Об одной нелокальной задаче для нелинейного параболического уравнения

Нелинейные параболические уравнения второго порядка, лежат на. основе математических моделей самых разнообразных явлений и процессов в физике, механике и многих других областях знаний [1]. Для широких классов уравнений решены принципиальные проблемы разрешимости и единственности решений различных краевых задач, подробно изучены дифференциальные свойства, решений. Здесь необходимо указать работы А. А. Самарского [2], О. А. Ладыженской [3], С. Н. Кружкова. [4, 5], А. Фридмана. [6], Н. В. Крылова. [7] и др.

В работе [4] изучены первая и вторая краевые задачи, а. также задача. Коши для нелинейного параболического уравнения вида.

ut = a(t,x,u,ux ,uxx).                                 (1)

В многомерном случае первая краевая задача, для уравнения (1) исследована, также в работах [7] и [8].

В настоящей работе в области Q = {(t, x) : 0 6 t 6 T, |x| 6 1} для уравнения (1) рассматривается краевая задача, с условиями

u(x, 0) = 0,(2)

ux(t, -1) = 0,(3)

u(t, —1) = u(t, 1).(4)

Поставленная задача, представляет собой математическую модель спирального филлотаксиса [9] (филлотаксис — расположение листьев на стебле растения). Здесь u(t,x) — концентрация морфогена в точке x в момент t.

Используем результаты и обозначения работы [4].

Введем прямоугольники

Q— = {(t, x) : 0 6 t 6 T, —1 6 x 6 1 — 5},

Qo = {(t, x) : 0 6 t 6 T, |x| 6 1 — 5}.

Для функции u(t, x), определенной на некотором множестве D, определим нормы

|u|D = suP |u(t,x)1, D

Il D । । D ,     _     ^Iu(t,x) - Цуу)

|u|Y = |u|0 + SUp        ГП I2W2,

(t,x)ED, ^(|t - ^тI ^{+ |х} - УГГ/²

-

(T,y)eD

|u|D+Y = |u|D + lUxlD , |u|D+Y = |u|D+Y + lUxxlD + |ut ID.

Всюду в работе предполагаем, что для уравнения (1) выполнены следующие основные условия.

А. Условия параболичности: для (t,x) Е Q, |u| 6 Ми любых риг ar(t, x,u,p,r) > ao > 0.

Б. Условие подчинения младших членов: для (t,x) Е Q, |u| 6 Ми произвольных £

±a(t,x,u,^ + g(t), yK^ ²) 6 H, K,H> 0,                   (6)

g(t) ограничениеin функция. |g| 6 go.

Исследование проводится по следующей схеме.

Сначала оценим максимум модуля решения задачи. В работе [4] сначала установлена оценка для |ux| вплоть до границы. В нашем случае это невозможно. Поэтому оценим |ux| в области Q- = {(t, х) : 0 6 t 6 T, —l 6 x 6 l — 5}. Далее устанавли-

Q 2^      /"У вается оценка |u|2+y 6 С а затем при помощи нелокального условия получим оценку |ut(tp^ 6 С.

И наконец, доказывается существование (при помощи полученных априорных оценок) и единственности решения задачи.

Лемма 1. Пусть функция a(t,x,u,p,r) обладает производными по u, р, r и для (t, х) Е Q и любых u(t, х) выполнены неравенства 1

j au(t,x,Tu, 0, 0) dT 6 a2, |a(t,x, 0, 0, 0)| 6 a1.(7)

Тогда для решения задачи (1)—(4) справедлива оценка mT |u| 6 м = _1----,(8)

m — a2

где m удовлетворяет условию m — a₂ > 0.

C Перепишем уравнение (1) в виде

Ut = blUxx + b2Ux + bsu + f(t,x), ^ = {(t,x) : 0

где

b1 (t, х, u, р, r

)=

ar (t, x, u,p, тг) dT,

b2(t,x,u,

р)=/ 0

ap(t, x, u, тр, 0) dr,

b3(t,x,u) = j au(t,x,uT, 0, 0) dT, f (t, x) = a(t, x, 0, 0, 0).

