Об одной проблеме Адамара и сглаживании выпуклых функций

Дорогому учителю посвящается

Приводятся узкие классы функций, в которых для произвольной целой функции можно найти представителей, дающих точные оценки снизу и сверху различных характеристик роста целой функции с возможностью вычисления таких характеристик по тейлоровским коэффициентам функции.

В 1892 году Ж. Адамар [1] ввел понятия порядка и типа целой функции и нашел формулы, определяющие введенные величины по коэффициентам ряда Тейлора целых функций. Некоторые целые функции при этом могли иметь при положительном порядке тип, равный нулю или бесконечности, а тип функции f (z) при порядке р определялся формулой af : = lim lnMfr), где Mf(r) = max{|f(z)| : |z| 6 r}. Начиная с Ж. Адамара, r→∞ r математиков интересовал вопрос о нахождении возможно более узких классов функций H таких, в которых для любой целой функции f (z) нашлась бы h(x) Е H с условием

-— ln M f (r) ,

( * )

^ / ^: = ^lim , / х = 0, Го r^^   h(r)

и с возможностью вычислить эту величину (называемую типом f (z) по отношению к h(r)) по тейлоровским коэффициентам f (z).

Эту задачу для подкласса целых функций конечного положительного порядка решил Ж. Валирон [2], введя понятие уточненного порядка. Накладывая на такие порядки дополнительные требования (такие как дифференцируемость достаточное число раз или бесконечная дифференцируемость и др.), классы уточненных порядков, применяемых для изучения сравнительного роста целых функций, постоянно сужались (см., например, [3, 4]). Многие авторы решали задачу коэффициентного описания роста целых функций нулевого или бесконечного порядков, определяя логарифмические, экспоненциальные, p, q — порядки и типы (и многие другие) и вводя соответствующие уточненные порядки.

Важность коэффициентной характеризации для различных пространств целых функций нашла убедительное подтверждение в работах Ю. Ф. Коробейника (см., например, [5, 6]) и его многочисленных учеников, а также последователей созданной им школы. Именно, координатный метод был Ю. Ф. Коробейником развит и применен к исследованию разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка в различных общих классах аналитических функций определенных им пяти типов.

Универсальной шкалы роста целых функций, конечно, не существует, но возможность иметь более узкий класс функций, с которым можно было бы сравнивать в том или ином смысле рост произвольной целой функции, имеет большое значение. Такие классы называются плотными классами функций сравнения роста во множестве всех целых функций А^,.

Наиболее полное решение проблемы Адамара получено в последнее время В. А. Осколковым [7, 8], которым показано, что классы Hγ , состоящие из возрастающих на R+, дважды непрерывно дифференцируемых функций Ф(х) с Ф00(х) > 0, удовлетво- ряющих условию

-— Ф(х)Ф ⁰⁰ (х) lim --------- 6 y

x ^^ [Ф 0 (х)] 2

с константой y > 1 являются плотными классами функций сравнения роста, а классы H с Y < 1 — таковыми не являются.

Условие ( * ) дает точную асимптотическую оценку логарифма максимума модуля целой функции сверху. Но во многих вопросах анализа важное значение имеют и нижние оценки целых функций, поэтому мы расширяем задачу Адамара, дополняя ее нахождением возможно более узких классов функций H таких, что для любой целой функции f (z) дополнительно к ( * ) найдется h 1 (x) G H с условием

σ f

,    ln M f (r) ,

= lim —-—тЦ— = 0, го r .^ ^h 1 ^(r)

( ** )

и с возможностью вычисления и этой величины по коэффициентам ряда Тейлора функции f (z). Такие классы функций мы назовем классами функций двустороннего сравнения роста (верхнего и нижнего), или двусторонне плотными в указанном смысле во множестве всех целых функций А. ^ .

Оценки (*) и (**) можно уточнять и находить такие классы функций, в которых для любой целой функции f (z) нашлись бы функции h(x) и hi(x) со следующими условиями lim (ln Mf (r) — h(r)) = 0, r→∞

( *** )

lim (ln M f (r) — h 1 (r)) = 0.                             ( **** )

r →∞

Таким образом, под обобщенной проблемой Адамара мы понимаем отыскание возможно более узких классов функций, в которых для любой целой функции f (z) нашлись бы функции, дающие точные асимптотические оценки M f (r) как снизу, таки сверху, причем с возможностью описания тейлоровских коэффициентов f (z), удовлетворяющих таким оценкам.

Эта задача оказалась связанной с регуляризацией и двусторонней аппроксимацией выпуклых функций и последовательностей.

Приведем результат О. Кизельмана [9], который показал, что если y = ^ i (x) — уравнение ломаной, звеньями которой являются опорные прямые к графику функции ^(x) = lnM f (e x ) с угловыми коэффициентами, последовательно равными натуральным числам, то для всех x ∈ R + выполняются неравенства

У1(х) 6 ^(x) 6 ^i(x) + C, где C — абсолютная константа, ln2

Вначале мы приводим результаты о двусторонней аппроксимации выпуклых функций, каждый из которых может быть применен для решения обобщенной проблемы Адамара, а затем даем коэффициентные характеристики целых функций, необходимые для решения проблемы Адамара в различных формах.

