Об одной переопределенной системе дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой

Пусть D — прямоугольник D = {(х, у) : 0 < х < 51, 0 < у < 52}. Далее обозна- чим

Г 1 = {у = 0, 0 <  х < 5 1 } , Г 2 = {х = 0, 0 < у <  5 2 }.

В области D рассмотрим систему

' д²и ₊ а 1 (х,у) ди ₊ Мх,у) ди ₊ С 1 (х, у) _и = / 1 (х,у) дхду г ^а дх     г ³ ду    г ^а+3        г ^а+3

' д ² и + Q 2 (х, у) ди + С 2 (х,у) = / 2 (х,у) дх ²         г "! дх г "!            г" !    ¹

где г ² = х ² + у ² , а , (х,у), Ь 1 (х, у), с ^ (х,у), j = 1,2, — заданные функции области D, а = 3 = 7 = 1.

Проблеме исследования дифференциальных уравнений и переопределенных систем с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы [1–8].

Целью настоящей работы явилось получение представления многообразия решений уравнений (1) при помощи произвольной функции и произвольной постоянной.

В настоящей работе на основе способа, разработанного в [4; 5], получено представление многообразия решений системы уравнений (1).

В дальнейшем обозначим C ₂ (D) — класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в D и такие, что

^Е C (D). dxdy

Пусть a i (x,y) G C. 1 (D), 6 1 (x,y), C i (x,y), f i (x,y) G C (D).

В этом случае первое уравнение системы (1) представим в виде где

( ^д + М^Ж,У) \ ( ^d + a i ^{( x,}yP t ^ = \dx г ) \ду г )

f 1 (x,^ + C i (x,y)u

г ²

,

С з (x,y) = - C i (x,y) + г ² -^ f ^a 1 ^{( x,y}^ \ + Q i (x,y)6 i (x,y). dx \ г /

Введя новую неизвестную функцию

,1(x,y) = d^ + a1(xiy> U, ду г при c3(x,у) = 0, сведем задачу к решению дифференциального уравнения порядка

первого

9u i + 6 i (x, y) ^ = f i (x,y) dx г           г ²

Решение уравнения (4), согласно [4], запишем в виде

.

где

X

■Mx,y) = ХМ)

" f i (t,y) t ² + y ²

-

Ы0 , 0)

^ex P [ - 4 1 ^{( x}, y)] ^X

( t +,■•( '       nmi*

I ------- у ------- I exp |w_b1 ^{( t}, y)\ ^dt

,

wU^x,y) = /

•" Mt, у) - ыо,0)

V t ² + у ²

dt.

Теперь, решая уравнение (3), выражаем u(x, у) через ^,d ₁ (x,y)

^{x у}м)

-

« 1 (0 , 0)

^ex P [ ^x « ^{( x}, У)] ^X

^X |^ i ^{( x )} + ^ Nx^{s ) ex} P [^ 1 i ^{( x},^{s )} ] ^“ ⁺^ ^x“^^

,

где

Г- «^ - “,(0,0) ^аЛ              -/х

В (6) вместо $ 1 (x,s), подставляя его значение из (5), получим

^{и ( х,}у) = exp [^-^ ^{( х,}у)] (^у+г^

^ 1 (0,0)

X

г м fу [ 1 г х r <\ (s + ^х2 + s2 \ 1( ’ ) (х + ^х2 + s2 \ 1( ’ ) х{^1(х)+у^ exp Hi(x,s) -шь1(х,^ I —s—) I—s—) X г xfi(t,s) ft+vt2+s2 \M0,0)

^X    ^ i ^{( s )} +/ 4     2                         ^ех р х _г; ^{( t,s)}]^{dt ds }} =

0 ^t +^s \ ^s

= M i ⁽ ^ 1 ^{( х ) ,}д 1 ⁽ у ^{) ,}У’ 1 ^{( х,}у ⁾⁾ .