Введем функцию v(t, x) = e mtu(t,x), m > 0, которая удовлетворяет уравнению

(m — Ьз) v + vt = bivxx + b2Vx + fe ^mt

Умножив (10) на v(t,x). получим

(m — b3)v² + vt • v = bivxx • v + b2Vx • v + fe-m¹ • v.                  (11)

Пусть |v| принимает максимальное значение, отличное от нуля в некоторой точке внутри области. В точке положительного максимума и отрицательного минимума v • vxx 6 0, vx = 0. vt • v > 0. Следовательно, из (11) имеем max |f (t,x)|

|v| 6-----------, m — Ьз > m — a₂ > 0 в Q.

m - b3

В силу принципа максимума и условий (3), (4) для u(t, x) = emtv(t, x) имеем оценку

|u| 6

max |f (t, x)|emT m - a3

a1 emT m - a2

= M. ▻

Здесь приведем некоторые известные результаты С. Н. Кружкова [4], которые используются в дальнейшем.

Теорема 1 [4]. Пусть функция u(t,x) непрерывна в Q вместе с производной ux(t,x) и удовлетворяет уравнению (1) всюду в Q, кроме, может быть, точек оси t : 0 6 x 6 T, x = 0. Пусть supQ |u_xx| < +то. |u| 6 M. Тогдсг для (t,x) Е Q0

|ux(t,x)| 6 C(M,ao,K,H,5)

Теорема 2 [4]. Пусть в условиях теоремы 1 u(0,x) = 0 или u(t, 1) = 0. Тогда оценка (13) выполняется со ответственно в Q0 или Q+ (следовательно, если u(t, —1) = u(t, 1) = 0. то опенка (13) выполияется в Q0). Естп же u|_Y = 0, то ,чтя (t, x) Е Q

|ux(t,x)| 6 C(M,ao,K,H).

В теореме 2 при выводе априорных оценок до боковой границы предполагалось нулевое условие первой краевой задачи, причем существенно применялась идея нечетного продолжения.

Совершенно аналогично идея четного продолжения при граничном условии (3) позволяет перенести все результаты об априорных оценках вплоть до боковой границы x = —1, т. е. устанавливается оценка

|ux| 6 с Для Q⁰. (15)

Чтобы оценить производную u_xx, нужно будет дифференцировать уравнение (1) внутри Q. Поэтому всюду дальше будем предполагать, что (функция a(t,x,u,p,r) имеет первые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера на любом компакте.

Далее предполагается, что функция a(t,x,u,p, г) удовлетворяет одному из следующих условий B пли B*:

B. Дтя (t,x) Е Q, |u| 6 М, |p| 6 p_o ii произвольных r |ax(t,x,u,p,r)| + ДД.. .)| + |rap(.. .)| 6 Koar(.. .)(r² + 1),                (16)

а если еще |r| 6 r_o, то |a_t(.. .)| + |a_r(...)| 6 K1.

B*. Дтя (t,x) Е Q, |u| 6 M, |p| 6 p_oii произвольных r

W-.)| 6 Koar(...)(r2 + 1), < |at(...)| 6 Koar(...)(|r|2+e + 1),                                        (17)

>u(...)| 6 Ko ar (...)(И2+ + 1), e< 1, а если еще |r| 6 ro, то |ap(.. .)| + ar(...) 6 K1.