Известно, что для трансцендентной, т. е. отличной от многочлена, целой функции f (z) функция ^(x) = In Mf (ex) является выпуклой и удовлетворяет условию lim '     = го.                                       (2)

x→∞ x

Вписывая и описывая в график выпуклой функции ломаные с достаточно мелкими звеньями, в [10] получен следующий результат, примыкающий к [9].

Теорема A. Пусть ^(x) — выпуклая функция на R₊, удовлетворяющая условию (2). Существуют кусочно-линейные выпуклые функции ^i(x) и ^2(x) такие, что для любого x Е R₊выполняются неравенства

^1(x) 6 ^(x) 6 ^2(x)

со знаками равенства на некоторой последовательности xn f го и ^(x) = ^i(x) + o(1), ^(x) = ^0(x) + o(1), x ^ го, i = 1, 2.

Под ^(x) в дальнейшем понимаем правую производную выпуклой функции ^(x).

Выпуклая регуляризация функций и последовательностей играет важную роль также в теории квазианалитических классов функций, используется при рассмотрении весовых пространств функций и последовательностей, при этом на регуляризованные функции часто накладываются дополнительные условия, одним из которых является дифференцируемость достаточное число раз. Кроме того, нередко для решения экстремальных и других задач требуется, чтобы приближающие функции имели строго возрастающие производные, т. е. чтобы эти функции были строго выпуклыми, или имели положительные вторые производные.

Применяя определенные процессы сглаживания кусочно-линейных или кусочнопараболических мажорант и минорант выпуклых функций в [10] получен следующий результат:

Теорема В. Пусть ^(x) — выпуклая функция на R₊, удовлетворяющая условию (2). Существуют бесконечно дифференцируемые строго выпуклые функции ^i (x) и ^(x) (т. е. ^’-(x) > 0, i = 1, 2) такие, что для любого x Е R+ выполняются неравенства

^(x) 6 ^(x) 6 ^₂(x) и y(x) = ^i(x) + o(1), x ^ го, i = 1, 2.

А если дополнительно выполняется условие y°(x) — ^(x — 0) ^ 0 при x ^ го,

то и y°(x) = ^i(x) + o(1), x ^ го, i = 1, 2.

Дальнейшее сужение классов аппроксимирующих функций связано с наложением на такие функции дополнительных условий типа условия В. А. Осколкова (1).

Именно, обозначим через Ink = ln(lnk-i) — k-ю итерацию логарифма и через H^k, Y > 0, k Е N — класс бесконечно дифференцируемых, строго выпуклых на R₊функций, удовлетворяющих условию

___ /          /        /

— 1 — 1 — 1... — 16 Y.

Ф(x)Ф"(x) . [Ф⁰(x)]²

lim link Ф(x)... Ilnln Ф(x) (ln Ф(x) I -

(к)    Тк№

Очевидно, что для каждого k ∈N имеем H_γ^k⊂Hγ . Кроме того, Hγ₁⊂Hγ₂для

Y1 < Y2 и Hk) С Hk) для к > к.

Справедлив следующий результат (ср. [11] ).

Теорема С. Пусть к Е N. Для любой выпуклой на R . функции ^(x), удовлетворяющей условию (2), существуют функции Ф₁(x) и Ф₂(x) из класса Н^ такие, что для всех x справедливо

Ф1(х) 6 ^(x) 6 Ф2М, причем для некоторых последовательностей xn ^ го и xn ^ го выполняется Ф1 (xn) = ^(Xn) + o(1), n - го и Ф2(xn) = ^(xn) + o(1), n ^ го.

В то же время, для любого y< 1 найдется выпуклая функция ^(x) со свойством (2) такая, что для всех Ф(x) Е Н^(к)будет выполнятьсяlimфЦу = +го.

x→∞

(к)

Рассмотрим некоторые свойства функций из классов Hγ , которые будут нам полезны в дальнейшем. Мы сделаем это для более широкого класса функций.

Обозначим через Н• класс выпуклых дважды дифференцируемых на R . функций Н(x), удовлетворяющих условиям (2) и sup{ H™ } 6 2.