Пусть во втором уравнении системы а ₂ (х, у) Е C 1 (D), с ₂ (х,у), f ₂ (x,y) Е С(D) и выполнено условие

С 4 (х,у) = -С 2 (х,у) + г^- f ° ^{2 ( х,у )} ^ .

ох у г /

Тогда второе уравнение системы представим в виде д (ди + а2(х,у) \ = дх дх г

f 2 (x,y) + С 4 (х,у)п(х,у)

.

г

Введя новую неизвестную функцию

^х,у) = £ + “^и, дх г

при с ₄ (х, у) = 0 сведем задачу к решению следующего дифференциального уравнения первого порядка

9^ 2     f 2 (x,y)

Эх

Из уравнения (10) находим $ ₂ (х, у)

г

.

где

^ « i ^{( x,}y) = / 0

^{X a} 2 ^{(t, y) -} 0 2 (0, 0)

V t ² + у ²

dt.

Потребовав выполнение условия

9 / M^j/H = ^d / -y.^yA в _D

9x у r / 9y у r /        ,

а также продифференцировав равенство (12), после некоторых упрощений получим выражение

^ 1 ^{( x )} +

^^^

i(x) = exp [ш- (x, y)] f ^У+-) x                            x

X

(.2(y) + /¹ ^\ - ^ [* exp_K(x,s) -у        J 0 t/+ + У / ^x0®

-Ш11^(x,^s)]

/s + ' . sy^,№0)/x + vx2+^y^W010)

X

• ж

X

/1^(t,s) Vt?+12

^ t + Vt² + s²

Ь1(0,0)

exp Сш^ (t, s)] dt

ds —

9 /^ _{r x           г}        i'- + Vx²+ s² \ ( ’ ) (x + Vx² + s² \

^-ax /₀^exp I"-, ^(x-^{s) - ш}‘- ^(x',^sx—x—)    (—s—;

f */i(t,s) ft + ^Vt2TX2V⁽”'”'

^x^i^(s)+    -^   2                      exp M,^(t,s)]^{dt ds}.

0 ^{t + s} у ^s

Из условия независимости левой части (14) от у, получим

^д j. x и . (^) (■) ^(^y)± ^ ^Ц)}^—

^Ж ^{exP К (^Ж',У)

—

/у + т-Х ^а1(0°     + _Г\ ^-Ь1⁽⁰’⁰⁾1

^ж,у) (^  (^ I^х

М^у) /^t + V^t2+ у² А 1( ’) _Г1

X I тШ ⁺ / _t, _y I ----y---- I ^expК Ml^dtI ^}=

^exp _K(ж,у) — 4 (..y)](y±Lp ⁽Ж±Г^

X

( м x    [ж A(t, y) (t ± Vt2 ± у2 А 1( а [ I rX] Л х I ^i(y) ± Jo tp±y^ I-----y-----I     exP К(t,yn dt I.

Преобразуя последнее слагаемое равенство (14), согласно (15), для определения ^1(ж) получим следующее дифференциальное уравнение

^i⁽Ж^{) +}«^2(ж, ⁰⁾ ^1⁽ж⁾= ^F (ж), ж

где

F (ж)= ^2(0)+ Г ^f2(t^dt. ° ^t

Решение уравнения (16), согласно [4], запишем в виде

^i⁽x) = exp   .,;2 ⁽x, 0)] ж

-

а2(°,°)_х

X (ci + I Fi(t)t^a2^(0,0)exp [.a2(t, 0)] dt^ = Ni(ci,f2($, 0)),

где

.а, (ж, 0)= Г «^ °

—

t

«2(0,0)_dt,

ci — произвольная постоянная.

В равенстве (15), выполняя операции дифференцирования, получим га1(ж,у) ^Ы +

/2(t,y)dt

Vt² + у²

2 х 2 д Г /2(t,y) , + г2^' (у) + r2—           ’ dt = ду о Vt2 + у2

= ^г(а2^(ж,у) - ^Ь1^(ж,у⁾⁾бхр [-ш11^(ж,у)] (^ж+^Г)

Ьх(о,о)

X (19)

(ж

^1⁽у) + / 0

^/1^(t,У⁾ t²+ у²

(t+v^V ^{(0,0)   [}    .

