Об одной нелокальной обратной краевой задаче для параболического уравнения второго порядка
Бесплатный доступ
Исследуется разрешимость обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для параболического уравнения второго порядка с неклассическими краевыми условиями. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается эквивалентность (в определенном смысле) исходной задачи. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. Далее, рассматривается спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными условиями второго рода. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи Коши. После этого решение задачи Коши сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов Фурье записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе двух нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банохово пространство. Далее, в шаре из построенного банохового пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. Используя эквивалентность задач, получены существование и единственность классического решения исходной задачи.
Обратная краевая задача, параболическое уравнение, метод фурье, классическое решение
Короткий адрес: https://sciup.org/147158934
IDR: 147158934 | УДК: 517.95 | DOI: 10.14529/mmph170202
On one non-local inverse boundary problem for the second- order parabolic equation
The paper is focused on solvability of an inverse boundary problem with an unknown coefficient which depends on time for a second-order parabolic equation with non-classical boundary conditions. The idea of the problem is that together with the solution it is required to determine the unknown coefficient. The problem is considered in the rectangular area. The paper introduces a classical solution of the set problem. At first, an auxiliary inverse boundary problem is examined and the equivalence (in some sense) of the original problem is proved. First, we apply a method of variable separation to analyze the auxiliary inverse boundary problem. Then, we examine a spectral problem for an ordinary second-order differential equation with integral conditions. Having used a formal scheme of the method of variable separation, the solution of a direct boundary problem (in case of specified unknown function) resolves itself into solution of Cauchy problem. After that the solution is limited to the solution of a countable system of integro-differential equations in Fourier coefficients. In its turn, the last system regarding unknown Fourier coefficients is recorded in the form of an integro-differential equation in the desired solution. Using relevant additional conditions of the auxiliary inverse boundary problem, we obtain a system of two nonlinear integral equations for defining unknown functions. Thus, the solution of the auxiliary inverse boundary problem comes down to the system of two nonlinear integro-differential equations in unknown functions. The specific Banach space is designed. Then, in the sphere made of the Banach space we with the help of contracted mapping prove the solvability of the nonlinear integro-differential equations set, which is a unique solution of the additional inverse boundary problem. Using the equivalence of problems, it is concluded about existence and uniqueness of a classical solution of the original problem.
Список литературы Об одной нелокальной обратной краевой задаче для параболического уравнения второго порядка
- Гордезиани, Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды/Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили//Математическое моделирование. -2000. -Т. 12, № 1. -С. 94-103.
- Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических задач/А.В. Бицадзе, А.А. Самарский. -ДАН СССР. -1969. -Т. 85, № 4. -С. 739-740.
- Гордезиани, Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-Самарского/Д.Г. Гордезиани//Семинар Института прикладной математики при Тбилисском университете. -1970. -№ 2. -С. 38-40.
- Гордезиани, Д.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного уравнения эллиптического типа/Д.Г. Гордезиани, Д.З. Джиоев. -Сообщ. АН ГССР. -1972. -Т. 68, № 4. -С. 289-292.
- Капустин, Н.Ю. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гёльдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии/Н.Ю. Капустин, Е.И. Моисеев//Дифференциальные уравнения. -2000. -Т. 36, № 8. -С. 1069-1074.
- Моисеев, Е.И. Об особенностях корневого пространства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии/Е.И. Моисеев, Н.Ю. Капустин//Докл. АН. -2002. -Т. 385, № 1. -С. 20-24.
- Худавердиев, К.И. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью/К.И. Худавердиев, А.А. Велиев. -Баку: Чашыоглы, 2010. -168 с.