। I ^[Н0(x)]²J

В силу условия (2) имеем lim Н0(x) = го, поэтому каждая функция из класса Н• x→∞ является строго возрастающей положительной для достаточно больших значений аргумента. Кроме того, эти функции обладают следующими свойствами

Предложение 1. Функции Н (x) из класса Н• удовлетворяют условиям:

Функция н ( ) является

выпуклой для всех x > xg при некотором xg > 0,

xH 0(x)

™ Н²(x)

C Условие (5) следует из (4) поскольку

( Ня)'

₌(H0(x))² /

H³(x)  V

-

H (x)H⁰⁰(x) \ [H 0(x)]²К •

Условие (6) вытекает из условия (5):

⁶(h(2)   H(x)) " ⁰

B

Предложение 2. Функции H(x) из класса Н• удовлетворяют условию

^Н(x)~^H(^x-?Нй)’ ^{x го                 (7)}

C Обозначив c = , ¹  , по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-

H^0(|)

жа имеем при некотором 9 : x — c < 9 < x in= HMC [Н0И12 (H00(9)Н(9) _ Л lnН(x) lnН(x c) Н(x) c +2 [h(9) J V [H0(9)]2 J ■

Первое слагаемое правой части

_ / H 0(x)    n

= V W) " ⁰

H 0(x) _    H 0(x)

H(x) c = H(x)VW)

в силу (6).

Во втором слагаемом выражение в круглых скобках не превосходит единицы в силу (4). Оставшийся сомножитель имеет оценку

ГH0(0)1

2   H(0)]

² _ H0(0) H0(0) = 2H⁰(x) H²(0)

1 H0(x — 1)

6 2 H²(x — 1)

^ 0.

-

Мы использовали возрастание производных функций H(x) и Hx) ввиду выпуклости последних (свойство (5)), а также то, что для достаточно больших x имеем c = ^H0( )< 1, и 0 > x — 1. B

О равенстве некоторых характеристик роста целых функций

Обозначим тип и нижний тип целой функции f (z) относительно h(r), соответственно,

--- ln Mf(r)                   In Mf (r)

°«f=rim -w" ^и-^Mf =1

Имея в виду решение обобщенной проблемы Адамара, нам необходимо вычислить эти ∞ характеристики по коэффициентам Тейлора функции f (z) = ^2 fnzn. Однако с коэффи- n=0

циентами непосредственно связан не максимум модуля целой функции, а максимальный член ее ряда Тейлора ^j(r) =: max |fn|rn.

Поэтому, определив величины σµ_f

lim lnfr) и ^^ = lim r1^ h(r)      ^f    xi^

In ^f (r) h(r)

имеет смысл

найти условия, при соблюдении которых выполняются равенства

^—^f   ^—Mf,  —^f   —Mf"

Мы покажем, что для функций h(r) таких, что h(e^x) Е H•, равенства (8) имеют место.

Теорема 1. Пусть функция h(r) такова, что h(e^x) Е H•, тогда справедливы равенства (8), т. е.

— ^ln Mf^(r)   — In^j(r)          ^ln Mf^(r)       In^f^r)

‘ r *^ h(l )       I *^ h(l )          xi^ h(l )       xi^ h(l )

C Нам понадобятся простые неравенства, первое из которых — следствие неравенств Коши. Для k = k(r) < 1 имеем

∞∞

^(kr) 6 Mf (kr) 6 £ Ifnlrnkn 6 ^f (r) £ kn = R(r) — т. е.

^f^{(kr) 6}Mf^{(kr) 6}^f^(r)1——.

Учитывая, что ln x 6 x, x > 0, получаем неравенства

In pf (kr) 6 In Mf (kr) 6 / h(kr)         h(kr)

^ln^f^(r) h(r)

₊^{1          h(r)}

(1 — k(r))h(r)) h(kr)

Чтобы равенства (8) имели место, достаточно проверить, что при r → ∞ выполняются условия

h(k(r) • r) — h(r),

(1 — k(r))h(r) — to.

Полагая r = ex, k(r) = exp <--, ¹    >, с помощью предложения 2 получаем

( V ^H0(ln ^r) J

h(r) = h(e^x) = H(x) - H ^c —

1 pH 0(x)

)

= h exp x —

1 pH 0(x)

^ = h(e^xk(e^x)) = h(rk(r)), r — to,

и условие (9) выполнено. Проверим выполнение (10):

(1 — k(r))h(r) = (1 — k(ex)Me‘) = U — exp |— p= 1) H(x) -

~ PH(x)

IH²(x)

H ^(x) = y Hox-TO,x-to.

Оба условия (9) и (10) выполнены, так что утверждение теоремы справедливо. B Замечание. В работе [11] показано, что утверждение теоремы имеет место, если

In h(r) выпукла вверх или вниз на R₊, а функция h(r) удовлетворяет условию (6) или соответственно несколько более сильному условию lim , rh^^rV = 0.

r— ^ ^h(r)h( 2 )

Еще один способ выяснения роста целой функции состоит в том, что ее максимум модуля сравнивается с максимумом модуля «правильных» целых функций. В качестве таких «правильных» функций могут быть взяты функции сравнения. ∞

Функция A(z) = 52 Anzⁿ называется функцией сравнения, если An > 0 для любого n n=0

и AA⁺¹ ^ 0. Из последнего условия следует, что все функции сравнения являются целыми.

