Об одной полулинейной математической модели соболевского типа высокого порядка

Полулинейные математические модели Соболевского типа, часто возникающие в приложениях, представимы в виде

u ⁽ n )(0) = uk, k = 0 , 1 ,...,n - 1 ,                               (1)

Lu ⁽ n ) = Mu + N ( u ) ,                                (2)

где операторы L, M E L (U; F) , N G C^ (U; F), U, F- банаховы пространства.

Данная статья является продолжением работы [1], в которой рассмотрен случай n = 2.

В зависимости от вида оператора L уравнение может быть как регулярным, так и сингулярным, второй случай более интересен для нас. Он возникает, в частности, когда, ядро оператора L нетривиально. Такие уравнения принято называть уравнениями Соболевского типа. Математические модели на. их основе будем называть математическими моделями Соболевского типа.

Как известно, задача. Коши для уравнения Соболевского типа, не разрешима, при произвольных начальных данных. На наш взгляд, наиболее плодотворным (если считать уже имеющиеся приложения) подходом к изучению таких уравнений является метод фазового пространства, основы которого были заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [2] при изучении полулинейного уравнения Соболевского типа первого порядка. Сутв этого метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к регулярному, определенному, однако, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, содержащем допустимые начальные значения, понимаемом как фазовое пространство исходного уравнения.

Нашей целью является распространение идей данного метода на случай полулинейного уравнения Соболевского типа высокого порядка. При исследовании мы существенно опираемся на теорию неполных линейных уравнений Соболевского типа высокого порядка с ( L,p )-ограниченным оператором M [3]. Теория относительно ограниченных операторов нашла свое продолжение в теории относительно радиальных операторов в применении к разрешимости полулинейных уравнений Соболевского типа [4]. Кроме того, данная теория применяется к исследованию задач оптимального управления [5]. В статье мы также опираемся на теорию дифференцируемых многообразий [6].

1.    (L,p)-ограниченные операторы

Пусть U, F — банаховы простуынства. операторы L, M Е L (U; F) .

Определение 1. Множество pL (M) = {р Е C : (pL - M) -1 Е L(F; U)} называется L-рсзолъвсптпым лшожсстпоом оператора M. Mnooiссство C\pL(M) = ctl(M) называется L-спсктром оператора M.

Определение 2. Оператор-функции ( pL — M ) ^{- 1} , RL = ( pL — M ) ^{- 1} L,LL = L ( pL — M ) ^{- 1} с областью определения p^L ( M ) называются, соответственно, резольвентой, правой резольвентой, левой резольвентой оператора M относительно оператора L (короче, L-резольвентой, правой L-резольвентой, левой L-резольвентой оператора М).

Определение 3. Оператор M называется ( L,a)-ограниченным, если

За >  0 Vp Е C : ( |p| > a ) ^ ( p Е p^L ( M )) .

Лемма 1. [2] Пусть оператор M ( L,a^-ограничен. Тогда операторы

P =

/ rL ( M ) dX a Q = 2 ni

1- [ l L ( M ) dX 2 ni J

Γ

Γ являются проекторами в пространствах U и F, соответственно. Здесь Г = {X Е C : |X| = r > a}.

Положим U⁰ = ker P. F⁰ = ker Q. U¹ = im P . F¹ = im Q . Обозначим через Lk ( Mk ) сужение оператора L ( M ) на подпространство U^k. k = 0 , 1.

Теорема 1. [2] Пусть оператор M ( L,a ) -ограничен. Тогда

• (i)    операторы Lk, Mk Е L(U^k; F^k), k = 0, 1;

• (ii)    сугцествует оператор M-¹Е L(F0; U0);

2.    Дифференцируемые банаховы многообразия

(Hi) сугцествует оператор L- ¹ Е L (F¹;U¹);

В условиях теоремы 1 построим операторы H = M- ¹ L о Е L (U0) и S = L^{- 1} M 1 Е L (U¹).

Определение 4. Точка то называется устранимой особой точкой, полюсом порядка p Е N, сугцественно особой точкой L-резольвенты оператора M, если H = O; H^p = O ,H^p +1 = O; Hq = O при всех q Е N. соответственно.

