступая аналогично предыдущему случаю, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно т (x)

^{т (x) +} (4k — k i ) ²

x j G(x,t)T(t) dt = f (x), 0

где

f (x) = Y i e kx + (Y 2 + Y 3 x)e ^kx — (k — k i )

xn

² У R(x,t)0 0 ^|^ dt — X X j т(x j ) У R(x,t) dt,

₀                       j =1          ⁰

R(x, t) = e ^{( x-t ) k} 1 + ⁽ (k - k i )(t + 1) - 1 ) e ^{( x-t ) k} ,

G(x,t) = <

2 ξ

J R(x,t) = dt при 0 < £ < x/2, ξ

x

J R(x, t) dt       при x/2 < £ < x.

Легко заметить, что ядро G(x, t) интегрального уравнения (29) непрерывно во всякой точке (x, t) треугольника 0 6 x 6 l , 0 6 t 6 x , а его правая часть f (x) на отрезке 0 6 x 6 l .

Обращая (29), находим

T (x) = Y i h i (x) + Y 2 h 2 (x) + Y 3 h 3 (x) + g(x),

где

xx

-"•■’+0 ""■"""•  *F'"*'-

x h3(x)=xekx■/-■■■■■ dt,

g(x) = — У ((k — k 1 ) 2 R(x,t) + M(x,t 0

x

x

M (x, t) = —

;) ^ ^ (t/2) dt — j R(x,t) dt +x j F(x,£)R(£,t) d£

(k — k i ) ^-2 / r(x,£) R(£,t) d£, t

ω j ,

r(x,t) — резольвента ядра A o G(x, t)/[4(k — k _i )] 2 .

Удовлетворяя (30) граничным условиям (27), получим систему алгебраических уравнений относительно Y j , j = 1,..., 3 , с определителем

A = (h 2 (l) — h i (l))(h 3 (0) — h 3 (l)) + h з i <0) — h 2 (0)) + (h 2 (l) — h 1 (l))].

Решая полученную систему, находим

Yi = A1/A, Y2 = A2/A, Y3 = A3/A, где

A i = ( (1 — h 3 (l))h 2 (l) — (h 2 (0) — h 2 з ) < i (0) — (1 — h 3 (l))^ 2 (0) + h 3 (l)^(0), (31)

A 2 = ( (h i (0) — h i (l))h 3 (l) — (1 — h 3 (l))h i (l) ) ^ i (0) — (1 — h 3 (l))^ 2 (0) — h 3 (l)^(0), (32)

A 3 = (( h 2w — h 2 (i))h i (i) — (h i (0) — h i (i))h 2 (i )) ^ 1 (0)

— (h 2 (0) — h 2 (l) + h i (0) — h i (l))< e 2 <0) + (h 2 (l) — h i (l)) e (0), (33)

если A = 0 , << 2 (0) = < 2 (0) — g(l) , << 3 (0) = < 3 (0) + g (l) . Учитывая (31)–(33) в (30), будем иметь

т (x) + F (x) XX A j т (x j ) = Ф(x), j =1

xx

F (x)=/R

r^o^^t)^,

Ф(x) = A ⁱ(Ai x hi(x) + A2h2(x) + A3h^x))

x

—

(k — k_i) ²У ^ (t/2)R(x, t) dt — У

M(x, t)^ (t/2) dt.

Полагая в равенстве (34) поочередно x = xi, x = x2,..., x = xn, получим систему алгебраических уравнений относительно т (xj). Решая эту систему, окончательно находим n1

^т(x) = ^ф(x)— F(x) ^2 -г- ^(Ф,^Ai ^{— A}j^фi), j=i ^An

n если определитель системы A = 1 + ^2 AjФ^ = 0.

j=1

Доказательство существования и единственности исходной задачи 1 проводится аналогично случаю I.

Случай III. Пусть s > 0. Условия на коэффициенты и правую часть уравнения (1) при у > 0 совпадают со случаем I, а при у < 0, bo(x,y) = 0, m = 0, коэффициенты bi(x, у), i = 1,..., n, и правая часть d(x, у) принадлежат классу Cⁱ(Q2) П C3(^2).

