Об одной плоской задаче теории теплопроводности со смешанными граничными условиями

В начальный момент времени t = 0 температуру пластинки будем считать равной нулю. Кроме того, пусть функции, определяющие температурное поле в заданной области D при t —> 0, суть гладкие функции от x,y,t, и пусть при достаточно больших ж выполняются условия lim ^3Д,у,^=о

а > 1,

lim д₃Д,уД=о

а > 1, 3 = 1,2.

Решим задачу определения температурного поля в любой момент времени для данного случая.

Известно, что нестационарное температурное поле при отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности Фурье:

Э²Т Э²Т _ 1 ЭТ Эх² Эу² и dt

Поэтому нам требуется найти решение уравнения (3) при граничных условиях (1) и нулевых начальных условиях.

Применяя стандартное преобразование Фурье по координате ж от — оо до +оо и преобразование по времени t от 0 до +оо, учитывая условия на бесконечности, а

также начальное условие ^(ж, г/, £) |   = 0, получим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

d²T^a, у, ш) dy²

^Tta, у, ш),

где v² = ^ — a², a = «1 + га^.

В рассматриваемом случае

Т(а, у, ш) = Т_ + Т+,

ОО ОО Т^^Пт^-е-- -ОО О

{ О ОО                                  ОО ОО

/ / T(x,y,ty-Mte"ia:E dxdt+T(x,y,t)e-Mte"iax dxdt

-ос о                        оо

Очевидно, что

T--rJ 1т№--*е-.--^,.,

-ОО О

ОО ОО

^//^)е-<^^^^ о о

Введем следующие обозначения:

„ ЭТДсцу^ 1 Г рТ^у^ .

"         ду         2я J ]     ду    ''

-оо 0

+        Эу        2л J J     ду    11

о о

Решение уравнения (4) запишем в виде

Т = Т_ +Т+ = Ае^ +136™.(8)

Теперь перейдем к преобразованию граничных условий (1):

ОО ООоо оо у2(а,ш) = — cos pxe"iaxe"Mt dxdt = —     -------e-iaxe-Mt d^dt

° °° °

_ 1 7 e"d“-9Y^ +e-i(3+«V   _ x i ra+ ^ + aa

2% j           2                 2% iw i(a² —/З²) яш(а² — р²У

о

ОО ОО                                    ОО ОО iff                  Л Г Г — Р-Ох h^B^ = — sinpxe-ia$e-Mt dxdt =             ----e"iaxe"Mt dxdt oo                 oo

OO

I r, ₅-d«-sA_ -i(M«)^i _{dx =} J_ 2я2ш / ^{1                       J} 4тгш

1 Г 1                1

___ ______ — ______

/лее z(a — /3) pa + /3)

/i(«,w) =

dT(a,y,6) Эу

e-i

• —pa — /3) pa + /3)

1 px \ p— px P 4idw a² — P²

_ 1 1

"

• 1    P .

2тг/ш a2 — /32 ’

— I I exe-roxe"Mt dxdt,

-oo 0

OO

gM*_=b =0. ж<0

Подставляя преобразованные граничные условия (9) в решение (8), получим следующую систему:

Т- (5) +           = Ае"^ + Ве^,

Т-ЬЬИ^= Ае^вВе"^,            ( х

2ягш а2 — /З2                                    (Ю)

——у— + Т1(6) = -уАе"^ + г/Ве^, 2ягш(1 — га)

Т₊(-6) + 0 = -уАе^ + yBe"^Tlb.

Система (10) состоит из четырех уравнений с шестью неизвестными функциями Т_ (6), Т_^ — ЬР Тр^ЬР Тр^—bp А, В. Введем обозначения:

т_(б)+ т_(-б) = s_, тр^ +тр(-ь) = sp, T_(b)+T_(-b) = D_, TP(b)-TP(-b) = Dp.

