Об одной переопределенной системе дифференциальных уравнений с сингулярной точкой

DOI:

Пусть D — прямоугольник D = { (х, у) : 0 <  х < 5 1 , 0 <  у < 5 2 } . Далее обозначим

Г = {у = 0, 0 <х< 5 1 } , Г = { х = 0, 0 <у< 5 2 } .

В области D рассмотрим систему

д2и	+ О 1 (х,у) ди г а дх	, Ых,у) г в	ди + с 1 ( х,у) и = ду    г а+в	. 1 ( х,у )
дхду				г & + в
д2и дх 2	0 2 (х, у) ди + r Y дх	с 2 ( х,у) r Y	= f 2 ( х,у )
			rY    ’
д2и ду2	Ь 2 (х,у) ди + г 5    ду	с з ( х,у) х и г 5	.Ы^у)
			г 5      ,

где г2 = х2 + у2, <^(х, у), bj(х, у), ск(х, у), fk(х,у),j = 1,2, к = 1,3 — заданные функции в области D, а < 1, в < 1, Y = 5 = 2.

Исследованию дифференциальных уравнений и переопределенных систем с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы [1–8].

Целью настоящей работы явилось получение представления многообразия решений системы уравнений (1) при помощи произвольных постоянных.

В рассматриваемой работе на основе способа, разработанного в [2] и [4] для системы уравнений (1), получены представления многообразия решений при помощи произвольных постоянных.

В дальнейшем под C 2 (D) понимаем класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в D и такие, что U _xy Е C (D).

Пусть a i (x,y) Е C^D), b i (x,y), C i (x,y) f i (x,y) Е C (D).

В этом случае уравнение системы (1) представим в следующем виде:

C у +

\ ox

bi(x,y)     d_ + re       dy

a i (x,y)

r ^a

)^u =

f i (x,y) + C 4 (x,y)u(x,y) ^ a + в

где

C 4 (x,y)

- C i ⁽ x^,y ⁾ + т ^{а+ в}( ^a 1 ^(x^^y) \ + a i ⁽ x^,y)b i ⁽ x^,y). ox \ r^a /

Введя новую неизвестную функцию

( x du Vx(x,y)=    + dy

a i (x,y)

r ^a

u,

сведем задачу к решению следующего дифференциального уравнения первого порядка

9V i , ^b i ^{( x,}y ⁾ _v = ^f i ^{( x,}y ⁾ + ^C 4 ^{( x,}y)u ^{( x,}y)                       (4)

dx      г ^в    1               _r ^a + ^e

Считая в уравнении (4) правую часть известной, находим V _i (x,y) [2]

^v i ^{( x,}y ⁾ =exp [ Щ^в (^y) ] f ^ i + W ^f1(t , ^{y) +} "^^y) exp [^ ⁽ t^,y ⁾ ] dt ^ , (5) 0         (t 2 + y ² ) 2

где w5 (x,y)= W1 ^1*^ dt. b1            0 (t2 + y2) 2

Теперь, решая уравнение (3), выражаем u(x, y) через V 1 (x,y)

u(x,y)=exp [ W“ (x,y) ] ^i(x) + J^yV i (x,s)exp [ W“ (x,s) ] ds) ,        (6)

где a            p . ^a i ^{( x},^{s )}

^w “ 1 ^{( x,y )}     0 (x 2 + s 2 ) a ^dt.