Решение u(x, y) задачи Дарбу Uy (x, 0) = v(x), u(x, —x) = ^(x) для интегро-дифференциального уравнения (1) при y < 0 определяется как решение следующего уравнения [8]

x    y Ai(e,n)DpJт                   1 / 4 \2^в

^u(x,y) -J dej           ^H(<,n,x,y) dn  ₂ (m+2) Y

0ξ xy x I v (e)(x — e)-e (y — e)-e de + j (/(n) + e^(n)) h (o,n,x,y) dn

+ Z de J — (d—^ H(e,n,x,y) dn, 0ξ

где в = m/(2m + 4), Ai выражаются через известные функции bi(x,y) и d(x,y) соответственно,

H(e, n, x, у) =

^R(e^,n^,x,y⁾, n > x,

R(e,n>x>y)> n 6 x, функция Грина — Адамара задачи Дарбу для оператора

Eu=u^n+n—e(uj—un), причем

^R(e, П, x У) = ⁽n^{— е)в(}У^{— x) в}F^(в,^{1 — в}, 1; ^ст),

R(e, n, x, y) = Y(n — e) 2^е(x — e)^-e(y — n)^-ef (в, в, 2в; 1), ст = [(x — e)(y — n)]/[(n — e)(y — x)], Y = Г(в)/[Г(2в)Г(1 — в)].

Переходя в (35) к пределу при (x, у) ^ (x,x), 0 < x < l, получим функциональное соотношение между т(x) и v(x) в виде xx

/ Т"("^|;з = ~т(x) + ^K0 / Ti(x,t)T(t) dt — q(x) = Ф1 (x),

J (x — t)2e   K1        K1 J где ко = Y/r(1 — Pi), 2ki = y/ [4/(m + 2)]2e , y = Г(в)/ [Г(2в)Г(1 — в)] ,

т( г Ai(e,e + (x — e)t) dt Ti(x,t) = y -----t2e(1 — t)e-----, x         xx

q(x) =

-Y ж-в iu0{ri}   м^в/^ гвНх -11red11       de d^ dn к1x о (n) + pv(n)/n)n (x n) dn+yо (x — e)e J (n — e)2e(x — n)e

Очевидно, что q(x) G C(I) П C2(I). Пусть т(0) = ^(0) = 0, тогда Ф(0) = 0. Обращая (35) как интегральное уравнение Абеля относительно v(x), получим

₍ ) = пj Ф⁰(t) dt 81п2вп У (x — t)^1-2^e

Подставляя (36) в (5), с учетом граничных условий (3), получим задачу т000 (x) + 61Т 0(x) + 9oT (x) = Ф1 (x),(37)

т(0) = ^1(0), т(l) = ^2(0), т0(0) - т0(l) = ^з(О), где п x Ф01(t) dt А .

Ф1(х) = -----7------xi - / ^iT(xj )•

1V ’    sin 2вп J (x - t)1-2e

Полагая т(x) = z(x) + ax²+ bx + c, учитывая граничные условия (38), получим задачу с однородными граничными условиями относительно z(x)

z000(x) + 9 1Z (x) + 9qz(x) = ф 1 (x) + F (x),(39)

z(0) = 0, z(l) = 0, z0(0) - z0(l) = 0,(40)

где

7-,/ x   ⁹0^3⁽⁰⁾ 2   f^l91 ^3^{(0) + 9}g(²^2^{(0) - 2}^1^{(0) +} W⁰⁾)\

F(x) =       x - ---------------2) x

+ 4 (2^2(0) — 2^1(0) + 1^з(0)) + 9g^1(0).

