Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Ж. Т. Карсанова, Ф. М. Нахушева

При определенных условиях гладкости доказана, априорная оценка, для обобщенных решений нелокальной краевой задачи для уравнения Аллера. в пространствах Соболева. Рассматриваемая задача, редуцируется к задаче Гурса. Получено также интегральное представление решения задачи Гурса.

1. Постановка задачи. В области Qt = {(^^) ' 0 < х < Ц 0 < t < Т} рассмотрим задачу с нелокальным условием д = ^Д-1^ +                     in

J и(жД)^ж = В(Й,                          (2)

о

Нелокальное условие вида (2) предложено впервые в работах [1, 2]. Физически оно выражает расход, например, влаги в почвенном слое от 0 до I. Нелокальные условия типа (2) для уравнения теплопроводности рассматривались также в работах [3, 4].

I

Ju,udx = о

I

I (k(x,t)u_x)_xudx + о

I j ^x^u^ryudx о

^^^^^^^™

I J^Wd^ О

I

I f(x,t)udx. о

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (5) и нелокальное условие (2) дующим образом:

сле-

I

I

k(O,t)ux(O,t) + g(O,t)uxt(O,t) = - J~ g(x,t) dx + g(t), ц^) = j f(x,t) dt - B(t),

о

о

Г                       ||2

u_tudt = --|Д|Д₂, о

I

IMIl₂ = I u^Vx.t^ dx,

о

j (k(x,t)u_x)_xudx = - о

i

А:(0, t)u_$(O, t)u(O, t) — I k(x , t)u² (ж, t) dx.

о

(7з)

j(g(x,t)u_xt)_xudx = -g(O,t)u_xt(O,t)u(O,t) - о

Для скалярного произведения функций /(ж,А)

i

i

1 9 f , „ ₂ , , 1 f ₂ , 2dt / ^TlVx,t)u_xdx + - g_tu_xdx.

о

о

и и(жД) справедлива оценка

(/л) = j f^x^Mx,^ dx < |||Л1₂ + |hlll₂-

о

(7з)

Подставляя (71), (72), (73) вия (6) и неравенства (7),

в интегральное тождество (5), с учетом нелокального усло-получаем

1 9 „ „2

2 ^ IHI^

+ (-I flu (to+ //(<)) и (ОД) + ~ I gu^dx о                                            о

«Ill/llL^II^ + ^lWlL+^Mll,.

Отсюда на основании неравенства Коши имеем

т f^^^2 + [^dx] ^ ^^ + ||ЫИ2 + ^\ил2ь, Zi \ иъ            иъ J           / А            ^             ^

о

+ с2|Ы112 + и2(од) +

^2<|К, + ^ (8)

Справедлива оценка (см. [5])

м²(0Д) <  е|К||1₂ + с(е) 1Ы|1₂, е > О, с(е)

> О.

Тогда на основании этой оценки из (8) находим

где /д = max(3c2 + 2е, 1 + с2/ + 2(с2 + с(е))). Заменим в (9) t на т и проинтегрируем по т в пределах от 0 до t;

IM^)lll2 +

I

о

< I 11/(ж,т)|Ц₂ ^dT + j рЧт^т 0                            о

+^1

j^№^L^Wx,T)о                                                        о

г/(ж, 0)и(ж, 0) с/ж + ||«о(®)||12

ИЛИ, С учетом условия 7/(ж,1) ^ Со > О, hlll2 + с0Ьж|Ц2 < j ||/(ж,т)|Ц2 dT + j ^2(т)б?т + ||и0(ж)||12 о                            о

t

+ С1|К(ж,0)||^₂ +/У_Х I (||и(ж,т)||^₂ + |К(ж,т)||^₂) 6?Т. о

Пусть z/₂ = min(l,co), v^ = max(l, ci, гд). Тогда из (10) следует

1/211^11^(0,0

< Дз

t

^y ||м(ж, 7)11^1^0^)

t

t

dT+j ||/(ж,т)||_£2 dT+j ^z²(t-) ^'г+||м₀(ж) ||^i _{(o z)}

где |Ы|^1(0 ^ = ||u||£2 + Ци^Ц^. На основании леммы 1.1 из [5] окончательно получим hllvvno.o < Mw(ll/ll2,Qt + I p4tW + \Ы?№^У 0

где tt i

II/IHq,= j \\J\\2L2dT = j (^j UlX’T^dx^ d-T.(11)

0                    00

Из априорной оценки (11) следует единственность решения задачи (1)-(4) и непрерывная зависимость решения от входных данных на каждом временном слое в норме пространства TT21(0,Z).

Имеет место соотношение

X х 9Q дР vL^ -иМ^ = ----—,

их от где

Q =r/vu_$t + u^y.^t + ^v^ - ky_xu, P =r]v_xu_x — dyu,

MW = - Упухух1 + Ц;ухух - Wt - qv.