В (6), подставляя вместо V 1 (x, s) его значение из (5), получим

u(x, y) = exp [—waa1 (x, y)] | Ф1 (x) + J^ exp [^ (x, s) — Wbe1 (x, s)] x x f^i(y) + W f1(t,s)+^а^,s)exp [wbei(t,s)]dt^ ds\. (7) 0        (t2 + s2) 2

Обращая интегральное уравнение (7), имеем

и(х, у) = exp

[ - W(ж,у) ] |Р1 (ж,у) + JJ ds £ ^Г1 (ж, у; t,s ⁾ F i (t,s ⁾ dt^

= \ РФЛП. ^х(у),/х(х,у)), где

^F 1 ⁽ х^,У ⁾⁾ = Ф 1 ⁽ х) + J^ exp п;? ⁽ х,у) - W ^e 1 ⁽ х^,s⁾] х

X ^1 ^{( s )} + f^      ^{/ 1 ( t}’^{S )} a + e exP [ ^W b 1 ^{( t,S )} l ^dt ) ^dS,

0 (t 2 + s ² ) 2

Г 1 (х,у; t, s) — резольвента явно выписанного интегрального уравнения Вольтерра второго рода; Ф 1 (х),^(у) — произвольная функции точек Г 1 и Г ₂ .

Пусть во втором уравнении системы (1) а ₂ (х,у) G 0 1 (D), с ₂ (х, у), / ₂ (х, у) G С(D) и выполнено условие

С 4 (х,у) = - С 2 (х,у) + Г²    ( ^а 2 ^(Х , ^У) '\ .                        (9)

дх \   Г2   /

Тогда второе уравнение системы (1) представим в виде

д (ди + а ₂ (х,у) \ = дх дх      г ²    у

/ 2 (х,у) + С 5 (х,у)и(х,у) Г ²

В равенстве (10), введя новую неизвестную функцию У2(х,у) по формуле ди   а2(х,у)

+--2 и = v2(х,у),(11)

дх г ²

сведем задачу к решению следующего дифференциального уравнения первого порядка ду^ = /2(х,у) + С5(х,у)и(х,у) дх

Считая в уравнении (12) правую часть известной, находим х , ( х , Гx/2(t,y) + с5(t,у)и(t, у)

У2(х,у)= ^2(у)+ 0 -------t2+y2

где ^ ₂ (у) — произвольная функция точек Г ₂ .

Теперь уравнение (11) представим в виде

д                         а2(0,0)    , х дх |exP W(l2(х, У) + —у---arctg уJ и(х, У) j =

= И > ⁽ х, у) exp ^W 2 ⁽ х, у) + ^а 2 ^{(0 , 0)}

L ²                 у

х . .

arctg- , (14)

где

-^v 2 ^{( х,}у) = £

« 2^ , у) - <2 2 (0, 0) t ² + у ²

dt.

Потребовав выполнение условия

8(2*2УУ1"\ = ^Г^) в d,

Ух У г^а / ду \ г²   )

а также продифференцировав равенство (14), после некоторых упрощений получим выражение v1(x) + а2(Х’0) Ф1(х) = exp [W" (х, у)] X х (Ф1(у) +£       ■■        ^ - ^ £ exp [w« (х, S) - w» (x,s)] X

X ( W + w ' ^№’Х ^’X^ exp №(«,s) ^] dt ) ds - ⁰         (t ² + s ² ) 2

^- tL w ^ ^ex P [ ^W“1 ^{( x}’^{s ) - w ( x} ’ ^{s )} ] ^X Ox ^0 L                         J

^X f ^ 1 ^{( s )} + w ^ ’^S) ⁺ ^ ’ g^^ ’^{S ) ex} P [ ^{W ( t} ’ ^{S )} ] ^dt ) ^dS. ^^ У            ^J0         ( t² + s² ) 2               ^{L           J} /

Из условия независимости левой части равенства (16) от у получим д Г Гыла/ А1Л / А , Г f2(t’У)+ C5(t’У)M(t’У) ^ 1 ду |exp [w«,(х’ у)1 1-. . ■ Jo --------t2TP--------dt) / -

- dx { exp [ ^W «“ 1 ⁽ Х’у) ^{- w}t, ⁽ Х’у) ] ^X

X (*1(у) + w' AMf^M^M exp [Wj, (t, у)] dt)} = у           J0        (t2 + s2) 2               L           J / J а2(Х’ 0) exp [w„a1 (Х’ у) - we, (Х’ у)]

Л /        С ^{- f} 1 ^{( t,}У ⁾ + ^C4 ^{( t,}У)^⁽t^,У)      ^[и/ва а ^]

^ 1 ⁽ у)+                  a + e----- ^ex p К, ^{( t,}У ^{) dt} .