Весьма полезным является следующее свойство функций сравнения. ∞

.^e*

Теорема 2. Для каждой функции сравнения A(z) = 52 Anzn, An = exp{ —Ф(п)}, n=0

Ф(x) G H•, выполняется соотношение

In Ма(г) — In ^а(г) — Ф(1п r), r — to.

C С одной стороны,

In^A(e^x)= sup {xn — Ф(п)} 6 sup{xZ — Ф(Z)} = Ф(х). n=0,1,2,...                        Z>0

С другой стороны, если Zx такова, что sup{xZ — Ф(Z)} = xZx — Ф(Z_x) и [Zx] — целая часть Z>0

ζx , то ln^A(ex)= sup {xn — Ф(п)} > x[Zx] — Ф([Zx]) > x(Zx — 1) — Ф(Zx) n=0,1,2,...

= xZx — Ф (Zx) — x = sup{xZ — Ф (Z)} — x = Ф(х) — x.

Z>0

Таким образом, выполняются неравенства Ф(x) — x 6 lnца(ex) 6 Ф(x), из которых, учитывая (2), получаем ln ца(г) ~ Ф(1п r). Но в силу теоремы 1 также и ln Ма(г) ~ Ф(1пr). B

Тип и нижний тип целой функции f (z) относительно h(r) можно определить следующим образом:

CTf = inf{т > 0 : Mf (r) < expтh(r), r > го(т)}, соответственно,

^f = sup{^ > 0 : Mf (r) < exp^h(r), r > г₀(ц)}.

Аналогично этому вводятся и следующие понятия.

Величина ста = CTA(f) = inf{т > 0 : Mf (r) 6 А(т • r), r > Г0(т)} называется типом целой функции f (z) относительно функции сравнения A(z) или просто A-типом f (z).

Величину ста = Ста(f) = sup{т > 0 : Mf (r) > А(т • r), r > Г0(т)} назовем нижним типом целой функции f (z) относительно функции сравнения A(z), или нижним A-типом f (z).

∞

Ю. А. Казьмин [13] показал, что для целой функции f (z) = ^2 fnzⁿ имеет место n=0

формула CTA(f) = lim n⁷|fn|/An. n→∞

Для определения σA и σ_A по коэффициентам целой функции нам, как и в теореме 1, понадобится заменить в определениях этих величин максимум модуля целой функции Mf (r) на ее максимальный член ^f (r).

Теорема 3. Пусть f (z) — целая функция и A(z) — функция сравнения. Тогда

CTA(f) = inf{т > 0 : ^f (r) 6 ца(т • r), r> п(т)},

CTA^(f) = ^suP^{т > ^{0 :}^f^(r) > М^(т • r), r > rl^(т)}.

C Если f (z) — многочлен, то утверждение очевидно и CTA(f) = 0. Обозначим ст = inf{т > 0 : ^f (r) 6 ца(т • r), r > r1(т)}. Если f (z) — трансцендентная целая функция, то для k > 1 выполняется lim ^f(А = 0. Поэтому для любых т > cta(J) и k_i > 1 имеем r^^ ^f \^kr)

ki ki — 1

^f (r) 6 Mf (r) 6 А(тг) 6 ЦA(k₁т • r)

ki   ^м(т^ kir)

= ^{ца(т kkir)} ki — 1 ца(т • kkir) ^{6 ЦА(т kkir)}

при всех достаточно больших r.

Отсюда заключаем, что ст 6 т • kki. Устремляя k и ki к единице, а т — к CTA(f), получаем ст 6 ста(f). С другой стороны, для любых т > ст и r > r₁(т) имеем

Mf(r) 6 ^f(kr) 6 ца(т • kr) 6 MA(т • kr) = А(т • kr).

Отсюда по определению CTAf) получаем ста(f) 6 тк, что в силу произвольности чисел к > 1 и т > ст влечет неравенство cta(J) 6 ст. Вместе с предыдущим это приводит к первому утверждению теоремы. Второе доказывается аналогично. B

Вычисление типов целой функции по ее тейлоровским коэффициентам

Напомним, что сопряженной к функции ^(x) по Юнгу (Фенхелю — Лежандру) называется функция {xZ — ^(x)}. Отметим, что для функций, удовлетворяющих условию (2), супремум достигается. Для выпуклых функций (и только для них) имеет место двойственная формула: ^(x) : = sup{xZ — e(Z)}• Поэтому для выпуклых функций

^1(x), ^2(x) и им сопряженных по Юнгу функций e1(Z), $₂(Z) условие ^1(x) 6 ^2(x) для всех x > 0 эквивалентно условию e1(Z) > e2(Z) для всех Z > 0.

Обозначим сопряженную по Юнгу функцию к ln^f (ex) через g(y), и пусть Fn = ∞ exp{—g(n)}. Тогда In^f (ex) = sup{xn + InFn}, т. е. функции ^ Fnzn и f (z) имеют одинаковые максимальные члены. Коэффициенты Fn называются регуляризацией Ньютона — Адамара |fn|, а точки (n; — ln Fn) лежат на границе выпуклой оболочки точек (n; — ln |fn|).