Замечание 1. В дальнейшем устранимую особую точку будем называть полюсом порядка пуль Т -резольвеиты оператора M. ( L,a Щграпннепшлй оператор M будем иазывать ( L,p )-ограниченным, если точка то является полтосом порядка p Е { 0 } U N его L -резольвенты.

Пусть M— C ^многообразие. моделируемое пространством U. Обозианим через; T M касательное расслоение многообразия M, а через Tn M - касательное расслоение порядка п. Множество T M имеет естественную структуру гладкого Ck^- 1-многообразия, моделируемого пространством U, в силу построения, а касательное расслоение Tn M является многообразием класса, C^k-n. сейчас и в дальнейшем предполагается k > п.

Обозначим через п¹ — каноническое проектирование с касательного расслоения порядка l на касательное расслоение порядка l — 1. npi шем l = 1 , 2 , ...,n. п* — проектирование с касательного расслоения порядка l на многообразие M, т.е. п¹ = п ¹ п ² .. .п¹.

Рассмотрим кривую а : J ^ M класса Cs, ( s < k, J — некоторый интервал содержащий нуль). Поднятием кривой а в T M называют кривую а ¹ : J ^ T M, что п ¹ а ¹ = а. Мы всегда предполагаем, что s > п, так что поднятие кривой принадлежит классу s — 1 >  1. Аналогично, поднятием порядка l кривой а в T¹ M назовем кривую а¹ : J ^ T¹ M, что п*а¹ = а. так что поднятие кривой порядка l принадлежит классу s — l >  1. На основе определения дифференциального уравнения второго порядка. [6] введем

Определение 5. Дифференциальным уравнением порядка п на многообразии M назовем такое векторное поле € класса Ck-n(k > п) на касательном расслоении Tn-1M, что для всех v Е Tn- 1M выполнено равенство пп^ (v) = v.

Из определения следует, что € точно тогда является дифференциальным уравнением порядка п. когда выполнено следующее условие: каждая интегральная кривая в Л^ля € является каноническим поднятием порядка п — 1 кривой пП^{- 1} в- Другими словами

( пП^{- 1} в ) n- 1 = в-

Пусть M открытое множество в банаховом пространстве U. В этом случае у любого векторного поля на Tn- 1M главная часть f : T

n- 1

M → U ⁿ

имеет п компонент f = ( f 1 , f 2 ,..., fn ) каждая из которых отображает Tn^- 1M в U.

Утверждение 1. [6] Отобразюение f класса C^k-n точно тогда является главной частью дифференциального уравнения порядка п, когда

Следуя [6], сформулируем и докажем

Теорема 2. Пусть M банахово Ck-многообразие (k > п), € ^ дифференциальное уравнение порядка п класса Ck-n. Тогда для / побои точки (и о, u 1, ...,un- 1) Е Tn- 1M сутрствуст единственная кривая u Е C1 ((—т, т); M), т = т (и о, и 1,..., un-1) > 0, l > n, леэюа щая в M, проходящая через точку (и о, и 1,... ,ип- 1) такая, что и (n) = fn (и, и, и ,...,и(n 1)) и(k)(0) = ик, к = 0,.. .п — 1.

Доказательство. Поскольку Tn- 1 M — это Ck-n ⁺¹-многообразие, ф — векторное поле класса, C¹ iia Tn- ¹M. то для лтс юой точки ( и о , и 1 , ...,и_п- 1) Е Tn- 1M. существует единственная интегральная кривая ф ( t ) , t Е ( —т,т ), проходящая через точку ( и о , и 1 ,...,и_п- 1) (ф (0) = ( и о , и 1 ,... ,и_п- 1)). Представим кривую в виде п компонент и будем рассматривать ее локально

ф ( t ) = ( и ( t ) ,и 1 ( t ) ,.. .,ип- 1 ( t )) Е M х Un^{- 1} .

Согласно утверждению 1, если f — главная часть дифференциального уравнения ф то ф = (и(t),и’1(t), . . .,йп(t)) = f(и 1(t),и2(t), . . .,ип-1(t)) = = ( и 2( t), . . .,ип-1( t) ,fn ( и 1 (t) ,и2( t), . . .,ип-1 (t))).

Следовательно, дифференциальное уравнение можно переписать в более привычном виде и (t) = и 1( t), и 1( t) = и 2( t), йп-1(t) = fn(и(t),и 1(t),... ,ип-1(t)).