Теорема 3. Пусть функция u(t,x) является решением уравнения (1), удовлетворяющего условиям А, Б, В. Пусть |u(t, х) | 6 Ми и(0,х) = 0, u_x(t, —l) = 0. Тогда 2δ

|u|Q-Y 6 C.(18)

C Дифферентщруя (1) по х для функции p = ux. полупим уравнение

Pt = a2(t,x,u,p,Px)pxx + ap(.. .)px + au(.. .)p + ax(...),(19)

с граничными условиями

p(0,x)=0, p(t, —l) = 0.(20)

Так как |p| 6 C в Q-, то, применяя результаты теоремы 4 работы [2] к задаче (19), (20), имеем 2δ

ЫщД 6 C.(21)

q25

Следовательно, |u_xx|y 6 C, а из уравнения (1) находим |ut(t, 1)|y 6 C

Теперь в задаче (1)—(4), произведя замену v(t, х) = u(t, х) — u(t, 1), получим задачу

Vt (t, х) = a(t, х, u, v, Vx, Vxx) — ut(t, 1),(22)

Vx(t, —1) = 0,(23)

v(t,1) = 0,(24)

v(0,x)=0.(25)

Если уравнение (22) рассматривать как линейное параболическое уравнение с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера с показателем а, то из задачи (22)—(25) находим

|^(*,х)|!?+„ 6 C(26)

ИЛИ

|u(t,x)lQ+a 6 C. ▻

Q25

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и ux(t, —1) = 0. Тогда |u|2+y 6 C. C Дн<|><|>ереппнруя (1) по х. для p = ux получим уравнение и граничные условия p(0, x) = 0, p(t, —l) = 0.(29)

Тогда к задаче (28), (29), применяя результаты теоремы 4 работы [4], имеем

Q2δ |ux|γ- 6 C.

q25Q-

|uxx |γ - 6 C                                   |ut |γ - 6 C нелокального условия имеем |ut(t,l)|Y 6 C.

Теперь в задаче (1)—(4), произведя замену v(t,x) = u(t, x) — u(t, l), получим задачу vt (t, x) = a(t, x, u, v, Vx,Vxx) — ut(t, l),(30)

Vx(t, —1)= Ux(t, —1) = 0,(31)

v(t,l) = 0,(32)

v(0, x) = 0.(33)

Если уравнение (30) рассматривать как линейное параболическое уравнение с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера с показателем а, то из задачи (30), (33) находим

|v(t,x)|Q+a 6 C

ИЛИ

|u(t,x)|Q+a 6 C. ▻

Проблема повышения гладкости решений в зависимости от функции a(...) может быть решена при помощи соответствующих результатов для линейных уравнений.

Теорема 5. Пусть относительно линейного уравнения

a(t, x) u_xx + b(t, x) u_x + c(t, x)u + f (t, x) = u_t                     (34)

выполнены условия

a(t,x) > ao > 0, |a|^Q + |b|^Q + |c|^Q = K < to, и пусть u(t,x) есть решение уравнения (34). удовлетворяющее граничным условиям (2)— (4). |u|Q+_Y< то. Тогда существует такое C = C(y, ao, K), что

|u|Q+Y 6 CIf |Q.                                        (35)

C Доказывается при помощи теории параболических потенциалов [6]. B

Существование решения задачи (1)—(4) доказывается при предположении, что функция a(t, x, u,p, r), ее первые производные по всем аргументам, а вторые производные по (x,u,p, r) ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера на любом компакте.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4, а также au(t,x,u,p,r) 6 0 в замкнутом множестве своих аргументов. Тогда задача (1)—(4) имеет и притом единственное решение u(t,x) Е C^2+y(Q).

C Сначала докажем едииствеппоеть решения. Пусть u1(t,x) 1i u₂(t,x) — два. решения задачи (1)-(4). Тогда для функции v(t,x) = u1(t,x) — u₂(t,x) имеем задачу

v(x, 0) = 0,   Vx(t, -l) = 0,   v(t, -l) = v(t,l), где

Ai(t,x)

j ar (t, x, TU1 + (1 - T) U2, TU1x + (1 - T) U2x, TUlxx + (1 - T) U2xx^ dT,

A2(t,x) = j ap(- • •) dT, 0

A3(t,x) = У

a_u (• • •) dT.

В силу установленных оценок уравнение (36) можно рассматривать как линейное уравнение относительно v(t,x) с ограниченными коэффициентами.