(И)

Тогда la 1/3

= ^АВ ВРе^ Ве-^р,

2яш а² — Р² 2лгш а² — Р²

д +

2я/(1 — /а)ш

У^В -

1а

" ⁺ 2лш а² - /З²

1 Р

2лш а¹ — /З²

АРе^ Ае-^Р

= (В-АРе^ -е-^Р

DP + ₉ . _П^Х . . = У^А + ВРе^^ь - е"^). 2тггси^1 — га)

Перепишем равенства (12) следующим образом:

£^_+2Т7кГ2тд^^

_e^b _{+ e}-T]b

П' I__1______

+ ' 2тггш (1 — га) ^ _ет]Ь _ _е-т]Ь

Q' _|__¹

' 2тгг(1 — гори? ^ т,^ + е"^)

О' + q—гА—^2t(q + г8^ —    2тга;(а2 — pz) v g^b _ е-т]Ь

Приравнивая левые части (13) и (14), (15) и (16), так как их правые части равны соответственно, получим систему уравнений Винера — Хопфа, куда, как обычно, входят неизвестные функции с отрицательными и положительными индексами:

S- + , Т’^^ 2 L(e"b - =-Ь) =

о; + 9 .      . J pb + e-^bp (17) 2,K%u)\V — га)

^ + о V1 ¹ • d ^^ь-е"^=\в_ +  ” / З^"^  (18)

2тгг(1 — га)ш \                [ 2тггш(а² — p^z)

В системе функциональных уравнений Винера — Хопфа (17) и (18) функции S_ и В_ являются регулярными функциями в правой полуполосе, а функции S^ и В'^

регулярны в левой полуполосе. Основной трудностью решения этой системы является факторизация, т. е. расщепление известной функции на две части, которые были бы регулярны в правой и левой полуполосах соответственно.

Перепишем систему функциональных уравнений в следующем виде:

,, , Г аг + /3 r/th pb S_ +   .    ---—-

2iuco^az — pz)

Ц +

2тггш(1 — га)

2тггш(1 — га)

В_ +

ai — р 2ттгш(а² — /З²)

7/Cth 7/6.

Выразим факторизации cth 7/6 и th 7/6 через функции Эйлера:

^cth?/6 = К₊^К_ (т/) =

Г(1 - 1^)Г(1 +

Г(1 - х 2        tv ' х 2        tv

Расщепляя выражение (20) на две части таким образом, чтобы одна из них была регулярна в правой полуполосе, а вторая — в левой. Такими частями являются две функции

Г(1-^)         Г(1 + ^)

к +(7/) =  --^  К_^ = —_л--(21)

1 (2 -   )             1 (2 + ”)

Аналогичным образом получаем расщепления

-(7/6th?/6) = а_(т/)а+(т/), где

р/1 I inb \ а_(ц) = —---Л—,

Г(1 + ^)

«+W =

1 гт]Ь

2 ~ ~

iqb

Далее, учитывая соотношения (21) и (22), функциональные уравнения (19) можем записать в виде

B(j +

Г(1 + ^

S_(r/) +

m^P Г(1 ₊ ^)

2тггш(а2 — /З2) Г(1 + —)

рд — iZZ^j          рД — iZZ^)

D+r(P^ + ^T^jnf^)'

рд _ Ы1к

TV 1    iqb

^2   тг

= D_

р ( Ц iqb ) Г(1 + ^) ⁺

а     г/1 i i^b \ аг-3   Г*2 ' дН

2лгш^а² — /З²) Г(1 + —)

В уравнении (23) функция _г("₊Д

регулярна и не имеет нулей в правой полуполосе.

Легко видеть, что (1 — ш) ^ 0 при Ra > 0, так как а — комплексный параметр (а = ai +гаг) и а = —г не является корнем знаменателя для соответствующего выражения. Г(1-^)

О при а —> оо. Кроме того, а —

Отсюда можно заключить, что --------—р-:—777т— —>

2тггш (1 —га)Г( ^ )

/З²3 0, так как в противном случае выполнилось бы соотношение а = ±/3, но /3

является вещественным, а a — комплексным и при «2 7^ 0 а не будет равняться /3.

Следовательно, при a —> оо о. + // ГЦ + 1?)

2тггш(а2 — /З2) Г(1 + —)

-Д 0.

Перепишем функциональное уравнение (23) в виде р/1 , vqb_\            р/т _ iqb 7

SUA2 ‘ тг /__¹ ' ¹ тг '

Г(1 + ^)  2тггШ(1-га)Г(^-^)

т-1/1 iqb \                 • , п т-|/ 1 iqb \

+ p(i_ iqb^ 2тггш(а² —/З²) Г(1 + —)

В уравнении (25) левая часть регулярна и не имеет нулей в левой полуполосе, а в правой полуполосе она обращается в нуль при a —> оо. Правая же часть уравнения (25) регулярна и не имеет нулей в правой полуполосе, а в левой обращается в нуль при a —> оо. Введем регулярную в полосе функцию J(a):

S_ (г?)   ²         __________

-^^Г(1 + ^)  2тГгШ(1-га)Г(1-^)

т-1/1 iqb \                 • I П т-1/ 1 iqb \ р/ г(! -          т +     Г<2 + ^-)

+ p(l_lZZ^j 2тггш(а2 —/З2) Г(1 + —)

Эта функция регулярна на всей полосе, а функции S_ и D'^ являются регулярными соответственно в правой и левой полуполосах, кроме того, S_ = 0 в правой полуполосе, a D'^ = 0 в левой полуполосе.