Коэффициентная характеризация типов целых функций опирается на теоремы 1, 3 и следующие три леммы.

Лемма 1. Пусть функция ^(Z) удовлетворяет условию (2). Условие ln pf (r) 6 ^(ln r) асимптотически (т. е. для всех r > rg) выполняется тогда и только тогда, когда асимптотически выполняется условие ln |f_n| 6 —e(n), или когда ln F_n 6 —e(n)-

• <1 Будем предполагать для простоты, что неравенства выполняются для всех значений аргументов. Общий случай лишь незначительными деталями отличается от этого. Если ln pf (r) 6 ^(ln r), то

— lnF_n = sup{nx — lnpf (ex)} > sup{nx — ^(x)} = e(n).

Отсюда ln Ifni 6 ln F_n 6 — e(n).

Если же ln |fn| 6 —e(n), то lnpf(ex) = max{xn + ln |fn|} 6 max{xn —

Оценки снизу, как обычно, не столь просты.

Лемма 2. Пусть функция ^(Z) выпукла, возрастает и удовлетворяет условию (2).

Если ln pf (r) > ^(lnr), то ln F_n> —e(n).

Если lnF_n> —e(n), то lnpf (r) > ^(lnr)(1 — o(1)).

• < — lnF_n = sup{nx — ln^(e^x)} 6 sup{nx — ^(x)} = e(n) и первое утверждение доказано. Для доказательства второго заметим, что

• y(x) = siip{xZ — ?(Z)} = Zxx — tp(Zx).

Обозначив m = [Zx], с учетом того, что m 6 Zx < m + 1 и p(m) 6 ^(Zx), получаем ln^(ex) = max{nx + lnFn} > max{nx — e(n)} > mx —

>^(Zx^{— 1)x —}

^(Zx) = ^^{(x) — x} = ^^(x) (1 ^— ^xx)) = ^^{(x)(1 — o(1))}-  ^B

Замечание. Второе утверждение леммы 2 можно уточнить, если функция ^(x) удо- влетворяет более сильному, чем (2) условию y00(x) ^ го при x ^ го ( ^(x ^ го) x

.

Именно, в этом случае справедливо утверждение:

Если lnF_n> —

то lnЦf (r) > ^(lnr) — o(1).

Следующий простой вспомогательный результат мы не нашли в литературе, и поэтому для полноты изложения и удобства ссылок приводим его.

∞

∞

Лемма 3. Пусть f (z) = 52 fnzⁿ, g(z) = 52 gnzn — целые функции и F_nи G_n — ре-

n=0

n=0

гуляризации Ньютона — Адамара последовательностей |f_n | и |g_n | соответственно. Справедливы следующие равенства

^|fn| Fn ГТ77 ^f^(r) 1^Fn Fn ^f^(r) lim —— = lim — = lim ——, lim :—r = lim — = lim ——. n '^ Gn n^^ Gn r '^ ^Цд^(r) n >^ ^|gn| n >^ ^Gn r >^ ^Цд^(r)

C Обозначим A = lim ^^{f (r)}. Для любого e > 0, A = A + e и r > rg = rg(E) имеем r ,^ EgV^r)

^f (r) 6 A Цд(r). Теперь для n > ng = nf (rg) получаем

Ifni 6 Fn 6 ^Цf(r⁾ 6 A^g(2 rⁿ         rⁿ

и

Ifni 6 Fn 6 A exp{— sup nln r — ln Цд(r)} = AGn, r>r0

а тогда lim Fn 6 A = A + e. Устремляя e к нулю, получаем n→∞ ^Gn

B := lim n^6 6 lim —n 6 A. n→∞ G_n  n→∞ G_n

С другой стороны, для любого E > 0 и n > ng = По(е) выполняется Ifni 6 (B + E)G_n. Выберем rg = го(е) настолько большим, чтобы при r > rg центральный индекс nf = nf (r) превосходил ng, т. е. nf > ng. Тогда для таких r имеем

Цf (r) = Iff |rn^f6 (B + E)Gnf rnf 6 (B + E>g(r)

и

A =lim Цf(r) 6 B + E.

Г^^ Цд (r)

Отсюда вытекает A = lim ^f^(r) 6 B, что вместе с предыдущим доказывает предложе-r^^ ^g^(г)

ние. Второе утверждение леммы следует из уже доказанного рассмотрением обратных отношений. B

Обозначим через Hg(x) ассоциированную по Ньютону с H(x) функцию: Hg(x) = x — Ил^х). Теперь у нас есть все необходимое, чтобы доказать основные в этом пункте результаты.