Применяя принцип экстремума для параболических уравнений к задаче (36), (37), получая, что v(t,x) = 0.

Априорные оценки, установленные выше, позволяют доказать разрешимость задачи. Действительно, обозначим через H^2+в, в € (0,1), банахово пространство функций u(t,x) на Q, удовлетворяющих граничным условиям (37) и непрерывных вместе со своими ограниченными производными с нормой |u|H₂₊e = |u|Q + |ux|Q + |uxx|Q.

Рассмотрим следующую задачу относительно функции v(t,x)

Vt = (1 - T)vxx + Tqvxx + т [a(t, x, u, Ux,Uxx) - quxx\,(38)

v(0,x)=0,(39)

Vx(t, -l) = 0, v(t, -l) = v(t,l),(40)

где q > 1 — пост*)яппая. u € H^2+e.

Эта задача определяет в H2+в оператор v = F (u; т),(41)

неподвижные точки которого при т = 1 являются решениями задачи (1)-(4). Неподвижные точки u^T есть решения уравнения

uT = Ta(t, x, u VuxVuxx) + (1 - T)uXx с условиями (2)-(4).

Уравнение (42) удовлетворяет всем условиям доказанных выше теорем, в которых были установлены априорные оценки для решения задачи (1)-(4).

Действительно проверим, например, выполнение условий А, Б:

А. Здесь a = та + (1 - т)uxx, ar = таг + (1 - т) > oq > 0;

Б.

±a(t, x, u, £ + g(t), ^K£²) = ±Ta(t, x,u,£ + g(t), ^K^²) ± (1 - т)(^K£²) = ±Ta(t, x,u,£ + g(t), ^K£²) - (1 - т)K£2 6 H.

Докажем выполнение всех условий принципа Лерэ — Шаудера. Равномерная ограниченность в норме H2+в всех возможных решений uT (42), (2)-(4) дается теоремой 5 для линейных уравнений. Действительно, если функция a(t, x, u,p, r) удовлетворяет условию Гёльдера по t с показателем 2, пoxc показателем в, а по остальным аргументам непрерывно дифференцируема, то свободный член в (42) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем в- Тогда |v|Q+e 6 C ■

Теперь докажем непрерывность F(u; т) по u в H^2+в для любого фиксированного т. Как и в случае уравнение (1), выбирая два близких элемента u1,u₂ из H^2+в и соответ-ствутотцие им v1,v₂. находим

|viH2+e 6 iviQ+e 6 N1|ui — U2|H2+в .

Аналогично доказывается непрерывность F(u; т) по т. Действительно, пусть т1 и т₂ соответствуют v1, v₂, a u(t,x) Е H^2+в. Для v = v1 — v₂ получается задача с граничным условиями (37) для уравнения v_t = Aov_xx+A₁(t,x)(т₁ — т₂). Таким образом для линейных уравнений получаем |v|^Q+e 6 N₂|т₁ —т₂|. Чтобы доказать, что F(u; т) вполне непрерывное преобразование для любого фиксированного т, мы сначала приведем без доказательства лемму 2 [3, 6].

Лемма 2. Пусть т Е [0,1], u(t,x) Е C2+e(Q) и удовлетворяет уравнению ut = тa(t,x,u,Ux,uxx) + (1 — т) uxx bQ.                    (43)

Тогда ut Е C^2+e(Q). uxxx Е C^e (Q).

Отсюда вытекает, что постоянные Гёльдера по (t,x) Е Q первого порядка функций uxx (vxx) ограничены, т. е. |u|^Q+1 6 C. Используя этот результат, можем заключить, что |v(t,x)|^Q+1 6 C. а множество таких v компактно в H^2+в. При т = 0 задана, (43). (2)-(4) имеет единственное решение.

Таким образом, все условия принципа, Лерэ — Шаудера выполнены. Следовательно, задача (43), (2)-(4) имеет решение и при т = 1. B