Учитывая сказанное выше и используя теорему Лиувилля о том, что любая ограниченная функция, аналитическая (регулярная) при всех конечных значениях аргумента, есть постоянная будем иметь: J(a) = 0.

Таким образом из уравнения (25) получаем следующие соотношения:

cth 7/6

2тггш(1 — ia^ ’

_|Z     (ai + /Зф/th rjb

+ 2тггш(а2 — /32)

Вернемся теперь к решению функционального уравнения (24). Повторяя рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным для уравнения (23), получим:

щ =

(аг + /3)

2тггш(а2 — /З2)

т/cth pb,

D = th 7/Ь т/2тггш(1 — га)

Используя найденные значения S_, D'₊, S'₊ и D_ найдем произвольные постоянные А и В.

Для этого используем соотношения (13)-(16).

Тогда будем иметь:

cth т^Ь__. аг-УЗ 2тгга;(1 —га)т7 ~ 2'кгш^а² — З²)

е^ь + е"^

= А + В,

2тгга1(а² — З²) '

2тгг(1 — го-)ш

т)^ + е"⁷?⁶)

= В

^^^^^^^™

А

th т)Ь__। 772тгга; (1 — га)

аг — З

2ттгш(а2 — З2)

е^Ь _ е~лЬ

= В

^^^^^^^™

А,

(аг-УЗ)л^ ЛЬ ■ 2iriw(a² — З²)

2тгго;(1 —га)

//(е⁷?⁶ - е"^^

= л+ в,

Легко видеть,что в выражениях (31) первое и четвертое, второе и третье соотношения являются тождествами. Поэтому для определения произвольных постоянных достаточно выбрать из них.

Из первых двух уравнений (31) будем иметь

2В =

2А =

cth 77b 1__ai-vp ' 2ттга;(а2 — З2) 1 ' 2ттш( 1 2т;гш (1 — га)т7 1  27ггш(а2-32' Д-ia) е^ + е""6 + е"7’6) cth 77b ।__аг + З ' 2ттга;(а2 — З2) Ai-P1) . 1 2тгш( 1 2тгга;(1 —га)?7 2ттга;(а2 —З2^ 1-ia) е^ь + e.-'ib + e-’ib) а из последних двух уравнений (31) получим

2В =

th гр__,      аг — 3

'П2,кгш^1 — га^    2-кгира2 — З2)

с¹!¹¹ - е"

+

77th т]Ь(аг-УЗ) .__1

2тгго; (а² — З²) 2тггш (1 — га)

e^ - е"

(аг+^)т/1Ь тр .__1______

2^-кгш(а² — З²) 2ттга;(1 — га)

th гр । аг — 3 т]2тггш(1 — га)    2ттгш(а² — З²)

еД> _ e-T]b

Отсюда

1         ( е"^ ^ate"^ - /Зе”⁶)

у2лгш^е^2т1^ь — е^-2^⁶) ( 1 — га       а² — З²

1       ( е^   уЗДе^ - Зе"р

2л11]ш^е^2т1Ь — е^-2??ь) ( 1 — га        а² — З²

Подставляя найденные значения А и В в решения уравнения (4), получим

1 j'chy(6 —у) ₎ iashr)(b + y) ₎ /3shy(6 — у) 2утггш₈Н 2уЬ (  1 - га ⁺ а² - З^{2 +} а² - З²

Выполняя обратное преобразование Фурье для выражения (32), получим искомое решение уравнения (3):

ОО ОО

T(x,y,t) = ^- J I Т(а,у,ш)егажегшЬ dadt,

-ОО О

ОО ОО

Л_жуП ₌ ± [ [___1___fchy(6-y) ’ ’ 2л J J 2i]Kiwsh 2yb ( 1 — га

-ос О yoshy^y^ /3shy(6-y)) га

'         о                           о               ।                UjCxUjUJ .

а2- — pz        az — р2-  )