Об одной оценке для произведения B М. М. Джрбашяна

1.    Некоторые сведение о произведениях Джрбашяна

М. М. Джрбашяном в [1, 2] предложен метод для определения и факторизации классов функций, мероморфных в единичном круге. Эти классы обозначаются через N {ш}. Они переходят в классы N _a в случае ш(х) = (1 — х) ^а , — 1 < а < +то, а в специальном случае ш(х) = 1 класс N {ш} совпадает с классом N Неванлинны.

О поведении мероморфных функций классов N _ω можно прочитать также в книгах [3–6]. Отметим, что в последние годы получены некоторые интересные результаты о поведении функций классов N _ω (см., например, [7–9]).

Пусть D — единичный круг комплексной плоскости C, Q — класс функций ш(х), удовлетворяющих условиям:

• 1)    ш(х) положительна и непрерывна на [0; 1);

• 2)    ш(0) = 1, / 0 ш(х) dx <  +то,

Q q — подмножество тех функций из Q, для которых ш(х) не убывает на [0,1).

Далее, пусть Д о = 1, A k = kJ w(x)x ^k-1 dx, к = 1, 2,... , и пусть последовательность 0

{a _k } ∈ D такая, что удовлетворяется следующее условие Бляшке — Джрбашяна:

∞ ¹

/ w(x) dx < +то.

(Б-Дж)

k =1 _|ak|

Произведение М. М. Джрбашяна с нулями на этой последовательности определяется следующим образом (см. [1, 2]):

вш (z) = вш (z; {ak}) = [[ A (z; {ak}), ^(x) e Q, k где для |z| < 1 и 0 < |Z| < 1

A u ^(z; ^z) = ^1 ^- zj exp ^{{- W(}z; ^{z) }} ,

W (z,Z ) = У | ζ |

w(x)

x

dx

-

∞

| ζ |

∞

E z - k  ^)

k =1

_x k - 1

dx

— Zk / ш(х) x ^{k 1} dx > -z—. J               ^Ak

| ζ |

Заметим, что (см. [2, с. 97])

W i (z,Z ) = W (z,Z )U 1

dx x

∞

— E J< z) k k =1

∞

- ln|z 1 - E k=1

(z z) ^k

k

Так как (см. [2, с. 51])

A i (z; z ) = A(z; Z ) =          •    ,       Izl < 1, 0 < IZ| <  1,

1 — Zz z то произведение Вш(z; {ak})-Джрбашяна при w(x) = 1 совпадает с произведением Бляшке:

B i (z; {a k }) = B(z; {a k }) = B(z) = П ^k—z •    •

1 — a k z a k k =1

Известно, что (см. [2, с. 56]) если ^(x) не убывает на [0,1), то имеет место следующее представление:

2 n                           '

B u (z; {a k }) = B (z; {a k }) exp <

—     [ S (e ^-iY z; ^) d^(Y) > ,

2n J где ^(y) — некоторая неубывающая ограниченная функция на [0;2п], и

∞ _k

S ⁽z; w) = 1+² E 7“, ^{| z |} < 1, k =1 ^{A k}

— ядро Джрбашяна типа Шварца.

Если w(x) не убывает на [0,1), то ReS _ш (z) ^ 0 (см. [2, с. 28]), и, следовательно, из представления В _ш (z; {a k }) = Ик А ш (z; {a k }) имеем

\Б _Ш (z; a k )| С |B (z; a k )| .

Последовательность {a k } k =o называется выпуклой, если, полагая Aa k = a k — a k +i , A²a k = Aa k - Aa k +i , имеем A ² a k ^ 0, k = 0,1,... Как известно (см. [10, с. 100]), если a k ^ 0 и последовательность {a k } k =o выпуклая, то ряд 0 2 0 + 52^ =1 a k cos kx сходится всюду, кроме быть может x = 0(mod2n), к неотрицательной суммируемой функции f (x) и является рядом Фурье от этой функции.

2.    Основные результаты

Пользуясь методом доказательства одной леммы В. С. Захаряна [11], докажем следу- ющее утверждение.

Лемма 1. Пусть ш(х) — неубывающая дифференцируемая функция из класса

^ 0 -

Тогда для любых z, Z (|z| < 1, 0 < |Z| С 1) имеет место следующее неравенство:

и ш (z; Z ) = Re

^W ш ^(z, ^Z) ^— W 1 ^(z, ^Z) ⁺ ^A 2

-

-

x

| ζ |

dx

> 0.