⁰         (t ² + у ² ) 2

Преобразуя последнее слагаемое равенство (17), для определения ф ₁ (х) получим следующее интегро-дифференциальное уравнение

Й 2 ^{( х}’ ⁰⁾    , .         , . С^{- f} 2 ^{( t}’ ⁰⁾ + ^C 5 ^{( t}’ ⁰⁾ ^ 1 ^{( t )}

Ф 1 (х) +--х2— Ф 1 (х) = ^ 2 (0) + J_o ----------12----------dt.

Для определения ^1 (у), выполнив операцию дифференцирования в равенстве (17), после упрощения приходим в D к равенству а+в (     ( А । Р М + ^(МЫМ) Л га+ва1(х/у) ( ^2(3/) + J0 ---------12 + y2---------dt I + ^2(-у)га+ +

+ ^ W) ^ 2 ^{( t}2yl2t_ _ +LlM^t2yldt = г ^{а +2} (г ² a 2 (x,y) - г ^e b i (x,y)exp [ - W^ (x,y) ] х

V, I х , С " f 2 ^{( t},y ⁾+ C5 ^{( t},y ⁾ U ^{( t},y ⁾

Х ^ (y) + Jo -----2А '-----p у          J0        (t2 + y2) 2

[ < ^{( t}, y) ] ^dt^ +r^a(fi(^x, y ^{)+ c} 4 ^{( x-} y^)u(x, y)).

Теперь при выполнении условий b ₂ (x,y) G C y (D) c ₃ (x,y)- f ₃ (x,y) G C(D) третье уравнение системы (1) представимо в виде

9 du ^b 2 ^{( x,}y⁾ \     ^f 3 ^{( x},y) + ^c 6 ^{( x,}y)u ^{( x,}y)

ay U ⁺ ^5^^u) =------- Г2-------- ⁽²⁰⁾

где c6(x- y) = -c3(x- y)+ г2 dy ^ b2(x2-yl^ .

Вводя новую неизвестную функцию по формуле du . b2(x-y)

Va(x-y) = dy tг2—u-(21)

сведем задачу к решению следующего дифференциального уравнения первого порядка dPa = f3(x-y) + C6(x-y)u(x-y) dyг

Считая в уравнении (22) правую часть известной, находим

D ^f 3 ^(x ₁ S ^{)+ C} 6 ^{( x-}S ^{) u ( x-}S ⁾

Va(x-y) = V2(x) +    --------x2 + ^2--------ds.(23)

Теперь уравнение (21) представим в виде dy {exP [^ь2 (x-y)

₊ b 2 (0- 0) x

arctg ^y] u(x, y) { =

= exp W2 (x-y) + b2(0- 0) arctg y V3(x,y), (24) 2            xx где

W 2 ₂ (x-y) = w ^ ^b 2 ^{( x}-^{S )} - ^b 2 ⁽⁰ - ⁰⁾

x ² + s ²

ds.

В равенстве (24) вместо u(x,y) и V ₃ (x,y), подставляя их значения соответственно из (7) и (23) и затем выполняя операцию дифференцирования, после упрощения получим выражение:

exp [ - «(x,/) ] (* i (y) + W " '       ^’^“^ exp [iv£(t,y) l dt) =

0         (t 2 + / 2 ) 2

= ^(x) + f " MM±MAAA d._s (25) a 0           x ² ± S ²

при T ^a b ₂ (x,y) = T²a 1 (x,y) в D.

Дифференцируя равенство (18), получим a2(0,0)          A(x)           /2(x, 0)

Vi(x) ±--2—Ф1(х) ±--MVi(x) =----—,

22 х>                        x>x> где

A(x) = a 2 (x, 0)x ² — 2xa ₂ (0, 0) — x ² c 5 (x, 0).