Следовательно, и ^{( n} )( t ) = fn ( и ( t ) ,и 1( t ) ,... ,и_п- 1( t )). Делая обратную подстановку, получим и ^{( n} ) = fn ( и, и, и,.. .,и ^{( п-} 1)) .

Таким образом, кривая ( п*ф )( t ) = и ( t ) , t Е ( —т,т ), лежит в M и удовлетворяет (3). >

3.    Математическая модель Соболевского типавысокого порядка

Возвращаясь к задаче (1)—(2), введем определение решения

Определение 6. Вектор-функцию и Е C^п (( —т, т );U), удовлетворяющую уравнению (2) при некотором т Е R+, назовем решением этого уравнения, а если решение удовлетворяет условию (1), то функцию и будем называть решением задачи (1), (2).

Определение 7. Множество P назовем фазовым пространством уравнения (2), если (i) для любых ( и о , и 1 ,... ,и_п- 1) Е T^п- 1P существует единственное решение задачи (1), (2);

• (ii)    любое решение и = и ( t ) уравнения (2) лежит в P как траектория, т.е. и ( t ) Е P при t Е ^{( —т,т} )•

Если ker L = { 0 }, то уравнение (2) тривиально редуцируется к эквивалентному ему уравнению

и(n) = F (и), где оператор F = L- 1(M + N) Е C^(U) по построению. Существование единственного решения и задачи (1), (2) при любых (и о, и 1,... ,ип-1) следует из теоремы 2.

Пусть ker L = { 0 } и oneратор М ( L, 0)-ограничен, тогда в силу теоремы 1 уравнение (2) можно редуцировать к эквивалентной ему системе уравнений

J 0 = ( I — Q )( М + N )( и ⁰ + и 1) , | и ¹⁽ n ) = L- ¹ Q ( M + N )( и ⁰ + и 1) ,

где и ¹ = Ри, и ⁰ = ( I — Р ) и.

Введем в рассмотрение множество M = {и G U : ( I — Q )( Ми + N ( и )) = 0 } . Пусть M = 0, то есть существует точка и о G U, поло жим и о¹ = Ри G U¹. Будем говорить, что множество M в точке и о является б^шаховым C ^ -многообразием. если стчцествутот окрестности O С M я O ¹ С U¹ то^т №к и о 11 и 0 соответс/твешю и C ^fc -mi5 : O¹m O тако!1. что 5^-1 равен сужению проектора Р нa O. Множество M называется банаховым C^-многообразием, моделируемым пространством U¹, если оно является банаховым C^-многообразием в каждой своей точке.

Пусть выполнено условие:

( I — Q )( М + NU 0) : U⁰ ^ F⁰ — топлинейный изоморфизм.

Тогда в силу теоремы о неявной функции [7, стр. 155] существуют окрестности O ⁰ С U⁰ и O ¹ С U¹ то чек и ⁰ = ( I — Р ) и 0 , и 0 = Ри 0 соответственно, и оператор B G C^ ( O 1; O ⁰) такой, что и ⁰ = В(и 0). Построим оператор 5 = I + B : O ¹ ^ M , 5(и 0) = и 0. Тогда оператор 5^{- 1} вместе со зтожеством O ¹ задает карта■ множества M и равен суженито проектора Р на 5 [ O 1] = O С M. Таким образом, доказана

Лемма 2. Мноэюество M = {и G U : ( I—Q )( Ми + N ( и )) = 0 } при выполнении (5) является C^ многообратгем в точке и 0-

Подействуем производной Фреше n -го порядка 5 ( n u 2 un ) на второе уравнение системы (4). Тогда, так как

5 ,■ n ) ₂    п^ и ¹⁽ n ) = -— ( 5 ( и 1)) 11 5 ( и 1) = и,

(и1 ,и 2 ,...,un)             Л^п получим задачу вида (3), где F(и) = 5,nn1 2    LL-1Q(M + N)(и).

u ,u ,...,u

В силу теоремы 2 справедлива

Теорема 3. Пусть оператор М ( L, 0)-ограничен, оператор N G C^ (U; F). Тогда для любых начальных условий ( и 0 ,и 1 , ...,и_п- 1) G Tn^- 1M при выполнении условия (4), сугцествует единственное локальное решение задачи (1)-(Й), леэюагцее в M, как траектория.