<1 Из вида (1) функции W _ш (z,Z ) имеет место

W ш (z,Z) — W i (z,Z) +

(Af ')/

| ζ |

-

= щ^{(х) x}

| ζ |

dx

∞

-

w(x) — 1

| ζ |

x

∞

E ^{Z - k} / ^w(x) 71

k =1

j Х^dx+Е k ^{(Zz)k +}

| ζ |

k =1

∞

dx

+

k =1

* ¹ (Zz) k

k

-

A k

_x k - 1

dx

-

Z^k I Цх)

x

k - 1

dx

z ^k

(Af XI

ζ ^{- k} z ^k

| ζ |

w(x) — 1

x

dx =

| ζ |

| ζ |

jw(x)x ^{k -1}

A k

A 2 Г w(x)

At/ x

dx - ζ ^k z ^k

-

dx

| ζ |

j ш(х)х

k - 1

dx

| ζ |

Обозначим |Z| = r, l = zZ (|l| = r|z|, |z| < 1)). Тогда

_ζ - k _z k

= C ^-k z ^k Z ^k Z

k

= z ^k Z ^k Z ^{- k} Z ^{- k} = (zZ ) ^k (|Z| ² )

k

= l ^k r

2 k

,

W ш (z,Z) — W i (z,Z) +

(A -И

w(x) — 1

x

dx

₌ A 2 f At/

| ζ |

| ζ |

w(x) — 1

∞

x

dx +

k =1

l ^k

k

-

r

A _k

_l k _r

2 k

j w(x)

_x k - 1

dx

-

l^k j w(x)x

k - 1

dx

r

△

△ 2 У

w(x) — 1

x

| ζ |

∞ dx + £ k=1

|l| ^k

—— [cos(k • arg l) + i sin(k arg l)] k

r

-

△ k

Далее,

U u ⁽z;^z)

= △ f

△ ²J

| ζ |

Пусть

-

—— |l| ^k [(cos(k arg l) + i sin(k arg l)] • r 2 k [ w(x) △ k                                   J

-

|l| ^k cos

|l| k [cos(k arg l) + i sin(k arg l)] j w(x)

x

k - 1

r

_ A2 /"

△ 2 У

w(x) — 1

x

| ζ |

r

_x k - 1

dx

dx

∞ dx + £ k=1

|l| ^k

—— cos(k • arg l) k

(k arg l) • r ^2k j w(x)x ^{k 1} dx — |l|

∞

+ i      sin(k arg l)

= Re

k

cos

(k arg l) У w(x)x

r

k - 1

dx

r

k =1

-

-1- |l| ^k sin(k arg l)r ^-2k [ ш(х)

△ k                   J

-

_x k - 1

dx

|l| ^k sin(k arg l) I w(x)x

k - 1

dx

r

W u ^(z, ^Z) ^— W 1 ^(z, ^Z) ⁺ ^ д|

w(x) — 1

∞

-

∞

x

-

-

x

| ζ |

dx

|l|k dx + У2 * ,7" cos(k • arg l)

|l| ^k cos

-

k =1

(k arg l) У w(x)

+ УУ |l| k cos(k • arg l)

k =1

U u (z; Z ) = Re

r

k

-

r

x

k - 1

dx

△ _k

r

2 k

△ k

r

|l| ^k cos

(k arg l) • r ^2kj ш(х)

△ 2 f

△ 2 У

w(x) — 1

x

dx

| ζ |

j ^^(x)x ^{k 1}

dx

-

W u ^(z, ^Z) ^— W l ^(z, ^Z) ⁺ ^ д | ^— 1^ У

| ζ |

j ^^(x)

x

k - 1

r

w(x) — 1

x

dx

a o (r)

∞

_x k - 1

dx

.

+ УУ a k (r) • |l| k cos(k arg l),

k =1

dx

где

a o (r) = 2^ У ^x; ^{- 1} dx, r

, A ¹ a k ^(r) = k -

A k

r

2 k

r jw(x)xk-i 0

dx

-

j w(x)x~^{k - i} dx >

r

к = 1, 2, 3 ...

Для того чтобы установить справедливость неравенства (1), сначала установим

вы-

пуклость последовательности {a k (r)} o° , т- е. справедливость неравенств

W (r) = A ²

a k (r) = a k (r) - 2a k +i (r) + a k +2 (r) >  0,

0 < r <  1, k ^ 0.

то

Покажем справедливость неравенства (3) в случае к = 0, т. е. докажем, что

V o tr) = A ²

a o (r) = a o (r) - 2a ? (r) + a 2 (r) >  0.

Так как

a 1 ( r ) = 1

a 2 ^(r) = 2

r

-

-

A 1

r

У w(x) dx

-

j w(x)x ² dx I ,

r

r

A 2

r

d

-

j w(x)x ³ dx I ,

r

^ 0 ^(r)

-2 A 2 A ?

f w⁽x)

x

-

dx

-

r

r

+

Значит

^ 0 ^(r)

-

2 A 2

² A ?

