Об одной нелокальной обратной краевой задаче для параболического уравнения второго порядка

Бесплатный доступ

Исследуется разрешимость обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для параболического уравнения второго порядка с неклассическими краевыми условиями. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается эквивалентность (в определенном смысле) исходной задачи. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. Далее, рассматривается спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными условиями второго рода. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи Коши. После этого решение задачи Коши сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов Фурье записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе двух нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банохово пространство. Далее, в шаре из построенного банохового пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. Используя эквивалентность задач, получены существование и единственность классического решения исходной задачи.

Еще

Обратная краевая задача, параболическое уравнение, метод фурье, классическое решение

Короткий адрес: https://sciup.org/147158934

IDR: 147158934   |   DOI: 10.14529/mmph170202

Список литературы Об одной нелокальной обратной краевой задаче для параболического уравнения второго порядка

  • Гордезиани, Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды/Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили//Математическое моделирование. -2000. -Т. 12, № 1. -С. 94-103.
  • Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических задач/А.В. Бицадзе, А.А. Самарский. -ДАН СССР. -1969. -Т. 85, № 4. -С. 739-740.
  • Гордезиани, Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-Самарского/Д.Г. Гордезиани//Семинар Института прикладной математики при Тбилисском университете. -1970. -№ 2. -С. 38-40.
  • Гордезиани, Д.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного уравнения эллиптического типа/Д.Г. Гордезиани, Д.З. Джиоев. -Сообщ. АН ГССР. -1972. -Т. 68, № 4. -С. 289-292.
  • Капустин, Н.Ю. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гёльдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии/Н.Ю. Капустин, Е.И. Моисеев//Дифференциальные уравнения. -2000. -Т. 36, № 8. -С. 1069-1074.
  • Моисеев, Е.И. Об особенностях корневого пространства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии/Е.И. Моисеев, Н.Ю. Капустин//Докл. АН. -2002. -Т. 385, № 1. -С. 20-24.
  • Худавердиев, К.И. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью/К.И. Худавердиев, А.А. Велиев. -Баку: Чашыоглы, 2010. -168 с.
Еще
Статья научная