I -------у------- I exp ж, ^(t, у)] d^t I + Д (ж, у).

В равенстве (20), переходя к пределу при ж ^ 0, определим ■ф1(у) в виде

^х(у) =

У

^а2^(0,у) - ЬМу)

.Шу) , ^о1^(0,у)

----2-- + -------^2⁽у) + ^2 ⁽у) у²         у

= Я2(^2(у),/1(0,у))(а2(0,у) = bi(0,y)), где ^2(у) — произвольная функция одной независимой переменной у.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям:

• 1)    О1 ^(ж,у), О2^(ж,у) G C^D),    _

^Ь1^(ж,у), с,^(ж,у), ^/_j^(ж,у) ^{G C(D)}, j = 1, 2;

• ^{2)    с}1^(ж,у) = ^r2др f°^1(ж,у)^ + а^у^^у),

С2(ж,у)= rA) ; ж \ Г 1

• 3)    а1 (ж,у) и а₂(ж,у), /1(ж,у) и /₂(ж,у) соответственно удовлетворяют условиям совместности (13) и (19);

• 4)    | а1 (ж, у) — а1 (0, 0) | < H1r“1, Н1 = const,

  о < а1< 1,

  
  

  о< 31 < 1,

  
  

  о < 71 < 1;

  
  

| Ь1 (ж, у) — Ь1(0,0) | < H₂r^/31, Н₂= const,

| а₂(ж, 0) — а₂(0, 0) | < Н3ж⁷¹, Н3 = const,

• 5)    а1 (0, 0) < 0, Ь1(0, 0) > 0, а₂(0, 0) > —1;

  -

  
  

  6) ^/1^(ж,у⁾= ^о

  
  

  Ь1 (о,о)

  ^rT2\ ,72 > 1,

  
  

  /2(ж, 0) = о (ж¹¹), ^ > 0.

Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C₂(D) представимо в виде (7), (18), (20).

При этом lim и(х,у) = ^ (ж),

У>0

lim ж>0

( lim и(ж, у) \ У>0

^ = О (ж

-«2(0,0)

,

lim и(ж, у) = О ( ( ж >0                    \

у + г

ж

)-«2(0,0)^ ,

lim ж >0

/ж«2^(0,0)lim и(ж,у) 1 у>0

= ^с1,

^ж,«₂^(и)|ж=0    ^ж,«2 ^(и)|ж=0

/du  (^(^у) V

= (& ⁺      “J |ж=⁰=

При помощи полученного интегрального представления в явном виде находится решение следующей начально-краевой задачи.

Задача А1. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C2(D), удовлетворяющее следующим условиям lim ж >0

Iж«^2(0,0)lim и(ж, у) f у>0

= mi,

^,«2^(и)|ж=0 = У1⁽у), где т1 — заданная известная постоянная, д1(у) — заданная функция точек контура Г2.

О разрешимости задачи А1 получено следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты и правые части системы уравнений (1) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. В задаче А1 д1(у) G C(Г₂). Тогда задача А1 имеет единственное решение, которое дается при помощи формул (8), (19), (21) при Ci = mi, ^2(у) = д1(у).

Замечание 1. Представление многообразия решений системы уравнений (1) получено в явном виде, когда первое уравнение системы является главным и коэффициенты уравнения системы связаны.

Замечание 2. Когда коэффициенты уравнений системы (1) не связаны, представление многообразия решений названной системы получено при помощи резольвенты двухмерного интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью.

Замечание 3. Система уравнений (1) также исследована в случае, когда второе уравнение системы (1) является главным, при выполнении условий а₂(ж,у) G ^{G с}ж^(D), ^с2^(ж,у), /2^(ж,у) ^{G C(D)}.

Автор выражает глубокую благодарность академику АН Республики Таджикистан Н.Р. Раджабову за обсуждение настоящей работы и ценные советы.