Решение задачи (39), (40) имеет вид l z(x) = J G(x,t) (ф 1 (x) + F(t)^ dt,(41)

где G(x,y) — функция Грина однородной задачи (39), (40) и имеет вид

G(x, t) =

(a1ea0x + a2e a0x/2 cos Y0x + a3e a0x/2 sin Y0x при 0 6 x < t, при t < x 6 l,

[b1ea0x + b2e-a0x/2 cos Y0x + b3e—a0x/2sin Y0x где ao и yg выражаются через коэффициенты 9o и 91 уравнения (39) [3]:

a1 = Ao ¹ ^ Q aoYo sin Yo(l - €) + Yo cos yg(€ - l/) e^a0⁽⁵l^)/2

+ Y^^²^² cos yg(€ - 2l) + 2 aoYo sin Yo^^-21^

- 2 a0Y0 sin Y0lea0(l+2^)/2 - Yo cos Y0lea0(l+2^)/2-Y02ea0(l+^)^ , a2 = -a1, аз = Ao 1 Q a0 sin yg(€ - l) cos Yol + Yo sin yg(€ - 2l) + | aoYo cos yg(€ - 2l/) ea0(5 2l)/2

- I aoYo cos Yole^a0^(5+2l)/2+ Q a0 - Yo2^ sin yg(€ - l)e^a0^(5+l)/2+ 2 aoYoe^a0^(5+l)

^- 2 ^ao

2 ao sin yg(€ - l) + Yo cos yg(€ - l)

e^ao⁽€^-l)/2- y_g² sin Yole^ao^(25+l)/2,

bi = (Yoe^a0⁵) /w + ai,

bi =

[(2

ao sin yo£

-

Yo cos Yo^

W,

W,

Ьз = аз —

I ^ ao cos Yoe + Yo sin

eα0ξ/2

если Ao = 2, Yo ch aol+3, ao sin Yol sh(aol/2)-Yo cos Yol ch(aol/2) = 0, W = Yo (| a2 + Yo) — определитель Вронского.

Подставляя в (41) значение Ф1(х), получим

l

z(x) =   G(x, t)

(--n— t

\ Ki sin 2вп J

l

[z⁰(^) + Mi(t,e)z(€)]d£

(t - e)^i-2e

dt

l

+ j G(x,t)q(t) dt - XX Xjт(xj) j G(x,t) dt + j G(x,t)F(t) dt, ₀                    j=1          _{0                0}

где

x

Mi(x, t) = KoTi(t, t) + j Tit«, t) dt, t

q^(x)

π

K1 sin2en

x

I [(к t

- Kot²+ t) a + ^K (t²+1 + 1)b + (t - Ko + 1)c - q⁰(t)]

(x - t)^1-|e

dt,

или

^l                                        n^l

^z(x)"^X / ^L(x,t^{)z dt=r(x) -} D^XjT(x) / G'x’t’ dt

где

ll d Г G(x^) de    r

L(x,t)   dtj (e - t)1-|e +J tt

G(x,e)Mi(e,t) dt

(ё-!)1^  ,

l

r(x) = j G(x,t)q(t) dt + j G(x,t)F(t) dt, X = п/[к1 sin2en].

Обозначая резольвенту ядра L(x, t) уравнения (42) через Q(x, t) и обратив его, будем иметь

z(x) + ai(x) XX Xjт(xj) = e(x), j=1

где

ll ai(x) = ao(x) + j Q(x,t)ao(t) dt,  ao(x) = j G(x,t) dt,

l e(x) = j 0

Q(x, t)r(t) dt.

Заменяя z(x) через т(x) из равенства (43), получим

т(x) + ai(x) X Aj т(xj) = аз(x),                          (44)

j=1

где аз(х) = e(x) — ax²+ bx + c.

Подставляя в равенство (44) поочередно x = x¹, x = x²,..., x = xⁿ, получим систему алгебраических уравнений относительно т (xj), которая при определенных условиях на ai(x) и аз(х) однозначно разрешима.

Таким образом, после того, как функция т(x) найдена, искомое решение u(x, у) задачи 1 в гиперболической части Q2 задается формулой (35), а в области Qi приходим к задаче, рассмотренной для случая 1.