(^(rr-^)

+ Ai *

-

A 1

-

- r

A 2

r

r

r

j w(x) dx

-

r

j .^{(x)x -2 dx}

r

j ,(x)xdx

-

У w(x)dx +

r ² ш(т)

r

-

A 2

-

2 r

j .^{(x)x -} 3 ^dx

r

j .^{(x)xdx +}

r

³ w(r) >  .

Имея ввиду, что

r

r

ω

(r) -1 = у d(^(x)),

1 .(x) ax = „и

-

r

2 У w(x) • xdx = г²ш ( г )

r

j xd(y(x)),

r

из (5) получаем

r

-

j x ² а(ш(х)),

^ o (r) =

-

2 A 2               2

r A J d(^(x)) + A

-

r

-

^A 2

r

-r

-

_r 2 _ω

2r - 3

rω

r

(r) — У xd(w(x)) + 2r

² ш(г)

(r) — у x ² a(^(x))  +

r 3 ш(т)

2 A 2              2 2

r A1 / ^d("^{(x)) +} r5 7 r

-

r

r

j xd(w(x))

r

2A 2 f p r J U1

-

Таким образом,

r

-

A 2 A 1

^ 0 ^(r) =

-

2A 2 г p r J U1

-

xr

A 2

r r A2

У x ² a(^(x))

r

² x +

A 2 r

⁴ x ²

^ a(^(x)).     (6)

2 ^ d(w(x)).

Так как w(x) не убывает на [0,1), то из (6) следует, что ^ 0 (r) С 0. Это означает, что

на [0,1] функция ^ o (r) не возрастает, и, следовательно, ^ o (r) ^ ^ о (1), 0 < r < 1. Отсюда,

так как ^ о (1) = 0, следует справедливость неравенства (3) в случае к = 0.

Теперь докажем неравенство (3) для к ^ 1. Для этого запишем функции a k (r) (k ^ 1)

в виде

a k (r) = b k (r) + d k (r),

где

b k (r) = ¹ k

-

r ²

r

A k

2 k

У w(x)

_x k - 1

dx,

^d k ^(r) =      *

A k

У ш(х)

x

k - 1

dx

-

r

2 k

r

У w(x)

_x k - 1

dx

r

r ²

В отдельности установим выпуклость последовательностей {bk(r)}”, {dk(r)}” путем проведения непосредственных оценок. Для этого сначала покажем что эти последовательности неотрицательны. Из (8) имеем bk (r) =

^A k

1 w(r ² ) — kr ^{2k 1}

r ²

j w(x)x ^k - ¹ dx

Так как ш(x) — неубывающая функция на [0,1), то r2                               2k

ш(x)x^k - 1 dx <  ш(г ² ) r—, 0 < r <  1. k

Следовательно, b'k(r) ^ 0, когда r Е (0,1). Значит функция bk(r) (к = 1, 2,...) является невозрастающей функцией на [0,1]. Но bk(1) = 0, к = 1, 2,... Следовательно, для любого натурального числа k имеем bk(r) > 0, 0

Далее, так как ш(x) — неубывающая функция на [0,1), то

^[r-k — 1],

J_ши x-k-^{1 dx}> r

r r2j ш(x)xk-1

r²

dx ^ r^-2kш

(r)

_xk-1

dx

~Tr~(r —k — 1). k

Значит для любого натурального числа к и для любого r Е (0,1)

dk(r) > 0.

Теперь, записав формулу (8) в виде bk(r) = 1 — ^ JQ1 ш(r²x) x^{k 1}dx, имеем

A²bk (r) = bk (r) — 2bk+1(r) + bk+2(r) = ¹ —

—— I ш(r²x)x^k1dx — —-—

AkJ ^V ’ к + 1 о

+——— / ш(r²x)x^kdx + — / ш(r²x)x^k+1dx = —----Ak+1J       ’ к + 2   Ak+2 J ’          k(k + 1)(k + 2)

о0

— —[ ш(r²x)x^k-1dx + ——— [ ш(r²x)x^kdx ——-— [ ш(r²x)x^k^¹dx AkJ                  Ak+1 J ^v '        Ak+2 J ^v '

0                                00

=              7       / ш(r²x)x^k-111 — 2 ^k x + ^k x²! dx.

k(k + 1)(k + 2)   AkJ  ^v ’ I     Ak+1    Ak+2 J

о

Для любого x имеем (см. [2, с. 30–31])

Поскольку при w(x) G Qo, w(r²x), 0 < r < 1, 0 С x < 1, является возрастающей функцией от r, то из (12) и (13) получим неравенство

Л2bk(r) > Л2Ь/г(1) = —----[ w(x)xk-1dx кх          кх ’    k(k + 1)(k + 2)   Лк J v

Лк+1

У ш(x)x^kdx —

^Лк+2

/ ^^(x)xk+1^dx =

k(k + 1)(k + 2)

-

1    2

к⁺к

-

к + 2

= 0.