Пусть A(x) = 0, тогда имеем

Ф1‘(x)± AM»1(x) = AM.

x2

Решение уравнения (27) запишем в виде

ж

V i ^{( x )} = ^c i J0

exp [ - «< 2 2 (t, 0) ± a 2 (0,0)w i (t) ] dt ± £ exp —W 2 2 (t, 0) ± a 2 (0, G)W i (t) ]

x

x

"* / 2 (t 1 , 0)

0      1²

exp [ W 2 ₂ (t i , 0) - a 2 (0, 0) W i (t i ) ] dt i^ dt ± C 2

где

wt(x,0)= w1 a2X0L-AMdt, «1(x) = 1, 2          Jo           t2

c 1 ,c ₂ — произвольные постоянные.

В равенстве (25) при x м 0, переходя к пределу, определим ^ 1 (у) в виде

^1(У) = Фо(0) ± W^ /з(0, S) ds а 0

при T ^a b ₂ (x,y) = T ² a 1 (x,y).

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовле- творяют следующим условиям:

1) ^a j ^{( x,}y) g C Ж^{1 ( D ) , a} 2 ^{( x,}y ^{) ,b} 2 ⁽ x_^,y ⁾ e C _г 1 (D ^{) ,} b i (x,y)c _k (x,y), / _k (x,y) GC (D), к = 1, 3;

2) c 4 (x,y)

^c 5 ^{( x,}y)

c e (x,y)

• - c i (x,y)± T^ d.^¹^

  ± a i (x,y)b i (x,y),

  
  

• - c 2 (x,y)± T 2 A ( AM ) , x \ I

, S .   ₂^d / ^b 2 ^{( x,}y) ⁾

• ^{- c 3 (} x,^y)± dj .

• 3)    | о ₂ (х, 0) — а ₂ (0, 0) | <  Н 1 х^У1, Н 1 = const , Y 1 > 1;

• 4)    а 2 (0,0) < 0;

• 5)    О 1 (х,у) и с 2 (х,у), / 1 (х,у) и / 2 (х, у) / 1 (х,у) и / з (х,у) соответственно удовлетворяют условиям совместности (15), (19), (25);

• 6)    / 2 (х,0) = о(х^х 1 ),А 1 > 1,

  / з (х,0) = о(х ^А 2 ),Л 2 > 1.

Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C 2 (D) представимо в виде (8), (28), (29).

При этом

/ 1 (0, 0)    / 2 (0, 0)    / з (0, 0)

U(0, 0) = С2 =         =         =       -, v v 2     С1(0,0)     С2(0,0)     Сз(0,0)’ limAim ж^0 (у^0 дх J

= lim ф ‘ 1 (х) = 0.

ж ^ 0

Замечание 1. В частности, если коэффициенты первого, второго и третьего уравнения системы (1) соответственно удовлетворяют условиям с ₄ (х, у) = = 0,с ₅ (х,у) = 0,с ₆ (х,у) = 0 и всем условиям теоремы 1, кроме условия 4, тогда решение названной системы дается явной формулой при помощи одной произвольной постоянной.

Замечание 2. Пусть о ₂ (х, у) G C, 1 (D), с ₂ (х, у), / ₂ (х, у) Е С (D) и второе уравнение системы (1) является исходным, тогда решение названной системы найдено при помощи резольвенты одномерного интегрального уравнения Вольтерра со слабой особенностью.

Замечание 3. Пусть Ь ₂ (х, у) G С у (Л), с ₃ (х, у),/ ₃ (х, у) G С( D) и третье уравнение системы (1) является главным, тогда для названной системы получены решения, подобные замечанию 2.

Автор выражает глубокую благодарность академику АН Республики Таджикистан Н.Р. Раджабову за обсуждение настоящей работы и ценные советы.