Теорема 4. Пусть функция h(r) такова, что h(ex) = H(x) G H•, в(t) — обратная функция к H0(x), Ho(x) — ассоциированная по Ньютону с H(x) функция, а w(t) — функция, обратная к exp{Ho(в(x))}. Тогда справедливы формулы

— In Mf(r)             n — n lim ——= -„ = lim ------— = lim ----—,

™  ^{h(r)      f}  ™ ^(|fn|^-n)  ™ _ш(F-n)

ln Mf (r) .     h(r)

-^f

lim      _1 .

n→∞   ^-n

^(Fn )

C Для всех - > y^f, и только для них, выполняются неравенства ln^f (r) < -h(r), r > ro(—). Обозначив H(x) = h(ex), получим неравенства ln^f (ex) < -H(x), - > y^f, x > xo(-).

По лемме 1 условие (12), в котором удобно считать H(x) = H(xo) для всех x 6 xo = xo(-), эквивалентно условию — ln |f_n| > Ф(п), или условию — lnF_n> Ф(п), где Ф(у) является сопряженной по Юнгу к функции -H(x). Найдем эту функцию.

По определению Ф(у) = sup{xy — -H(x)}. А так как супремум достигается при x = в (n), то для n > no = -H0(xo) имеем

Ф(п) = в (^—) n σ

-

^О )- nHo (» О).

Таким образом, условия (12) эквивалентны условиям

Fn 6 exp |-nHo (в (n))} , n > no, или

^|fn| ⁶exp |^-nH0 (j (n))} , n > no, _—1

которые легко преобразовать к виду w(F_n n) > n, или к виду

n

_—1

6 -, - > a^_f, n > no(-).

^(Fnⁿ)

Таким образом, последнее условие эквивалентно условию (12), что доказывает первое утверждение теоремы. Аналогично, опираясь на лемму 2, проверяется и второе. B

∞

Теорема 5. Пусть f (z) = 52 fnzⁿ —целая функция, F_n —регуляризация Ньютона — n=o

Адамара коэффициентов f_nи A(z) — функция сравнения. Тогда справедливы формулы

• ^-A^(f) = Um. ПIf = Um. П/Fn, -A^(f)= lim П/Fn.

n→∞  A_n  n→∞  A_{n         n→∞}  A_n

C Утверждение очевидно для многочленов. Если f (z) — трансцендентная целая ∞ функция, то для т > -а(/) функция A^(z) = 52 Anzn, АП = тnAn является функцией

A• сравнения так как Л An

= T

An+1

An

n=0

^ 0 и ца(т • г) = ца»(r). Согласно лемме 3 имеем

|fn |

lim .

n→∞ τnA

n

lim f = lim Fn = lim r 61. n ^m An    n .^ An n .^ ца^ (r)

Отсюда t := lim nfn¹= lim njAn 6 т, что в силу произвольности т > CTAf) дает t 6 ста(f). Но для любых Е > 0 и n > п(е) выполняется nJAn 6 ti = t + e или F_n 6 ti An. Отсюда следует для достаточно больших r неравенство pf (r) 6 Ра (tir), которое означает, что t + e > cta(J). Устремляя e к нулю, получаем t > cta(J). Сопоставив с ранее полученным неравенством, получаем t = cta(J).

Для доказательства второго утверждения положим s = lim n/ AFn. Если n достаточно n→∞ n велико, то имеем последовательно npFn- > si = max{0; s — e}, Fn > s^An и, значит, pf (r) > pA(s1r) для достаточно больших r, т. е. s1 6 CTAf). Это при e ^ 0 дает s 6 СТA(f). Значит, s = 0, если CTAf) = 0. Если CTAf) > 0, то взяв произвольно положительное т < CTA(f), получаем pf (r) > Ра(т • r), r > ri(т). По лемме 3 получаем

Fn lim --— n→∞ τ An

Pf^(r)

rim Pa(t • r)

> 1 и s = lim n n^ > t, n→∞  An

что дает s > CTAf) и, окончательно, s = CTAf). B

Различные формы решения проблемы Адамара

Теоремы 4 и 5 дают вместе с теоремой С некоторое решение обобщенной проблемы (k)

Адамара, предлагая любой класс H , k Е N, в качестве плотных в A_L классов функций двустороннего сравнения роста.

Теорема 6. Пусть m Е N. Для любой целой функции f (z) существуют функции hi(r), hi(ex) Е Н^, i = 1, 2, такие, что для всех r > 0 выполняются неравенства h1(r) 6 ln Mf (r) 6 h2(r), причем для некоторых последовательностей r^i ^ го, k ^ го, i = 1, 2, справедливы равенства ln Mf (rk) = hi(rlk) + o(1), k ^ го, i = 1, 2.

Кроме того, выполняются равенства

-— ln Mf (r)   -— ln pf (r)   —-

= lim --^nr n→∞     -1

^2 ( Fn n 1

n

(Fnⁿ)"'

= 1,

lim — /   = lim — /   = lim --7----- r^ro   h(r)     r^ro h(r)     n^Li

^2 |fn| n ln Mf (r)         ln pf (r)

lim ———— = lim ———— = lim —

→∞  h(r)    r→∞ h(r)

^1

Здесь wi(t) связаны с hi(r) как в теореме 4.