Итак, отсюда и из (10) при 0 < r < 1 получим

Ьк (r) > 0,   Л²Ьк (r) > 0, к = 1, 2, 3,...

Далее, из (9) имеем

Л²dk(r) = dk(r) - 2dk+i(r) + dk+2(r)

-

^Лк

2 V

Лк+1

+ 1

Лк+2

У w(x)x^-r

k-1_dx

j w(x)x- r

-r

r

2k j ш(x)xk-1dx r2

r k-2dx + r-2k-2 у ш(x)xkdx r2

У^{w(x)x к} 3^dx r

-

r r-2k-4 j w^1 dx r2

= Л;/"<^x)x-r

k-1

1-

Л1

2 \ '' " + Лк+1 ^x

^Лк

Лк+2 X² _

dx

-

r Лк

r

^2кI ш(х)х^к-1

r²

1-

₂Лк x Лк+i r²

+

Лк

x²

Лк+2 Г4 _

dx.

Но выражения, стоящие в подинтегральных квадратных скобках справа в (15), неот- рицательны в силу неравенства (13). w(x) G Qo не убывает на [0,1), из (15)

Поэтому, учитывая еще, что функция w(x) при получаем следующую оценку:

Л²dk(r) > w(r)-^ < Л_к

/^x-k-1[1 -² r

Лк 1 , Лк 11

Лк+i x ⁺ Лк+2 X²] dx

r

2к [_тк-1 |"l _ о ^{Лк x}_L ^Лкd-T

- r^-

J x    [1  2Лк+1 r2 + Лк+2 r4] dx r2

Стоящее в правой части этого неравенства выражение равно нулю. Это можно проверить непосредственным подсчетом. Из этого значения и из (11) при 0 < r < 1 получим dk(r) > 0,   Л2dk(r) > 0, к = 1,2,3,...

Из (4) и из (14), (16) заключаем, что при 0 < r < 1, ak(r) > 0, ^k(r) = A2ak(r) > 0,   k = 1, 2, 3,...

Неравенства (17) и (3) означают, что последовательность {ak(r)}^° неотрицательна и выпукла при 0 < r < 1.

Теперь докажем, что ak (r) ^ 0.

ak^(r)

^Ak

^^^^^^^^r

r j w(x)xk-1 dx + r-2kw(r)rk-1

+ ш(г)г^{k 1}

2k-1

2kr

^^^^^^^^r

1 Ak

r j w(x)xk-1dx + 2w(r)r-k-1

Так как w(x) — неубывающая функция на [0,1), то J^ w(x)x^k-1dx ^ ^(rk ^r .

Следовательно, ak(r) не возрастает. Это означает, что справедливость неравенства (1) вытекает из известной теоремы о неотрицательных тригонометрических рядах (см. [10, с. 100]). Этим и завершается доказательство леммы. >

Имея ввиду представление А_ш (z; Z), докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть ш(х) — неубывающая дифференцируемая функция из класса Qo-

Тогда

A(z; Z)| < exp <

(A| -1)/ ^ |ζ|

dx | A1 (z; Z)| •

<1 Из определения А_ш (z; Z) имеем

A (z; Z )1

I A1(z; Z )|

( 1 - z) e W ■toC) (1 - z) e-Wi(z;0

e-W^ (z;Z) e—Wi(z;0

= e|-W^ (z;0+Wi(z;<)|

<

exp

(A| -1)/ ^ |ζ|

dx . >

Отсюда, согласно В_ш(z; {ak}) = {{k А_ш(z; {ak}), получим следующую теорему.

Теорема 2. Пусть ш(х) — неубывающая дифференцируемая функция из класса Qo и последовательность {ak} удовлетворяет условию (Б-Дж). Тогда

1В_Ш(z; {ak})| < exp <

(Ai - О g/

|ak|

^(x)—¹dx > |B1(z; {ak})|, x

|В_Ш(ei^; {ak})| ^ exp <

(A1 - О g/

|ak |

W(x) - 1 , dx

x

0 < ^ < 2n.

Замечание 1. Из неравенства (19) следует, что

|B.(z; {ak})| < |B1(z; {ak})| ,   ^(x) € Qo.