Потребуем непрерывность P.O к Q_Tl непрерывность и ограниченность P_x,Qt в Qt-

Определим аналог функции Римана у = у(ж,1;фт) следующими требованиями (см. [6]):

М^ = О,

t

«(Ф^фт) = 0, у^Ф^Фт) = -ехр( / ^f’^x d-tiV

т

у(ж,т;фт) = №(ж,т), где ш(ж,т) — решение задачи Коши

^ту_ху_х + dv = О, у(ж,т;фт) = 0. ж=£

7/ ^ со > 0, d < 0,

У_ж(ж,т;фт) = i ж=£    2

Проинтегрируем соотношение (14) по области Q = {(ж, £) : 0<ж<ф0<1< т}, где (фт) — произвольная точка области Qt-

Тогда, с учетом граничных условий (13) и определения функции у = у(ж,1;фт), получим представление

т

Ц^т^) = ц(0,т)у_ж(0,т;фт)?(т) -   ^ц(0, t)y(O, t; ф tV W

о

+ ((w(0,^^,T))_t - ky_x^,t;^T^tp^ + fcy(O,f;^,T)^(<)j dt

+ У [ц(ж,О)у_ж(ж,О;фт)по(®)-^(ж,О)у(ж,О;фт)п_о(ж)] dx о

+

5 т

J J v(x,t-,^,T)f (ж,^) dx dt. о о

Таким образом, решение задачи Гурса (12)-(13) представимо в явном виде с помощью формулы (17), если известна функция Римана у(ж,1;фт). Существование и

единственность аналога функции Римана, определяемого условиями (15)-(16), доказаны в работе [6]. Формула (17) позволяет исследовать различные краевые локальные и нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений вида (12).

Представление (17) запишем несколько иначе:

«М = ц(0,т)у_ж(0,т;фт)и(0,т) - ц(0, т)у(0, т; ф т)и_х (0, т)

т

+ У [(r?(O,t)y(O,t;^,T))t - A:(O,t)y(O,t;^,T)]n$(O,t)

о

+ [ь_ж(0,^;фт) - ^в_х(О,^,тУ)^О,^ } dt

+ j ^т](х,ОК(хЛЛ,тНМ-d(x,0Mx^^^ о

+ j j v(x,t^,T)f(x,t) dx dt - ц(0, 0)y(0, 0; £, т)пд (0).

о о

Пользуясь представлением (18), с учетом дополнительных условий (2)-(4), находим у^(0,т;/,т)и(0,т) -

I

у(0,т;/,т)мж(0,т)

T

+ У (Я1(т, t)n(O, t) + Н₂(т,^и_х(0,^ dt = 7i(t),  (19)

о

i

j у_ж(О,т;фт) ^ • п(О,т) - У у(О,т;фт) ^ • п_ж(О,т)

о

о

где

Я1(т,1)

Я2(т, 1)

71(т) = -

т

+ У (Ki(T,t)n(0,t) + K₂(T,t)n_$(0,t)) dt = 7г(т), о

= ^У^у[^(°^)^у^(°^;^гя) - ^^,t>_x^o,t;i,T^_ty,

= ^(р¹ т) [^t⁰’^"^⁰’^^⁷"))# “ ^(O,t)vf(O,t;/,r)],

—|r/(Z,O)y$(Z,O;Z,T)no(O г/(0,т) [

I

+ У ^(ж, 0)у_ж£ (ж, 0; I, t)u'_o (x) — d(x, 0)y^ (ж, 0; I, t)] dx о

I T

+ УУ М^^яШ^Я) ^^-77(O,O)y$(O,O;Z,T)uo(O), о 0

К^т,^

КДт,^ =

W) = - _m X

= ^(о _т) I ЦМ^ММ^т) - ^1)$^ ^, о

I

J х / [(г/(0,1)у(0,1;фт)) - fc(O,t)y] d^, W) J I^х                  J

о l € у

-J I j^x^-rW^dxdt

0     0 0

+ j (ц(ж, О)у_ж (ж, 0; ф т)пд (ж) + (ж, О)у(ж, 0; ф т)п₀ (ж)) dx О

I                       т

^^^^^^^™

т/(0, 0)у(0, 0; ф t)uq (0) ^ + ^ uq (ж) ^Ж +

о

У B^dt. о

Систему интегральных уравнений (19) перепишем в операторном виде

Аи, + Вй = у, где

/     у^(0,т;/,т)

I

I у_ж(0,т;фт)^

V о

-у(0,т;/,т)     \

I

- [ у(0,т;^,т)^

о                  /

На основании леммы, доказанной в работе [6] имеем det А(1) ^ 0, 0 ^ t ^ Т. Поэтому система уравнений (19) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима.

Таким образом, задача (1)-(4) редуцирована к задаче Гурса (12)-(13) однозначная разрешимость которой уже установлена.

Полученные результаты имеют место и в случае, когда на правом конце отрезка [0J] задано условие третьего рода — П(/,1) = /3(1)м(/,1) + Ц^, где П(/,1) = ки_ж^1,^ + г/(М)и^(М), при этом знаки коэффициентов Цх. t), q^x, t), /3(1) не играют роли для корректной постановки исходной задачи, существенным является только условие г/(ж,1) > со > 0.