С другой стороны, для любого y Е [0,1) найдется целая функция f (z) такая, что lim^lnMf^(r) = го при любой функции h(r), h(e^x) Е HYAk.

r→∞

Последнее утверждение теоремы означает, что при каждом m∈N в рамках классов Н^, Y > 0, дальнейшее сужение H^(m)невозможно.

Однако, опираясь на теорему 2, классы H^(m)можно сузить, рассматривая совокупности функций {ln A(r), A(r) = PP е^-ф(n)rⁿ, Ф(х) Е H(^m)}, m Е N.

n=0

В теореме 6 формулы для вычисления типов целой функции получены в общей ситуации. В каждом конкретном случае они малопригодны, и их основное значение состоит в том, что они доказывают возможность решения проблемы Адамара.

В работе В. А. Осколкова [8] для функций одного переменного и в работе Ю. Ф. Коробейника [14] для функций многих переменных при выполнении некоторых дополнительных условий получены общие формулы вычисления типа целой функции по ее коэффициентам Тейлора, являющиеся конкретизацией формул теоремы 6. Аналогичные формулы с нижними пределами и с заменой коэффициентов Ifni на их регуляризации F_nсправедливы и для вычисления нижнего типа целой функции. Отметим также, что в этих работах фактически доказано равенство a^f = aMf при условии, что функция a(x) = xh(x) удовлетворяет условию (6).

Класс всех функций сравнения обозначим U.

Класс U является плотным классом во множестве всех целых функций в том смысле, что для всякой целой функции f (z) найдется такая функция A(z) Е U, что aA(f) = 0, го (см. [13]).

И здесь опять возникает проблема Адамара нахождения возможно более узких классов функций сравнения, плотных в этом смысле. Так в работе [15] А. Ю. Попов показал, что плотной в классе целых функций, имеющих бесконечный тип при логарифмическом порядке 2, является совокупность всех функций сравнения с дополнительным условием

lim AnAⁿ⁺² = 1.

П^Ю An+1

Обозначим uYk)

An = e

-

e

= {A(z) : A(z) = P e-^ⁿ⁾ n=0

∞

zn, Ф(х) Е H^k)}. Поскольку здесь

^ф(п), то AA+¹= e^ф(n) Ф(^п+1) ^ о, и каждый класс U^, к > 1, y > 0, состоит из

функций сравнения. Очевидно, при любом к > 1, y > 0 и uYk⁺¹⁾С uYk).

Следующие результаты говорят о том, что при любом к > 1 в качестве плотного

во множестве всех целых функций класса функций сравнения как сверху, так и снизу, (k)                                                    (k)

может быть взят любой из классов U1 . В то же время классы UY 7 с y Е (0; 1) при любом к > 1 не могут служить такими классами функций сравнения, т. е. дальнейшее

• (k)

сужение в рамках UY ⁷ при любом к > 1 уже невозможно.

Теорема 7. Пусть к Е N. Для всякой целой трансцендентной функции f (z) =

^                                            _TT(k)              _TT(k)

52 fnz найдутся функции Ф1(х) Е H и Ф2(х) Е H такие, что n=0

lim {ln^f(ex) — Ф1(х)} = 0 и lim {lnpf(ex) — Ф2(х)} = 0, x→∞                    x→∞ причем lim {ln Fn + Ф2 (n)} > 0.

n→∞

lim {ln Ifni + Ф1(п)} = lim {lnFn + Ф1(п)} = 0 и n→∞             n→∞

Здесь опять Fn — регуляризация Ньютона — Адамара | fn |.

С другой стороны, для всякого y Е (0; 1) найдется целая функция f (z) такая, что lim {ln Fn + Ф(п)} = го при всех Ф(х) Е H(^k).

n→∞

• <1 По теореме С для функции ^(x) = ln^f(ex) существуют функции Ф1 (x) и Ф2(х) из

• (k)

класса H₁такие, что для всех

Ф1(х) 6 ^(x) 6 Ф2(х), причем для некоторых последовательностей xn ^ го и xn ^ го выполняются соотношения Ф1(Хп) = ^(xn) + o(1), n - го и Ф2(Xn) = ^(xn) + o(1), n ^ ГО.

В то же время, для любого y< 1, найдется выпуклая функция ^(x) со свойством (2) такая, что для всех Ф(x) Е H^k будет выполняться lim [^(x) — Ф(x)] = +го.

x→∞

∞_e

Рассмотрим функцию A(z) = P Anzn, An = e^-^⁽ⁿ⁾. Для n = 0,1, 2,... выполняется n=0

ln |f_n|e^nx6 Inpf (ex) 6 Ф₂(x) и In |f_n| 6 Ф₂(x) — nx, а тогда

In Ifni 6 ln Fn 6 — sup{nx — Ф2 (x)} = —Ф2М, т. е. |fn | 6 An . Кроме того,

In^A(ex) = max{nx — Ф₂(п)} 6 sup{Zx — Ф₂(Z)} = Ф₂(x)• n>0                   z>0

Обозначим q = lim fn, q 6 1. Если бы q < 1, то для qi Е (q; 1) и достаточно больших n→∞ An r в силу леммы 3 имели бы pf (r) 6 qi^A(r), а тогда

Ф2М + o(1) = lnpf (ex) 6 lnqi^A(e^x) 6 lnqi + Ф2(x),  x = xn ^ го.

Противоречие указывает на то, что q = 1. Следовательно, lim Fn = lim fn = 1 и n→∞ An  n→∞ An lim [ln |fn| + Ф2(n)] = lim [lnFn + Ф2(п)] = 0. n→∞            n→∞

∞_e

Рассмотрим теперь функцию B(z) = P Bnzn, Bn = e^-Ф1(n)• Поскольку ln pf (ex) = n=0

G(x), где y = G(Z) — уравнение ломаной Ньютона — Адамара функции f (z), то условие Ф1(x) 6 lnpf (ex) = G(x) эквивалентно условию G(Z) 6 Ф1(Z)• Тогда lnF_n = —G(n) > — Ф₁(n), т. е. F_n> Bn и lnFn + Ф₁(n) > 0. B

Теорема 8. Пусть k Е N. Для всякой целой трансцендентной функции f (z) =

∞ fnzn найдутся функции сравнения A(z) n=0

такие, что OA(f) = 1 и а в (f) > 1, причем

P V Е U , B(z) = P Bnzn Е U^ n=0                      n=0

о A(f) = lim n/fn- = lim n/Fn и а в(f) = lim Г/Fn, n→∞  An  n→∞ An         n→∞  Bn где Fn — регуляризация Ньютона — Адамара |fn |.

В то же время, для любого 7 Е (0; 1) найдется целая функция f (z) такая, что оA(f) = го при всех A(z) Е uYk).

C На самом деле, функции, построенные при доказательстве теоремы 7, пригодны и для доказательства теоремы 8. Это ясно для функции A(z), поскольку

∞∞

Mf (r) 6 52 Ifnirn 6 52 Anrn = A(r). n=0         n=0

И если бы для некоторых т < 1 и r0 при всех r > r0 выполнялось Mf (r) 6 A(t • r), то по лемме 1 предыдущего пункта имели бы для всех достаточно больших r и некоторого Ti Е (т; 1) оценку ^f (r) 6 ^a(ti • r) 6 qi^A(r) с произвольно малым положительным qi. Но это, как мы видели, невозможно. Следовательно, OA(f) = 1.

По доказанной теореме 2 Fn > Bn, а тогда ств (f) = lim в Bn > 1. B n→∞ ⁿ

• (k)

Классы H , к E N пригодны и для более точной, чем в теореме 6 классификации роста целой функции в смысле (***) и (****).

∞

Теорема 9. Пусть к E N. Для любой целой трансцендентной функции f (z) = ^2 fnzn n=0 существуют функции Фi(x) E H^k, i = 1, 2, такие, что выполняются равенства lim (lnMf (ex) — Ф2(x)) = 0, lim (InMf (ex) — Ф1(х)) = 0, x→∞ а для коэффициентов функции выполняются соотношения

^т^\!п\+длп1=^тДпД+Д2(о=а, lim lnFn  ?-> n→∞     n       n→∞    n         n→∞

• <1 В самом деле, существование таких Фi(x) E H^k, i = 1, 2, гарантирует теорема С. Построим функции A(z) = P е-ф2(n)zn, B(z) = P е-ф 1(n)zn. Как и в теореме 8, по-n=0

казываем, что CTA(f) = 1 и ст_в(f) > 1. А это после логарифмирования дает требуемые формулы. B

∞_e

Замечание. Если дополнительно функция B(z) = P B_nzⁿ, B_n = е^-Ф1(п)тако-n=0

ва, что x = о(Ф1(х)), x ^ го (например, Ф^,/(x) ^ го, что влечет BnBⁿ+² ^ 1), то

• ^{1                                 1                            B}n+1

в теореме 8 можно утверждать, что ств(f) = 1, и, соответственно, в теореме 9 — что lim inFn+^W = o.

n^. n→∞

В самом деле, если бы ст в (f) > 1, то для некоторого т > 1 по лемме 1 имели бы асимптотически pf (r) > цв (т • r), что влечет

Ф₁(x) + o(1) = lnц (ex) > цв(e^x+lnт) > Ф₁(x + lnт) — (x + lnт), x = x_n^ го.

А тогда имели бы

o(1) > Ф₁(x + ln т) — Ф₁(x) — (x + ln т) > Ф1 (x) ln т — (x + ln т) (x = x_n^ го)

или

o(1) > ('Mixhn т x

x — ln т ^ го,

если x = x_n^ го,

что невозможно. Противоречие доказывает требуемое равенство ст в (f) = 1.

Применяя методы работы [14], можно перенести полученные результаты и на функции многих переменных.